高中数学--必修五数列导学案(共35页).doc

《高中数学--必修五数列导学案(共35页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学--必修五数列导学案(共35页).doc（35页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选优质文档-倾情为你奉上数列导学案2.1 数列的概念及简单表示（一）【学习要求】1理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型2探索并掌握数列的几种简单表示法3能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式【学法指导】1在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念2类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法3由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式【知识要点】1按照一定顺序排列的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫

2、做_项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，排在第n位的数称为这个数列的第 项2数列的一般形式可以写成a1,a2,an,简记为 3项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做_数列4如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式【问题探究】探究点一数列的概念问题先看下面的几组例子：（1）全体自然数按从小到大排成一列数：0,1,2,3,4，；（2）正整数1,2,3,4,5的倒数排成一列数：1，；（3）精确到1,0.1,0.01,0.001，的不足近似值排成一列数：3,3.1,3.14,3.141，；（4）无穷多个1排成一列数：1,1,1,1,1，；

3、（5）当n分别取1,2,3,4,5，时，(1)n的值排成一列数：1,1，1,1，1，.请你根据上面的例子尝试给数列下个定义探究数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？探究点二数列的几种表示方法问题数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？探究下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整（1）数列：1,3,5,7,9，用公式法表示：an ；用列表法表示：（2）数列：1，用公式法表示：an .用列表法表示：用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)：探究点三数列的通项公式问题什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？探究根

4、据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗？数列通项公式1,1，1,1，an 1,2,3,4，an 1,3,5,7，an 2,4,6,8，an 1,2,4,8，an 1,4,9,16，an 1，an 【典型例题】例1根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项（1）ancos ；（2）bn.小结由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n1,2,3，.如果数列的通项公式较为复杂，应考虑运算化简后再求值跟踪训练1根据下面数列的通项公式，写出它的前4项（1）a

5、n2n1；（2）bn例2根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：（1）1，3,5，7,9，；（2），2，8，；（3）9,99,999,9 999，；（4）0,1,0,1，.小结据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征并对此进行联想、转化、归纳跟踪训练2写出下列数列的一个通项公式：（1）2，4，6，8，；（2）0.9,0.99,0.999,0.999 9，；（3），.例3已知数列an的通项公式an.（1）写出它的第10项；（2）判断是不是该数列中的项小结判断某数列是否为数列中的

6、项，只需将它代入通项公式中求n的值，若存在正整数n，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项跟踪训练3已知数列an的通项公式为an(nN*)，那么是这个数列的第_项【当堂检测】1下列叙述正确的是 ()A数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列 B数列0,1,2,3，可以表示为nC数列0,1,0,1，是常数列 D数列是递增数列2观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，_，.3已知下列数列：（1）2 000,2 004,2 008,2 012； （2）0，；（3）1，； （4）1，；（5）1,0，1，sin ，； （6）6,6,6,6,6,6.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增

7、数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_，周期数列是_(将合理的序号填在横线上)【拓展提高】4写出下列数列的一个通项公式：（1）a，b，a，b，；（2）1，.【课堂小结】1an与an是不同的两种表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系2数列的表示方法：图象法；列表法；通项公式法；递推公式法3由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决2.1 数列的概念及简单表示（二）【学习要求】1理解递推公式的含义

8、，能根据递推公式求出数列的前几项2能从函数的观点研究数列，掌握数列的一些简单性质【学法指导】1数列的递推公式是给出数列的另一重要形式一般只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项2由于数列可以看作是一类特殊的函数，因此许多函数的性质可以应用到数列中例如，数列的单调性、数列的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质【知识要点】1如果数列an的第1项或前几项已知，并且数列an的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的 公式2数列可以看作是一个定义域为 (或它的有限子集1,2,3，n)的函数，当自

9、变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列 3一般地，一个数列an，如果从 起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列叫做 数列如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列叫做 数列如果数列an的各项都 ，那么这个数列叫做常数列4已知数列an满足：a11，an1an1，则an ，从单调性来看，数列是单调 数列【问题探究】公元前13世纪意大利数学家斐波那契的名著算盘全书中，记载了一个著名的问题，某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，如果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开始也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？该问题在原书中作了分析：第一个月和第二个月都是最初的一对兔

10、子，第三个月生下一对兔子，围墙内共有两对兔子，第四个月仍是最初的一对兔子生下一对兔子，共有3对兔子到第五个月除最初的兔子新生一对兔子外，第一个月生的兔子也开始生兔子，因此共有5对兔子继续推下去，第12个月时最终共有144对兔子书中还提出，每个月的兔子总数可由前两个月的兔子数相加而得据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数an：1,1,2,3,5,8,13,21,34，an1anan1命名为斐波那契数列，它在数学的许多分支中有广泛应用数列的这种表达形式，是用前面的项来表达后面的项，我们称之为数列的递推公式，数列的递推公式有什么应用呢？这一节我们就来学习数列的递推公式探究点一数列的函数特性问题数列

11、是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的认识探究1数列的单调性下面给出了一些数列的图象： an2n1anan(1)n观察上述数列项的取值的变化规律，请类比单调函数的定义，把下列单调数列的定义补充完整一般地，一个数列an，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递增数列；如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递减数列；如果数列an的各项都相等，那么这个数列叫做常数列因此，要证明数列an是单调递增数列，只需证明an1an 0；要证明数列an是单调递减数列，只需证明an1an 0.探究2数列的周期性已知数列an中，a11，a

12、22，an2an1an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列an具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 012项是多少？探究点二由简单的递推公式求通项公式问题递推公式与通项公式，都可以用来写出数列中的任意项，都是给出数列的一种方法，那么它们究竟有什么不同呢？探究1对于任意数列an，等式：a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an都成立试根据这一结论，求解下列问题已知数列an满足：a11，an1an2，试求通项an.探究2若数列an中各项均不为零，则有：a1an成立试根据这一结论求解下列问题已知数列an满足：a11，(n2)，试求通项an.【典型例题】例1在数列an中，已知

13、a12，a23，an23an12an(n1)，写出此数列的前6项小结已知数列递推公式求数列通项时，依次将项数n的值代入即可跟踪训练1已知数列an中，a11，a2，(nN*，n3)，求a3，a4.例2已知数列an的通项公式为an.求证：数列an为递增数列小结数列是一种特殊的函数，因此可用函数单调性的方法来研究数列的单调性跟踪训练2已知数列an的通项公式是an，其中a、b均为正常数，那么an与an1的大小关系是 ()Aanan1 Banan1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即an递增an1an对任意的n (nN*)都成立类似地，有an递减an10，则数列an为 数列；若公差d0an为 数列d0a

14、n为 数列d0an为 数列【典型例题】例1在等差数列an中，已知a1a4a739，a2a5a833，求a3a6a9的值小结解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列an的性质：若mnpq2w，则amanapaq2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想跟踪训练1已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式例2三个数成等差数列，和为6，积为24，求这三个数小结利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算一般地有如下规律：当等差数列an的项数n为奇数时，可设中间一项为

15、a，再用公差为d向两边分别设项：a2d，ad，a，ad，a2d，；当项数为偶数项时，可设中间两项为ad，ad，再以公差为2d向两边分别设项：a3d，ad，ad，a3d，这样可减少计算量跟踪训练2四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两数的积为8，求这四个数例3已知数列an，满足a12，an1.（1）数列是否为等差数列？说明理由（2）求an.小结判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an1and(d为常数)，也可以用an1ananan1(n2)进行判断本题属于“生成数列问题”，关键是形成整体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式跟踪训练3正项数列an中，a11，an1an.（1）数列

16、是否为等差数列？说明理由（2）求an.【当堂检测】1等差数列an中，a4a515，a712，则a2等于()A3 B3 C D2等差数列an中，已知a310，a820，则公差d_3已知等差数列an中，a2a3a10a1136，求a5a84已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数【课堂小结】1判断一个数列an是否是等差数列，关键是看an1an是否是一个与n无关的常数2三个数成等差数列可设为：ad，a，ad或a，ad，a2d；四个数成等差数列可设为：a3d，ad，ad，a3d或a，ad，a2d，a3d.3在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有

17、关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量【拓展提高】2.3等差数列前项和（一）【学习要求】1理解等差数列前n项和公式的推导过程2熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个3掌握等差数列前n项和公式及性质的应用【学法指导】1运用等差数列的前n项和公式的关键在于准确把握它们的结构特征，这样才能根据具体情境(已知条件和待求目标)选用恰当的公式解决问题2要善于从推导等差数列的前n项和公式中，归纳总结出一般的求和方法倒序相加法【知识要点】1把a1a2an叫数列an的前n项

18、和，记做 .例如a1a2a16可以记做 ；a1a2a3an1 (n2)2若an是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn ；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn 3写出下列常见等差数列的前n项和（1）123n （2）135(2n1) .（3）2462n .4等差数列an中（1）已知d2，n15，an10，则Sn_；（2）已知a120，an54，Sn999，则d_；（3）已知a1，d，Sn5，则n_【问题探究】“数学王子”高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名高斯十岁那年，老师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到1

19、00的所有整数加起来，老师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去老师起初并不在意这一举动，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数的和是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，共有50对这样的数，用101乘以50得到5 050，这种算法是教师未曾教过的方法，高斯自己就想出来了，那么这是一个什么样的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，这一节我们就来学习等差数列的求和方法探究点一等差数列前n项和公式的推导问题求和：123100？对于这个问题，著名数学家高斯十岁时就能

20、很快求出它的结果当时他的思路和解答方法是：S12399100，把加数倒序写一遍：S100999821.所以有2S(1100)(299)(992)(1001)100101，S501015 050.请你利用“高斯的算法”求123n？探究设等差数列an的首项为a1，公差为d，你能利用“倒序相加法”求等差数列an的前n项和Sn吗？探究点二等差数列前n项和的性质探究1设an是等差数列，公差为d，Sn是前n项和，易知a1a2am，am1am2a2m，a2m1a2m2a3m也成等差数列，公差为 .上述性质可以用前n项和符号Sn表述为：若an成等差数列，则Sm， ，_也成等差数列探究2若数列an是公差为d的等

21、差数列，求证：数列也是等差数列探究3设Sn、Tn分别为两个等差数列an和bn的前n项和，证明：.【典型例题】例1在等差数列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n.小结在解决等差数列问题时，如已知a1，an，n，d，Sn中任意三个，可求其余两个，这种问题在数学上常称为“知三求二”型跟踪训练1已知等差数列an中，（1）a1，d，Sn15，求n及an；（2）a11，an512，Sn1 022，求d.例2（1）等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；（2）两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值小结等差数列前n项和Sn的有关性质

22、在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果跟踪训练2设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn.例3甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（2）如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？小结建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路程和是两个等差数列的前n项和跟踪训练3现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使

23、剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A9 B10 C19 D29【当堂检测】1记等差数列前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d等于 ()A2 B3 C6 D72已知等差数列an中，a2a88，则该数列的前9项和S9等于 ()A18 B27 C36 D453等差数列an的前n项和为Sn，若S1284，S20460，则S6_.4已知等差数列an的前3项依次为a,4,3a，前k项和Sk2 550，求a及k.【课堂小结】1求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法2等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量在求等差数列的和

24、时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn较好，若已知首项a1及公差d，用公式Snna1d较好3等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用【拓展提高】2.3等差数列前项和（二）【学习要求】1熟练掌握等差数列前n项和的性质，并能灵活运用2掌握等差数列前n项和的最值问题3理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.【学法指导】1任何一个数列an与它的前n项和Sn之间都有一个等量关系式，此公式为：an，题中已知一个数列的前n项和，则可利用此公式求得此数列的通项公式，同时要注意此公式是一个分段的函数，所以在使用此公式求解时，要分类讨论2数列中的

25、最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用3等差数列的前n项和与二次函数联系十分紧密，要辨析它们之间的关系，从更高境界处理等差数列的前n项和问题【知识要点】1前n项和Sn与an之间的关系对任意数列an，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an2等差数列前n项和公式Sn .3若等差数列an的前n项和公式为SnAn2BnC，则A_，B ，C 4已知数列an的通项公式是an2n48，则Sn取得最小值时，n为_【问题探究】1如果已知数列an的前n项和Sn的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？2如果一个数列的前n

26、项和的公式是Snan2bnc(a，b，c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？3如果an是一个等差数列，那么|an|还是等差数列吗？如果不再是等差数列，如何求|an|的前n项和？这一节课我们就来解答上面的问题探究点一数列an的前n项和Sn与an的关系问题我们已经知道，如果通项公式an已知，就能求出Sn；反过来，如果已知数列an的前n项和Sn，能否求出它的通项公式an?探究如果数列an的前n项和的公式是Snan2bnc(a，b，c为常数)，求通项公式an，并判断这个数列一定是等差数列吗？探究点二等差数列前n项和的最值问题由于Snna1dn2(a1)n，当d0时，Snna1；当d0时，此解析式可

27、以看作二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 的二次函数，其图象为抛物线yx2(a1)x上的点集，坐标为(n，Sn)(nN*)因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当d0时，Sn有最 值；当d0时，Sn有最 值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值探究按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前n项和Sn取到最值时序号n的规律.序号等差数列基本量前n项和SnSn的最值11,3,5,7,9，a1 ，d .Sn (Sn)min1，此时n .25,3，1,1,3，a1 ，d .Sn (Sn)min ，此时n 34,2,0,2，4，a1 ，d .Sn (Sn)max ，此时n 41,2，3,4，5，a1 ，d .Sn (Sn)max ，此时n 通过上面的例子，我们看到等差数列前n项和的最值在项的符号分界点处取到，据此完善下列结论：（1）若a10，d0，则数列的前面若干项为 项(或0