二次函数最值及根的分布(共11页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上二次函数教学目标：1掌握二次函数的图像及性质2能够求出二次函数在某个区间上的最值3能够利用二次函数研究一元二次方程的实根的分布教学重难点：重点：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化难点：二次函数跟的分布及二次函数的应用知识要点：二次函数最值问题：二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况设，求在上的最大值与最小值分析：将配方，得对称轴方程当时，抛物线开口向上若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；若当时，抛物线开口向上，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点

2、处取得最大值，较近端点处取得最小值当时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当时当时 一元二次方程、一元二次不等式解的情况：的图象（）方程的解，无解的解或的解一元二次方程（）根的分布：（用最值归纳资料的总结）根的分布图象充要条件或或或根的分布两根有且仅有一根在内图象充要条件或或典型例题一、求二次函数在闭区间上的值域（一）正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间动；（3）轴动，区间定；（4）轴动，区间动1轴定区间定例1已知函数，当时，求函数f

3、(x)的最大值与最小值解析：时， 所以时，时，2轴定区间动例2求函数在区间上的最小值解析：对称轴（1）当即时，；（2）当即时，；（3）当即时，3轴动区间定例3求函数在上的最大值解析：函数图象的对称轴方程为，应分，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为（1）；由图可知（2）；由图可知（3）时；由图可知；即4轴动区间动(略)例4已知，求的最小值解析：将代入u中，得，即时，即时，所以（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值例5已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值解析：（1）若，不合题意（2）若则由，得；（3）若时，则由，得综上知或例6已知函数在区间上的值域是，求m，

4、n的值解析：方法一：讨论对称轴中1与的位置关系若，则解得若，则，无解若，则，无解若，则，无解综上，方法二：由，知，则，f(x)在上递增所以解得评注：方法二利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了例7已知函数的最大值为，求的值 解析：令，问题就转二次函数的区间最值问题令，对称轴为，当，即时，得或（舍去）当，即时，函数在单调递增，由，得当，即时，函数在单调递减，由，得（舍去）综上可得：的值为或二、根的分布例8(1)方程的两根均大于，求实数的范围(2)方程的两根一者大于，一者小于求实数的范围(3)方程的两根一者在内，一者在（6，8）

5、内，求实数的范围解析：令（1）由或 得：；（2）由或得：；（3）由得：例9关于的方程有实根，求实数的取值范围解析：令（），原方程有实根等价于方程有正根令，则恒过点方法一：得：方法二：要使方程有正根，则方程的较大根大于即可；故由得：例10关于的方程至少有一个负根，求实数的取值范围解析：令，恒过点方法一：时， 成立时，得：；时，恒成立；综上可知：方法二：时， 成立时，要使方程至少有一个负根等价于方程的较小根小于即可故或得；综上可知：例11已知函数与非负轴至少有一个交点，求实数的取值范围解析：方法一：方程有一个实根是，则得：；方程有两个正根，则得：；方程有一个正根一个负根，则得：；综上可知：方法二：

6、考虑命题的对立面：方程没有实根或两个负根；方程没有实根，则得：；方程有两个负根，则得；故或因此函数与非负轴至少有一个交点实数的取值范围是：例12关于的方程只有较小的根在内，求实数的取值范围解析：时，此时方程为，两根，不成立；由得；综上可知：例13 关于的方程在区间上有实根，求实数的取值范围解析：令，端点：；得：；在开区间上（i）在上仅有一个实根，则得： ；（ii）在上有两个相等的实根，则得：；（iii）在上有两个不等的实根，则得：；综上可知：三、恒成立问题此类问题往往可以转化为求函数最值的问题或用参数分离的方法例14已知函数，（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围解析：（1）当时，恒成立，即在上恒成立，因此得：（2），恒成立，即，函数的对称轴为：，即时，得：故此时无解；即时，得：故；即时，得：故；综上可知：例15不等式对一切恒成立，求实数的取值范围解析：时，恒成立；时，满足得：；综上可知：例16当，不等式，求实数的范围解析：方法一：令开口向上故在上的最大值为或，故得：方法二：参数分离法时，等价于（），（）,故例16对满足的所有实数，求使不等式恒成立的取值范围解析：由题意知，不等对恒成立，令，（看作是的函数）由得：或专心-专注-专业