高中数学专题讲义练-第04讲--平面向量的解题技巧(共12页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第二讲 平面向量的解题技巧【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主透析高考试题，知命题热点为：1向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积2平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义3两非零向量平行、垂直的充要条件4图形平移、线段的定比分点坐标公式5由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆

2、锥曲线中的典型问题等6利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题【例题解析】1. 向量的概念，向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念.(2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.(6)掌握平面两点间的距离公式.例1（2

3、007年北京卷理）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（）命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力解： 故选A例2（2006年安徽卷）在中，M为BC的中点，则_.（用表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积.解：，所以,.例3（2006年广东卷）如图1所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量( )（A） （B） （C） （D）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力.解：，故选A.例4 ( 2006年重庆卷)与向量=的夹解相等，且模为1的向量是 ( )(A) (B) 或（C） （D）或命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角

4、度的问题.解：设所求平面向量为由另一方面,当当故平面向量与向量=的夹角相等.故选B. 例5（2006年天津卷）设向量与的夹角为，且，则_命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解: 例6.（2006年湖北卷）已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则= （） （A） （B） （C） （D） 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设，则依题意有故选B.例7.设平面向量、的和.如果向量、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）（A） （B）（C） （D）命题意图: 本题主要考

5、查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法：， 故把2 (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30后与重合，故，应选D.巧妙解法：令=，则=，由题意知=，从而排除B，C，同理排除A，故选(D).点评：巧妙解法巧在取=，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂

6、直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大.例8设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),xR,且函数y=f(x)的图象经过点，（）求实数m的值；（）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.解：（），由已知，得（）由（）得，当时，的最小值为，由，得值的集合为例2设函数.其中向量.（）求实数的值;（）求函数的最小值.解：（），得（）由（）得，当时，的最小值为例9已知的面积为，且满足，设和的夹角为（I）求的取值范围；（II）求函数的最大解：（）设中角的对边分别为，则由，可得，（），即当时，；当时，例10（2007年广东卷理）已知ABC的三个顶点的直角坐

7、标分别为A(3,4)、B(0,0)、(c,0) （1）若c=5，求sinA的值；（2）若A为钝角，求c的取值范围；解：（1），若c=5， 则，sinA；（2）A为钝角，则解得，c的取值范围是例11（2007年山东卷文17）在中，角的对边分别为（1）求；（2）若，且，求解：（1） 又解得，是锐角（2），又例12. （2006年湖北卷）设函数，其中向量, . （）求函数的最大值和最小正周期； （）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的.命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力. 解：()由

8、题意得，f(x)()=(sinx,cosx)(sinxcosx,sinx3cosx) sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是.（）由sin(2x+)0得2x+k.，即x,kZ，于是（，2），kZ.因为k为整数，要使最小，则只有k1，此时（，2）即为所求.例13（2006年全国卷II）已知向量(sin，1)，(1，cos)，（）若，求；（）求的最大值命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.解：（）若，则sincos0，由此

9、得 tan1()，所以 ；（）由(sin，1)，(1，cos)得，当sin()1时，|ab|取得最大值，即当时，|ab|最大值为1例14（）如图，三定点三动点D、E、M满足 （I）求动直线DE斜率的变化范围；（II）求动点M的轨迹方程。命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像和圆锥曲线方程的求法等基本知识，考查推理和运算能力.解法一: 如图, ()设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t, = t , 知(xD2,yD1)=t(2,2). 同理 . kDE = = = 12t.t0,1 , kDE1,1.yxOMDABC11212BE图3()

10、 =t (x+2t2,y+2t1)=t(2t+2t2,2t1+2t1)=t(2,4t2)=(2t,4t22t). , y= , 即x2=4y. t0,1, x=2(12t)2,2.即所求轨迹方程为: x2=4y, x2,2解法二: ()同上.() 如图, =+ = + t = + t() = (1t) +t, = + = +t = +t() =(1t) +t, = += + t= +t()=(1t) + t = (1t2) + 2(1t)t+t2 .设M点的坐标为(x,y),由=(2,1), =(0,1), =(2,1)得 消去t得x2=4y, t0,1, x2,2.故所求轨迹方程为: x2=

11、4y, x2,2例15（2006年全国卷II）已知抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且（0）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明为定值；（）设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程,以及函数的导数的应用等基本知识，考查推理和运算能力.解：()由已知条件，得F(0，1)，0设A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)， 将式两边平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，抛物线方程为yx2，求导得yx所以过抛物

12、线上A、B两点的切线方程分别是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出两条切线的交点M的坐标为(，)(，1) 所以(，2)(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0.所以为定值，其值为0()由()知在ABM中，FMAB，因而S|AB|FM|FM|因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y1的距离，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3，由2知S4，且当1时，S取得最小值4【专题训练与高考预测】一、选择题1已知的值为（ ）A6B6CD2已知ABC中，点D在BC边上，且则的值是（ ）ABC3D03把直线按

13、向量平移后，所得直线与圆相切，则实数的值为（ A ）A39B13C21D394给出下列命题：=0，则=0或=0. 若为单位向量且/，则=|.=|3. 若与共线，与共线，则与共线.其中正确的个数是（ ）A0B1C2D35.在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）A.若向量a=(x，y)，向量b=(y，x)(x、y0)，则abB.四边形ABCD是菱形的充要条件是=，且|=|C.点G是ABC的重心，则+=0D.ABC中，和的夹角等于180A6.若O为平行四边形ABCD的中心， = 4e1, = 6e2,则3e22e1等于（ ）A. B. C. D.7.将函数y=x+2的图象按a=（6，2）平移后，得

14、到的新图象的解析式为（ ）A.y=x+10B.y=x6 C.y=x+6D.y=x108.已知向量m=(a,b)，向量mn且|m|=|n|,则n的坐标为A.（a, b）B.( a,b)C.(b, a)D.( b, a)9.给出如下命题：命题（1）设e1、e2是平面内两个已知向量，则对于平面内任意向量a,都存在惟一的一对实数x、y，使a=xe1+ye2成立；命题（2）若定义域为R的函数f(x)恒满足f(x)=f(x),则f(x)或为奇函数，或为偶函数.则下述判断正确的是（ ）A.命题（1）（2）均为假命题 B.命题（1）（2）均为真命题C.命题（1）为真命题，命题（2）为假命题 D.命题（1）为假

15、命题，命题（2）为真命题10若|a+b|=|a-b|，则向量a与b的关系是（ ）A. a=或b= B.|a|=|b| C. ab=0 D.以上都不对11O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过ABC的（ ）A外心B内心C重心D垂心12 若, , 则=（ ）A 4 B 15 C 7 D 3二、填空题1已知与的夹角为60，则与的夹角余弦为 .2 已知（4,2,x），(2,1,3),且，则x .3 向量 ，则和所夹角是 4 已知A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1), 点D满足条件：DBAC, DCAB, AD=BC, 则D

16、的坐标为 .5 设是直线，是平面，向量在上，向量在上，则所成二面角中较小的一个的大小为 三、解答题1.ABC中，三个内角分别是A、B、C，向量时，求.2.在平行四边形ABCD中，A（1，1），点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.（1）若求点C的坐标；（2）当时，求点P的轨迹.3.平面内三个力，作用于同丄点O且处于平衡状态，已知，的大小分别为1kg，kg，、的夹角是45，求的大小及与夹角的大小.4.已知a，b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角.5.设a=(1+cos,sin), b=(1cos,sin),c=(1,0),(0,)(,2),a与c

17、的夹角为1，b与c的夹角为2,且12=，求sin.6.已知平面向量a=（，1），b=（，）.(1)证明：ab；(2)若存在实数k和t，使得x=a+(t23)b,y=ka+tb,且xy，试求函数关系式k=f(t);(3)根据（2）的结论，确定k=f(t)的单调区间.【参考答案】一、选择题1.B 2D 3A4A5. 答案：C提示：若点G是ABC的重心，则有+=0，而C的结论是+=0，显然是不成立的，选C.6.B 7.B 8.C 9.A 10. C 11B 12D二、填空题1 2 2 360 4（1，1，1）或 53解：由, ,有，, 解得, 4.解：设D(x, y, z), 则，（x-1, y,

18、z）,(-1, 0, 1), (-1,1, 0), (0, -1, 1) 又DBAC-x+z=0, DCAB-x+y=0, AD=BC 联立解得x=y=z=1或x=y=z=所以D点为（1，1，1）或。三、解答题1，2.解：（1）设点C坐标为（, 又,即. . 即点C（0，6）. （2）解一：设，则 . ABCD为菱形.故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半圆去掉与直线的两个交点. 解法二： D的轨迹方程为.M为AB中点, 的比为 .设.的轨迹方程 .整理得.故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线的两个交点.3.设与的合力为，则|F|=|F3|.FF1F2F3OF1OF2=4

19、5 FF1O=135.在OF1F中，由余弦定理=.又由正弦定理，得.F1OF=30 从而F1与F3的夹角为150.答：F3的大小是（+1）kg,F1与F3的夹角为150.4.解：a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，(a+3b)(7a5b)=0，(a4b)(7a2b) =0. 即 两式相减：ab=|b|2，代入得|a|2=|b|2.cos=.=60，即a与b的夹角为60.5.解：a=(2cos2,2sincos)=2cos (cos,sin)1=,b=(2sin2,2sincos)=2sin (sin,cos)2=,又12=+= sin=sin()=6.（1）证明：a=(,1),b=(,)+(1)=0ab(2)解：由题意知x=(,),y=(tk,t+k)又xy故xy=(tk)+(t+k)=0整理得：t23t4k=0即k=t3t(3)解：由（2）知：k=f(t)= t3t k=f(t)= t2令k0得1t1;令k0得t1或t1故k=f(t)单调递减区间是（1，1），单调递增区间是（,1）(1,+)专心-专注-专业