数学考点---最短距离问题(共9页).doc

《数学考点---最短距离问题(共9页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学考点---最短距离问题(共9页).doc（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选优质文档-倾情为你奉上数学考点-最短距离问题1.作图题（不写作法，用尺规作图，保留作图痕迹）：（1）如图，点A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（2）如图，点A、B在直线l的同一侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（3）如图，点A是锐角三角形MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B、C，与点A组成三角形，使三角形周长最小；（4）如图，AB是锐角三角形MON内部一条线段，在MON的两边OM，ON上各取一点C、D组成四边形，使四边形周长最小；（5）如图，连结M、N与直线l相交于点O，当两直线的夹角等于450，且OM=6，MN=2时，PM+PN的最小值是

2、 2.我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小我们只要作点B关于l的对称点B，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB最小，显然当A、P、B在一条直线上时AP+PB最小，因此连接AB，与直线l的交点就是要求的点P有很多问题都可用类似的方法去思考解决探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点连接EP，CP，则EP+CP的最小值是；运用：（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，

3、4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是 ；操作：（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成ABC，使ABC周长最小（不写作法，保留作图痕迹） 3.（1）如图，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使得四边形APBC的周长最小，请写出作法（2）AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小（如图所示）4.已知A（3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（）A（1，0）B（1，

4、0）C（）D（）5.(1)如图，A、B两村位于一条河的两岸，假定河的两岸笔直且平行，现要在河上垂直于河岸建一座桥.问：应把桥建在什么位置，才能使A村经过这座桥到B村的路程最短？请画出草图，并简要说明作法及理由 (2)A、B两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥（1）要使这两村A、B之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来（2）若两村A、B到河边的距离分别为50米和20米，河宽为30米，AC=40米，你能求出两村的最短路程吗？若能，请求出来6.在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），当四边形ABCD的周长最短时，求mn 的值 7.如图，已知平面直

5、角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（2，3）、B（4，1）（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当PAB的周长最短时，求x值；（2）若C（a，0）、D（a+3，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；（3）设M、N分别为x轴、y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）和（0，），使四边形ABMV周长最短，若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由 8.在平面直角坐标系中，点A（2，1）、B（4，2），坐标原点为O点（1）在y轴上有一动点C，求当AC+BC最小时，C点的坐标；（2）在直线y=x上有一动点D，求当AD+BD最小时，D点的坐标；（3）在x轴上有两个点

6、E（m，0）、F（m+1，0），求当四边形CEFD周长最小时，m的值9.已知线段AB在x轴上（A在B的左边），且AB=3，点C（2，-4）、点D（4，-1），当AC+BD最小时，点A的坐标是（ ） A（0,0） B（1，0） C（1.2,0） D（2，0） 10.如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 （结果保留根号）11.如图1，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与

7、蜂蜜相对的点A处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B处（1）如图2是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P，使蚂蚁沿A-P-B路线爬行，距离最短（2）结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长 12.如图，长方体的长BE=5cm，宽AB=3cm，高BC=4cm，一只小蚂蚁从长方体表面由A点爬到D点去吃食物，则小蚂蚁走的最短路程是 cm13.如图，长方体的长BE=7，宽AB=5，高BC=5，一只小蚂蚁从A点爬到棱BC上，再爬到D点去吃糖，则小蚂蚁走的最短路程是 14.如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=6，点Q为对角线AC上的动点，则BEQ周长的最小值为 1

8、5.如图，AB是O的直径，AB=8，=6，M是AB上一动点，则CM+DM的最小值（）A8 B6 C2+2D416.在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（2，0），B（6，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为 17.如图，MON=90，边长为4的等边ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为 18.如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=运动过程中，当点

9、D到点O的距离最大时，OA长度为（）A B C2 D数学考点-最短距离问题答案1.解：（1）如图，连接两点与直线的交点即为所求作的点P，则点P即为所求；（2）如图，过A作直线l的垂线，在垂线上取点A，使直线l是AA的垂直平分线，连接BA交直线l于P点，则点P即为所求；（3）作A关于OM的对称点A，关于ON的A对称点A，与OM、ON相交于B、C，连接AB，BC，AC，则ABC即为所求三角形；（4）作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，CD，BD，则四边形ABCD即为所求；（5）作出点M关于直线l的对称点M，连结MN交直线l于点P；两直线的夹角

10、等于45，且OM=6，MN=2，MOP=45，OM=OM=6，NO=8，NOM=90，MN=10，故答案为：10 2.解：（1）点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值，EP+CP的最小值=AE=；（2）作点C关于x轴的对称点C，连接AC，则AC与x轴的交点即为点D的位置，点C坐标为（0，2），点A坐标为（6，4），直线CA的解析式为：y=x2，故点D的坐标为（2，0）；（3）分别作点A关于OM的对称点A、关于ON的对称点A，连接AA，则AA与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置；如图所示：点B、C即为所求作的点 3.解：(1)作点A关于直线l的对称点A，连接A

11、B于直线l交于P，则点P就是所求作的点(2)解：如图，作A关于OM的对称点E,再作B关于ON的对称点F，连接EF即可如图ABCD便是周长最小的 4.解：找出点B关于x轴的对称点B，连接AB，与x轴的交于M点，连接BM，此时|AM|+|BM|为最短，由B与B关于x轴对称，B（2，2），所以B（2，2），又A（3，8），则直线AB的方程为y+2=（x2）化简得：y=2x+2，令y=0，解得x=1，所以M（1，0）故选：B5.(1)先确定AA与河等宽，且AA河岸，连接BA，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置理由：由作图过程可知，四边形ADCA为平行四

12、边形，AD平移至AC即可得到线段AB，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥(2)解：（1）桥应该建在如图所示MN处，四边形AMKN是平行四边形（2）作MHBC垂足为H两村A、B之间的最短路程=AN+KN+BK，四边形AMKN是平行四边形，AN=MK，在RTBMH中，BH=70，MH=40，BM=10，AN+KN+BK=BM+KN=10+30，两村的最短路程为（10+30）米6.解：根据题意，作出如图所示的图象,过点B作B关于y轴的对称点B、过点A关于x轴的对称点A，连接AB，直线AB与坐标轴交点即为所求设过A与B两点的直线的函数解析式为y=kx+bA（8，3），B（4，5），A（8，3

13、），B（4，5），依题意得：，解得，所以，C（0，n）为（0，）D（m，0）为（，0）所以，=故答案为7.解：（1）设点B（4，1）关于x轴的对称点是B，其坐标为（4，1），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（2，3），B（4，1）代入得：，解得，y=2x7，令y=0，得x=，即当PAB的周长最短时，x=（2）过A点作AEx轴于点E，且延长AE，取AE=AE做点F（1，1），连接AF那么A（2，3）直线AF的解析式为y1=（x1），即y=4x5，C点的坐标为（a，0），且在直线AF上，0=4a5，解得a=当四边形ABDC的周长最短时，a=（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，作A关

14、于y轴的对称点A，作B关于x轴的对称点B，连接AB，与x轴、y轴的交点即为点M、N，A（2，3），B（4，1），直线AB的解析式为：y=x，M（，0），N（0，）m=，n=8.解：（1）如图1，作A点关于y轴的对称点A，连接AB，交y轴于C，AC=AC，AC+BC=AC+BC=AB，根据两点之间线段最短可知AB就是AC+BC的最小值，点A（2，1），A（2，1），B（4，2），设直线AB的解析式为y=kx+b，-2k+b=1,4k+b=2，解得k=16，b=43直线AB的解析式为y=x+，C（0，）；（2）如图2，作A点关于直线y=x的对称点A，连接AB，交直线y=x于D，AD=DA，AD+B

15、D=DA+BD=AB，根据两点之间线段最短可知AB就是AD+BD的最小值，点A（2，1），A（1，2），B（4，2），直线BAx轴，y=2，代入y=x中得x=2，D（2，2）；（3）作点C关于x轴的对称点C，则C的坐标为（0，），把C向右平移1个单位得到点D（1，），连接DD，与x轴交于点F，如图3，CE=CE，又点E（m，0）、F（m+1，0），EF=1，CDEF，四边形CDFE为平行四边形，CE=DF，CE=DF，CE+DF=DD，此时CE+DF最小，而CD与EF的长一定，此时四边形CEFD周长最短设直线DD的解析式为y=kx+n，把D（2，2）、D（1，）分别代入得2k+n=2，k+n=

16、 -43，解得k=，n=，直线DD的解析式为y=x，令y=0，则x=0，解得x=，D点坐标为（ ，0），m+1=，m= 10.解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A，连接AC，则AC即为最短距离，AC2=AD2+CD2=82+122=208，CA=4cm答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的是4cm12.解：（1）如图（1），AD=；（2）如图（2），AD=；（3）如图（3），AD=4可见，AD的最小值为故选C 13.解：AE=AB+BE=5+7=12DE=BC=5AD=13蚂蚁爬的最短路径长为1314.解：连接BD，DE，四边形ABCD是正方形，点B与点D关于直线AC对称，DE的长即为BQ+

17、QE的最小值，AB=8，AE=6，DE=BQ+QE=10，AB=8，AE=6，BE=2，BEQ周长的最小值=DE+BE=10+2=1215.解：如图，作点C关于AB的对称点C，连接CD与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，连接OC交CD于N，连接OD，AB是O的直径，=6，OCCD，CD=2DN，COD=60，D=30，AB=8，OD=4，DN=ODsin60=2，CD=4CM+DM的最小值=4故选：D16.解：如图所示：作A点关于直线y=x的对称点A，连接AB，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小，OA=2，BO=6，PA+PB=AB=2故答案为：2 17.解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，ABC是等边三角形，CD=2，MON=900，OD=AB=2，由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大，最大值为2+2故答案为：2+218.解：如图，取AB的中点，连接OE、DE，MON=90，OE=AE=AB=2=1，四边形ABCD是矩形，AD=BC=，在RtADE中，由勾股定理得，DE=2，由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，此时，OD=OE+DE=1+2=3，过点A作AFOD于F，则cosADE=，即=，解得DF=，OD=3，点F是OD的中点，AF垂直平分OD，OA=AD=故选：B 专心-专注-专业