数值计算实验报告(共9页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上数值计算实验报告 模板目 录1.1 Lagrange插值法1.1.1 实验目的与实验内容掌握Lagrange插值法的基本思路和步骤，完成算法的分析设计与程序编写，并完成不同条件（例如内插，外推对计算结果的影响；插值节点的多少对插值结果的影响等）下的数值实验；观察龙格现象。并进行相关的误差分析。1.1.2 Lagrange插值法原理对于函数。假设给定n+1个插值节点，及节点上的函数值， 若n次多项式，在n+1个节点上满足 . . (1.1)则称这n+1个n次多项式为节点上的n次插值基函数.则有插值基函数 （1.2）（ 若满足插值条件的插值多项式： (1.3)则称为函数的

2、n次Lagrange插值多项式。 1.1.3 Lagrange插值法算法分析设计及程序实现Lagrange插值法算法分析设计Step 1 ：给定插值节点向量和节点的函数值向量，以及插值节点；Step 2 : 判断和的长度是否相等 若相等，继续运行；若不相等则返回Step 1；Step 3 ：置 (1.1.3)Step 4 :若，则退出本次循环；否则，转入Step3；Step 4 :置拉格朗日插值多项式； (1.1.4)Step 5 : 带入插值节点，求出节点函数值;Step 6 ：输出和插值多项式； Lagrange插值法程序function L,y =lagrange123 (X,Y,x0)

3、 %X是给定的插值节点，Y是节点的函数值，x0是插入的节点%L是Lagrange插值多项式，y是节点的函数值tic %计算开始时间n=length(X);m=length(Y); %求出向量X和Y的长度if(m=n) %避免输入的X和Y的长度不一致，用if语句做出判断 error(向量长度不一致!); return; %如果错误，则重新输入X和Yendsyms x %定义自变量xn=length(X);L=0; for k=1:n s=1;for j=1:n if(k=j) %加入判断条件使k不等于j g=(x-X(j)/(X(k)-X(j); s=s*g; endendL=L+s*Y(k);

4、 %求出lagrange插值多项式end L=expand(L); %展开拉格朗日插值多项式 L=vpa(L,6); %将分数变成小数f=sin(x); %定义原函数sin（x）y=subs(L,x,x0); %求出x0的函数值h=ezplot(f,0,1);set(h,linestyle,:,color,r); %画出原函数sin(x)的图像，并标记 hold ong=ezplot(L,0,1);set(g,linestyle,-,color,g); %画出插值多项式的图像，并标记legend(y=sin(x),lagrange多项式,location,southeast); %添加图例在右

5、下角grid on;1.1.4 实验方案的选择与设计实验方案1 针对函数，观察其在 sin0.32=0.,sin0.34=0.,sin0.36=0.处的插值结果，并与精确值比较，做误差分析。同时求出sin0.3367的近似值，并作图与原函数的图像比较拟合效果。实验方案2 针对函数，观察其在不同步长(即节点的多少对插值结果的影响)实验方案3 针对函数，观察其在不同步长，不同节点数的条件下的插值结果，并与精确值比较，做误差分析。同时给出直观的插值效果图。 实验方案4 在区间上，利用函数观察龙格现象1.1.5 数值实验结果分析方案一: 在matlab命令窗口输入： X=0:0.5:3; y=cos(

6、X); plot(X,y,.r) hold on x=0:0.01:3; y=cos(x); plot(x,y)蓝线为标准图像，红点为7个插值点 Lagrange123( 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3,1.0000 0.8776 0.5403 0.0707 -0.4161 -0.8011 -0.9900)得到以下结果：ans = -0.0001 -0.0068 0.0572 -0.0178 -0.4902 -0.0020 1.0000%该系数是算出的Lagrange多项式的系数，次数由高向低排列%对该多项式进行画图 for x0=min(X):0.05:max(X);t=subs(s

7、um(ll),x,x0);hold on plot(x0,t,r)end插值效果图像图像是通过该Lagrange算法算出的多项式的图像方案二在matlab命令窗口输入： X=0.32,0.34,0.36; Y=0.,0.,0.; x0=0.3367; L,y=lagrange123(X,Y,x0)回车，输出 L,y=lagrange123(X,Y,x0)Elapsed time is 0. seconds. L = -.*x2+1.05572*x-.e-2 y = 0.3304插值效果图像 图1.1.1增加节点个数，10个在matlab命令窗口输入： X=0.3:0.02:0.5; Y=sin

8、(X); x0=0.3367; L,y=lagrange123(X,Y,x0)回车，输出Elapsed time is 1. seconds.L =-.*x3+.e-2*x5-.e-2*x6-.e-2*x8+.e-2*x9-.e-3*x4+.e-2*x7-.e-7+1.00000*x-.e-5*x2-.e-3*x10y =0.3304插值效果图像 图1.1.2减少节点个数为5个在matlab命令窗口输入： X=0.3:0.02:0.4; Y=sin(X); x0=0.3367; L,y=lagrange123(X,Y,x0)回车，输出Elapsed time is 0. seconds.L =

9、 .e-6+.e-4*x2-.*x3+.e-2*x5+.e-3*x4+.*x y =0.3304插值效果图像 图1.1.3根据上面的实验，可以看出5个节点比10个节点的拟合效果更好，说明节点数越多，不一定拟合效果更好。 数值实验结果分析1) 由于这是第一个实验，还不太熟悉，因此出现了许多语句格式上的错误。比如：缺少括号，if语句没有加end，输入的节点用X表示，调用的时候却用x.这些错误都是由于粗心，以后在编程过程中应该仔细。2) 利用函数feval计算x0的函数值。它的命令格式是F=(x)f,y=feval(F,x0),则函数值y=f(x0)。在调试过程中发现，如果写出f的表达式，再调用f，

10、那么会显示F=(x)f，y也不是x0的函数值而是函数f的表达式。由于拉格朗日插值多项式L不能在程序中写出，因此改用subs函数求函数值。3) 由于多项式的显示格式是因式连续相乘，而不是幂次递减格式显示，因此利用expand（）函数展开多项式，就正确显示4) 利用函数legend可以给函数图像添加标题。5) 今天用函数sin（x）做数值试验，可能由于输入的X和Y的小数位比较多，所以导致多项式L用分号表示。这时利用函数vpa()可以把分数化成小数，而且在设定vpa的精度只能是整数，不能是小数。6) 图形显示在界面上方，此时右上角的图例会盖住图形。因此，在命令legend（）后面加上(lacation,southeast),让图例位于右下角。7) 利用plot画图，要先算出y的取值，这样会浪费许多时间。因此，选择函数ezplot().并用命令ezplot(L,r),却发现这样不能带标记的图象。经过查阅资料，我明白正确的命令h=ezplot(f,-2*pi,2*pi);set(h,linestyle,:,color,r);一定要使用命令set（），设定颜色前加上color，直线格式前加linestyle。和legend设定位置一样。1.1.6 本次实验总结专心-专注-专业