圆心角和圆周角(共10页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上课 题圆心角和圆周角授课日期及时段教学目的1、理解圆心角的概念，并掌握圆心角定理。2、掌握圆心角定理的逆定理这一圆的性质。3、理解圆周角的概念及相关性质，并能运用相关性质解决有关问题。教学内容一、课前检测1、下列说法不正确的是（C ) A过一点可作无数个圆，那是因为圆心不确定，半径也不确定 B过两个点可以画无数个圆，圆心在这两点连线段的中垂线上 C过不在同一直线上的三个点只能画一个圆，圆心是这三点构成的三角形的三内角平分线的交点，叫做内心 D过不在同一直线上的三个点只能画一个圆，圆心是这三点构成的三角形的三边中垂线的交点，叫做外心2、在RtABC中，AB=6 , BC

2、=8，那么这个三角形的外接圆直径是（ D ）A. 5 B.10 C.5 或 4 D. 10或83、如图，已知O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ C ）A2.5 B3.5 C4.5 D5.5 4、AB为0的直径，C为O上一点，过C作CDAB于点D，延长CD至E，使DE=CD，那么点E的位置 （ B ） A在0 内 B在0上 C在0外 D不能确定5、如图，AB是半圆O的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D已知BC=8cm, DE=2cm ，则AB的长为 10 cm.6、填空：如图，在O中，直径CD交弦AB（不是直径）于点E. (1)若CDAB，则有 AE=BE

3、 、 AD()=BD() 、 AC()=BC() ； (2)若 AE = EB，则有 CDAB 、 AD()=BD() 、AC()=BC() ； (3)若 AC()=BC()，则有CDAB 、AD()=BD() 、AE=BE .二、知识梳理(一)圆心角把圆绕圆心旋转180，所得的像与原图形重合，所以圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。由于圆上所有的点到圆心的距离都相等，所以把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的像都喝原图形重合。N圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。N如图，NON就是一个圆心角。OW圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等。因为

4、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以我们把1圆心角所对的弧叫做1的弧。这样，n的圆心角所对的弧就是n的弧。圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。（二）圆周角如右图，BAC的顶点在圆上，它的两边都和圆相交，像这样的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。圆周角定理推论一：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。ABCD圆周角定理推论二：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。三、重难点突破例1、圆心角定理的证明A已知在同一个

5、圆中，有两条弦，弦AB和弦CD，圆心角AOB和COD之间的关系，且AOB=CODC求证：AB()=CD()，AB=CDBDo证明：AOB=COD,OA=OB=OC=OD 由圆的旋转不变性及图形的旋转变换知识得，图中两个阴影部分重合 点A与点C重合，点B与点D重合。 AB=CD， AB()与CD()重合。 两条圆弧相等。记作:“AB()=CD()”.例2、如图，等边三角形ABC内接于O,连结OA,OB,OC来源:学科网ZXXK AOB 、COB、 AOC分别为多少度？来源:Zxxk.ComDP延长AO，分别交BC于点P，弧BC于点D,连结BD,CD.判断三角形是哪一种特殊三角形？判断四边形BDC

6、O是哪一种特殊四边形，并说明理由。若O的半径为r,求等边ABC三角形的边长？若等边三角形ABC的边长r,求O的半径为多少？当r = 时求圆的半径? 解：（1）AB=BC=CAAOB =COB=AOC=120(圆心角定理)（2）BOD=180AOB=180120=60，又OB=OD，OBD为等边三角形.（3）COD=180AOC=180120=60.OCD也为等边三角形OB=OC=OD=CD,即四边形BDCO是菱形.（4）由菱形的性质，可得,，答：等边三角形ABC的边长为.（5）由（4）问中求得信息知，等边三角形边长和O半径之比为等边三角形ABC的边长为,O半径为.例3、如图，顺次连结O的两条直

7、径A和BD的端点，所得的四边形是什么特殊四边形？如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？如果这根原木长15m，问锯出地木材地体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？解：如左图，所得的四边形是矩形，理由如下：AC,BD是O的两条直径，AO=OC=OB=OD,四边形ABCD是平行四边形.又AC=BD，ABCD是矩形.设原木的横截面为O，如右图，在O中作两条互相垂直的直径AC和BD，依次连结AB,BC,CD,DA，则四边形ABCD是正方形.沿正方形ABCD的四条边，就可以锯出截面为正方形的木材。当原木的直径为30cm时，AO

8、=BO=15cm，正方形ABCD的面积为所以木材的体积为答：锯出木材的体积为。例4、已知：BOC, BAC分别是同一条弧所对的圆心角和圆周角.求证：BAC=BOC.分析 由于圆心有在圆周角内、圆周角外和圆周角的一条边上三类情况，因此需分别对三类不同情况给出证明.证明：（1）当圆心O在圆周角BAC的一条边AB上时（如下左图）OA=OC,BAC=C, BOC是OAC的外角，BOC=C+BAC=2BAC，BAC=BOC .（2）当圆心O在圆周角BAC的内部时（如中图），连结AO并延长，交O于点D.利用（1）的结果有BAD=BOD, DAC=DOC,BAD+DAC=(BOD+DOC),即BAC=BOC

9、.（3）当圆心O在圆周角BAC的外部时（如右图），连结AO并延长交交O于点D.利用（1）的结果有DAC=DOC，DAB=DOB，DAC-DAB=（DOC-DOB），即BAC=BOC.例5、已知：如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于点D，交AC于点E.求证：BD()=DE()分析 要证明BD()=DE()，只要证明BAD=CAD，即AD是BAC的平分线，因此问题就化归为证明AD是BC边上的高，这可由AB是圆的直径得到.证明：连结AD. AB是圆的直径，点D在圆上，ADB是直角， AD是ABC的边BC上的高.ABC是等腰三角形，AD也是BAC的平分线，BAD=CAD，BD()=D

10、E()（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等）.例6、船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，ACB就是“危险角”当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁(1)当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？(2)当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？分析：这是一个有实际背景的问题由题意可知：“危险角”ACB实际上就是圆周角船P与两个灯塔的夹角为，P有可能在O外，P有可能在O内，当C时，

11、船位于暗礁区域内；当C时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证解：(1)当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”C时，船位于暗礁区域内(即O内)理由是：连结BE，假设船在O上，则有C，这与C矛盾，所以船不可能在O上；假设船在O外，则有AEB，即C，这与C矛盾，所以船不可能在O外因此，船只能位于O内(2)当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”C时，船位于暗礁区域外(即O外)理由是：假设船在O上，则有C，这与C矛盾，所以船不可能在O上；假设船在O内，则有AEB，即C这与C矛盾，所以船不可能在O内，因此，船只能位于O外四、课堂练习1、若O的弦AB的长为8cm, O到AB的距离为4cm，则弦AB所对的圆心

12、角为600 .2、如图，在半径为2cm 的O中有长为2cm的弦AB，则弦AB所对的圆心角的度数为 ( C ) A. 600 B. 900 C. 1200 D. 15003、如图，在O中，已知AB=BC，且AB():AmC()=3:4 求AOC的度数解：AB=BCAB()=AC()又AB():AmC()=3:4，AmC()=3600=14404、 如图，已知AB是O的直径，M, N分别是AO, BO的中点，CMAB , DNAB求证：.AC()=BD()证明：连接OC、OD，AB是O的直径，AO=BO，M，N分别为AO、BO的中点，OM=ON，CMAB，DNAB，CMO=DNO=90，OCM与O

13、DN都是直角三角形，又OC=OD，OCMODN（HL），AOC=BOD，AC()=BD()(圆心角定理)5、如图，已知O的半径为1，OA=2，OB= 2，若直线AB与O相切，求AOB的度数.解：设AB与O相切于点C，连接OC，则OCABOC=1，OB= 2，BOC=45同理，AOC=60AOB=1056、 如图，O是的外接圆，于F，D为的中点，E是BA延长线上一点，则等于（ B ）A. 57B. 38C. 33D. 28.57、如图，已知AB是半圆O的直径，BAC=200, D是AC上任意一点，则D的度数是（C ）A . 1200 B. 1100 C .1000 D. 900 8、如图，BC为

14、半圆O的直径，ADBC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且AE=BE求证：（1） AB( )=AF( )；（2）AHBC=2ABBE证明：（1）AE=BE，BAD=ABE，BC是直径，ADBC，ADB=BAC=90，ABD+BAD=ABC+C=90，BAD=C，C=ABF，AB( )=AF( )；（2）C=ABF，RtABHRtACB，AH：AB=BH：BC，即AHBC=ABBH，EAH+BAD=AHB+ABH=90，BAD=ABE，EAH=AHB，AE=EH=BE= 12BH，AHBC=2ABBE五、课堂小结这节课主要学习了圆心角和圆周角的相关知识

15、，对圆心角和圆周角的概念有了一个掌握，也学习了二者之间的关系，其中的重难点就是圆心角和圆周角定理以及它们的推论，学生在做题中遇到关于圆心角、圆周角的问题，要明确题中给出了哪些有用条件，观察符合定理、推论中的哪些条件组，进行联系然后解题。对圆心角及其推论、圆周角及其推论要分清，下面就是这些定理及推论的具体表述。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 圆心角定理推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。推论一：半圆（或直径）所对的圆周角是直角

16、；90的圆周角所对的弦是直径。推论二：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等六、课后作业1. 顶点在圆心的角叫做 圆心角 角2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弦 相等，所对的 弧 相等，所对的弦的 弦心距 相等3. 弧的度数和 圆心角 的度数相等4. 以菱形ABCD的一个顶点A为圆心，以边AB长为半径画图，被菱形截得的BD()是400，则菱形的一个钝角是（ A )A. 1400 B. 1600 C.1000 D. 15005. 如图，在ABC中，BAC = 900，以AB为直径画圆，交BC于点D如果CD=BD,则AD()等于（ D ） A.300 B.

17、450 C. 600 D. 9006. 如图，AB、AC为O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果ADB=35，则BOC= 度解析：ABD中，AB=AD，则：ABD=D=35；BAC=2D=70；BOC=2BAC=1407. 如图，ABC是O的内接三角形，B=55，P点在弧AC上移动，从点C开始运动到点A停止，设POC=，则的变化范围是 解析：连接OA；则：AOC=2B=110；故的变化范围是01108. AB为O的直径，C、D为半圆AB上两点，且弧AC、弧CD、弧DB的度数的比为325，则AOC=_，COD=_，DOB=_答案：，9. 已知，A, B, C是O上的三点，AOC=1000,

18、 则ABC = 500 . 10. 如图，在O中，OA=AB=BC，且OBBC，则弧BD和弧DE的度数分别是 （）A15、15 B15、30C30、15 D2230、2230答案：C11. 如图，A、B、C、D、E都是O上的点，AB=BC=CD，BCD=130求AED的度数答案：AB=BC=CD，故，BCD=130，故的度数为26012如图，四边形ABCD内接于O，若BCD=100，则BOD等于（）A100 B160 C80 D120答案：13. 在O中，己知AOB=1000 , C为AB()的中点，D在圆上，则ADC= 250 .14. 如图，AB, AC 是O的两条弦，且AB=AC延长CA到点D使AD=AC， 连结DB并延长,交O于点E求证：CE是O的直径证明：连接CB，AB，点C为劣弧AB上的中点，CE平分AED，CB=CA，CD=CA，ABD是直角三角形即ABE=90，AE是O的直径； 15. 如图， AB，AC是O的两条弦，且AB=AC, D是上一点， P是AC()上一点，若BDC=1500, 则APC=1050 . （第15题）专心-专注-专业