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1、精选优质文档-倾情为你奉上数列专题评估测试题时间120分钟,满分150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1在数列an中,a11,点(an,an1)在直线y2x上,则a4的值为A7B8C9D16解析据题意得an12an,所以数列an是等比数列,且公比为2,所以a4a1q3238.答案B2等差数列an的前n项和为Sn,且a2 014S2 0142 014,则a1等于A2 011 B2 012 C2 013 D2 014解析在等差数列an中,S2 0142 014,所以a1a2 0142,故a12a2 01422 0142 012
2、.答案B3(2013丰台区一模)设Sn为等比数列an的前n项和,2a3a40,则等于A2 B3 C4 D5解析因为2a3a4a3(2q)0,所以q2,则1qq23.答案B4(2013淄博模拟)如果等差数列an中,a5a6a715,那么a3a4a9等于A21 B30 C35 D40解析由a5a6a715得3a615,a65.所以a3a4a97a67535,选C.答案C5(2013福州模拟)已知实数a和c的等差中项为1,a2和c2的等比中项也为1,则a2c2的值为A2 B4 C3或5 D2或6解析由题意可知:ac2,a2c21,即ac1,所以a2c2(ac)22ac42,所以a2c2的值为2或6.
3、答案D6(2013张家口模拟)若数列an的前n项和为Snan(,a是不为零的常数),则Aan不是等比数列Ban是等比数列C只有a1时an才是等比数列Dan从第二项起才构成等比数列解析a1S1a,当n2时,anSnSn1(an)(an1)an1(a1),故a1时,an才是等比数列答案C7已知等差数列an的前n项和为Sn,若S12,3,则等于A. B. C4 D.解析易知a1S12,设等差数列an的公差为d,则3,解得d1,所以.答案A8已知等差数列an中,a38,a44,则an的前n项和Sn等于A有最小值为S5 B有最小值为S4和S5C有最大值为S5 D有最大值为S4和S5解析设等差数列an的公
4、差为d,由a3a12d8,a4a13d4,解得d4,a116,故an164(n1)204n,令an0,解得n5,所以S4S5最大答案D9(2013潍坊模拟)在等比数列an中,a1an34,a2an164,且前n项和Sn62,则项数n等于A4 B5 C6 D7解析在等比数列中,a2an1a1an64.又a1an34,解得a12,an32或a132,an2.当a12,an32时,Sn62,解得q2.又ana1qn1,所以22n12n32,解得n5.同理当a132,an2时,由Sn62,解得q,由ana1qn132n12,得n14,即n14,n5,综上,项数n等于5,选B.答案B10(2013烟台一
5、模)若正项数列an满足lg an11lg an,且a2 001a2 002a2 003a2 0102 013,则a2 011a2 012a2 013a2 020的值为A2 0131010 B2 0131011C2 0141010 D2 0141011解析由条件知lg an1lg anlg1,即10,an为公比是10的等比数列因为(a2 001a2 010)q10a2 011a2 020,所以a2 011a2 02020131010,选A.答案A11(2013兰州模拟)已知公差不为零的等差数列an中,amana2a6,则的最小值为A. B2 C. D不存在解析因为等差数列an的公差不为零,且am
6、ana2a6,由等差数列的性质可得mn26,即mn8,则(mn)1,所以(mn)2 232,当且仅当,即m2,n6时,等号成立答案B12已知函数f(n)n2cos(n),且anf(n)f(n1),则a1a2a3a100等于A0 B100 C100 D10 200解析因为f(n)n2cos(n),所以a1a2a3a100f(1)f(2)f(100)f(2)f(101)f(1)f(2)f(100)122232429921002(2212)(4232)(1002992)371995 050.f(2)f(101)22324299210021012(2232)(4252)(10021012)592015
7、 150,所以a1a2a3a100f(1)f(2)f(100)f(2)f(101)5 1505 050100,所以选B.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中的横线上)13(2013朝阳区模拟)已知数列1,a,9是等比数列,数列1,b1,b2,9是等差数列,则的值为_解析因为1,a,9是等比数列,所以a2199,所以a3.1,b1,b2,9是等差数列,所以b1b21910.所以.答案14(2013昆明模拟)已知数列an为等比数列,且a1a132a5,则cos(a2a12)的值为_解析在等比数列中a1a132aa2a3a5,所以a,所以cos(a2a12)cos(a
8、)cos cos .答案15已知an3n2,把数列an的各项分组如下:a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a30,记A(m,n)表示第m组的第n个数(如A(4,3)表示第4组的第3个数,为a17),则A(9,7)为_解析据题意可知,第m组有2m个数,则前8组共有2222328292510个数,所以第9组的第7个数是数列an的第517项,即A(9,7)为a517351721 553.答案1 55316在数列an中,对任意nN,都有k(k为常数),则称an为“等差比数列”下面对“等差比数列”的判断:k不可能为0;等差
9、数列一定是等差比数列;等比数列一定是等差比数列;通项公式为anabnc(a0,b0,1)的数列一定是等差比数列,其中正确命题的序号为_解析正确对于,当等差数列的公差不为零时,k1;当等差数列的公差为零时,分母无意义故不对对于不一定是等差比数列,当等比数列的公比不等于1时,k等于等比数列的公比;当等比数列的公比等于1时,k值不存在故不对答案三、解答题(本大题共6小题,共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)(2013济南一模)数列an的前n项和为Sn,a11,an12Sn1(nN),等差数列bn满足b33,b59.(1)分别求数列an,bn的通项公式;(2)设cn(
10、nN),求证:cn1cn.解析(1)由an12Sn1得an2Sn11得an1an2(SnSn1),an13an,an3n1,(3分)b5b32d6,d3,bn3n6.(5分)(2)证明因为an23n1,bn23n,所以cn,(7分)所以cn1cn0,cn1cnc1,所以cn1cn.(10分)18(12分)(2013青岛一模)已知nN,数列dn满足dn,数列an满足and1d2d3d2n;数列bn为公比大于1的等比数列,且b2,b4为方程x220x640的两个不相等的实根(1)求数列an和数列bn的通项公式;(2)将数列bn中的第a1项,第a2项,第a3项,第an项,删去后剩余的项按从小到大的顺
11、序排成新数列cn,求数列cn的前2 013项和解析(1)dn,and1d2d3d2n3n.(3分)因为b2,b4为方程x220x640的两个不相等的实数根,所以b2b420,b2b464,解得:b24,b416,所以bn2n.(6分)(2)由题知将数列bn中的第3项、第6项、第9项删去后构成的新数列cn中的奇数列与偶数列仍成等比数列,首项分别是b12,b24公比均是8,(8分)T2 013(c1c3c5c2 013)(c2c4c6c2 012).(12分)19(12分)设an是公差大于零的等差数列,已知a12,a3a10.(1)求an的通项公式;(2)设bn是以函数y4sin2x的最小正周期为
12、首项,以3为公比的等比数列,求数列anbn的前n项和Sn.解析(1)设an的公差为d,则,解得d2或d4(舍),所以an2(n1)22n.(5分)(2)y4sin2x42cos 2x2,其最小正周期为1,故首项为1.因为公比为3,从而bn3n1,(8分)所以anbn2n3n1,(9分)故Sn(230)(431)(2n3n1)n2n3n.(12分)20(12分)已知数列an满足a12a23a3nann22n.(1)求数列an的最小值;(2)设bn2nan,数列bn的前n项和为Sn,求使Sn256成立的正整数n的最小值解析(1)当n1时,a1123,当n2时,由a12a23a3nann22n,可知
13、a12a23a3(n1)an1(n1)22(n1),得nann22n(n1)22(n1)2n1,所以an2.(3分)又当n1时,a123,故对nN,an2.由于an1an,且nN,所以0,即an1an,故数列an是单调递减的,故当n1时,数列an的最大值为a13.(6分)(2)由(1)知,an2,所以bn22n1.因为4,是常数,所以数列bn是首项为b18,公比为q4的等比数列,(8分)则Sn(4n1),令(4n1)256,化简可得4n97.(10分)因为nN,所以n4,即使Sn256成立的正整数n的最小值为4.(12分)21(12分)已知数列an满足an1an,a1,bn32logan.(1
14、)求数列an与数列bn的通项公式;(2)设数列cn满足cnanbn,求数列cn的前n项和Sn.解析(1)因为an1an,a1,所以数列an是以a1为首项,以q为公比的等比数列,故ana1qn1n1n,即ann.(4分)所以,bn32logan2logn2n,即bn2n3.(6分)(2)由(1)知cnanbn(2n3)n,记Sna1b1a2b2anbn,所以Sn233(2n3)n,于是Sn2334(2n3)n1.(8分)可得Sn2223242n(2n3)n12(2n3)n1n,(11分)所以Snn.(12分)22(12分)(2013房山区模拟)已知函数f(x)x2axa(xR)同时满足:函数f(
15、x)有且只有一个零点;在定义域内存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立设数列an的前n项和Snf(n)(nN)(1)求函数f(x)的表达式;(2)求数列an的通项公式;(3)在各项均不为零的数列cn中,所有满足cici10的整数的个数称为数列cn的变号数令cn1,求数列cn的变号数解析(1)f(x)有且只有一个零点,a24a0,解得a0,a4,当a4时,函数f(x)x24x4在(0,2)上递减,故存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立,当a0时,函数f(x)x2在(0,)上递增,故不存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立,综上,得a4,f(x)x24x4.(4分)(2)由(1)可知Snn24n4,当n1时,a1S11,当n2时,anSnSn1(n24n4)(n1)24(n1)42n5,an(8分)(3)由题设得cnn3时,cn1cn0,n3时,数列cn递增c40,由10n5,可知c4c50,即n3时,有且只有1个变号数又c13,c25,c33,即c1c20,c2c30,此处变号数有2个综上得数列cn的变号数为3.(12分)专心-专注-专业
限制150内