数学建模(全国)----眼科病床的合理安排(共29页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上眼科病床的合理安排摘要本文在对相关数据进行整理和对数据深层次的分析基础上，首先确定了以床位服务强度和累积满意度为主的评价指标体系，并用该指标体系评价FCFS模型和NAFCFS优化模型的优劣。通过指标体系对FCFS模型相关问题的分析，可以发现通过改变不同类病人的入院优先顺序是可以有效地实现资源的优化配置的。NAFCFS优化模型实质上是在FCFS模型病人入院排列次序规则的基础上，增加了时刻时满意度高者优先入院治疗的规则，在NAFCFS优化模型下病人入院的优先规则如下：1.病人在不同门诊时间登记的，按先来先服务的原则；2.病人在同一门诊时间登记的，根据入院时间相对应的周几，

2、再按照相应中满意度的高低进入医院，知道医院没有空余的床位为止；3如有剩余的人数进入下一天，则它在下一天优先入院；4.依次类推。在NAFCFS优化模型下的某天累积满意度，其中、和分别是白内障（双眼）、白内障（单眼）、青光眼及视网膜病人在一周内不同时刻相应的的满意度的评价表，NAFCFS优化模型的满意度评价表为： 周一周二周三周四周五周六周日青光眼0.450.50.50.450.450.450.6视网膜0.350.350.450.350.450.350.4白内障（单眼）0.70.750.60.60.70.750.8白内障（双眼）0.40.50.50.550.60.650.7外伤1111111满意度

3、评价表是NAFCFS优化模型中病人入院优先顺序的重要表现方式，通过该评价表可以预测某个病人何时可以入院治疗的大概区间，并可针对具体的预期结果向医院管理方提出可行性建议。同时，NAFCFS优化模型已在一定程度上优化了FCFS模型，但也有其局限性，在本文中对此也有相关论述。关键字：评价指标体系 累计满意度函数 NAFCFS 排队论一、问题重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病

4、床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，

5、建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该

6、安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。二、问题假设（1）；假设该医院眼科住院部除白内障、青光眼、视网膜和外伤疾病外，不接收其他

7、类型病人；（2）假设白内障、青光眼和视网膜手术没有急诊病人；（3）假设该院眼科住院部在考虑病床安排时不受手术条件限制；（4）假设排队等待时间对每一个病人的心理影响程度相同，时间越长，影响越大；（5）假设所给予的原始数据是真实准确的；三、符号说明：表示时刻的时间点；： 表示从时间时刻到时间时刻的时间段：表示第类病人平均住院时间；：表示病人对医院的关于住院等待的满意度1：表示该与院眼科住院部床位的服务强度2：表示单位时间内病人到医院门诊的平均值；：表示单位时间内医院服务人数（即病人出院人数）的平均值；：表示第类病人对在模型中住院等待时间的满意度；：表示第类病人在总病人数中所占比例；：表示医院病床数

8、量；：表示时刻出院人数；：表示时刻医院中住院总人数；：时刻医院中第种病的住院病人增加人数；：时刻用FCFS规则累计的满意度函数；：时刻用NAFCFS规则累计的满意度函数；四、问题分析对此模型我们分析如下：4.1 数据分析在该模型中，题目给予我们2007年7月13日至2008年9月11日各类疾病的统计数据，说先对这些数据进行分类，并将该段时间内每天门诊接待人数拟合成图形。如图1（注：横坐标为时间，纵坐标为人数）从以上统计拟合的图形中，可以看出，病人到医院门诊的人数大致随机概率分布，我们进一步通过MATLAB3整合，并经过其验证得出，病人到医院门诊的人数服从泊松分布。同时，利用EXCEL工具，以不

9、同疾病类别为划分，分别求得其住院时间、等待时间和系统内服务期的均值、方差，具体数据表1表1 不同类别疾病住院时间、等待时间和系统内服务期的均值、方差对比图类型时间白内障（单眼）白内障（双眼）青光眼视网膜外伤总共均值方差均值方差均值方差均值方差均值方差均值方差住院时间5.112.01 8.134.0210.083.0012.076.176.773.009.0011.42等待时间12.180.8812.30.6911.901.4312.895.990.960.0412.210.95服务期17.293.9320.455.4921.955.0524.365.717.722.9121.2212.491表

10、1放映了不同类别在在不同时间段上的差距，可以发现，住院时间或服务期的离散程度很高，那么究竟是什么因素影响着住院时间或者服务期的长短呢？我们在该图表中并不能完全分析出，在本文之后的叙述中，我们会阐述该问题。4.2 评价指标体系分析 评价指标体系的建立主要是确定评价的标准，即用哪些参数作为衡量尺度对病床安排模型进行评价。在本模型中，我们先验证医院病床整体上经常达到达到饱和状态。一方面，可以从病人的角度来建立评价指标。我们用满意度来表示病人对模型评价的高低，而病人的满意度高低在本题中主要是以病人在系统中等待的时间和治疗费用有关，而治疗费用与病人住院时间呈正相关，所以最终可以通过病人在系统中平均住院时

11、间来衡量。这一阶段时间越短，则病人对现有模型满意度越高，如果这一阶段时间越长，则病人对现有模型满意度越低。另一方面，从医院的角度来分析，对医院所提供的服务是否合理主要在于能否缩短病人等待入院的队形长度，这一指标可以通过医院床位的服务强度来衡量。服务强度越高，则队长越短甚至不断缩短；反之，对长就越长。4.3 FCFS模型优化分析通过现有评价指标体系对FCFS的评价，我们能够得出病人对现有模型的满意度和床位服务强度，我们以该指标为评判标准，对现有模型进行合理改进，使改进后模型满意度和服务强度能高于对FCFS的满意度和服务强度。通过分析我们知道，在一周内，外伤、青光眼、视网膜、白内障（单眼）和白内障

12、（双眼）等各类病人的治疗时间虽符合随机变量的概率分布，但也有一定的规律，且在一周中不同时间内它们的平均治疗时间有较大差异。FCFS模型并没有考虑到这一差异对服务强度和满意度的影响，而实际上各类病因受该病能否在周一或周三治疗的客观条件限制而使其在一周中不同时间的平均治疗时间产生差异性分布。各类病人住院的优先顺序的调整可以影响平均治疗时间的分布，我们将以此为突破口，寻求到在原有FCFS模型基础上建立的NAFCFS优化模型。FCFS模型评价服务强度满意度优化、调整顺序NAFCFS模型对比检验预测评价图2 建立NAFAFS优化模型图解4.4 模型预测分析模型预测必须紧密联系实际数据，从实际数据中找出规

13、律，并将得出的规律作为结论应用于模型中-。对这个模型而言，依据数据统计，把握时间和人数的联系，然后通过Matlab进行分析或拟合，建立预测某个病人能入院的大致时间的正态分布函数，将得出的结论和模型中的理论相结合，就能得出最后的预测结果。五、模型建立5.1 模型评价指标体系模型5.1.1评价指标模型的建立（1）病人对现有系统是否满意，取决于其是否能尽快完成从开始等待到最后完成手术这一阶段，该段时间越长，病人满意度越低；该段时间越短，病人满意度越高。 取这一时间段，设第类病人满意度和第类病人平均住院时间满足关系 （1.1）综合满意度与第类病人满意度和第类病人平均住院时间满足关系 （1.2）（2）通

14、过原始数据，我们截取门诊时间一定时间段，在该时间段单位时间内病人来医院门诊的人数为，单位时间内医院服务人数（即出院人数）为，设时刻来医院就诊的病人住院的人数为，出院的病人的人数为，则 （1.3） （1.4） （1.5）若（即单位时间内到医院就诊的病人数超过出院的病人数），可以预期队伍会越来越长；若（即单位时间内到医院就诊的病人数少于出院的病人数），可以预期队伍会越来越短，排队情况必将得到改善，甚至根本不会排队；若（即单位时间内到医院就诊的病人数等于出院的病人数），可以预期队伍会保持原形不变。5.1.2 指标评价体系应用（1）对数据表中所有数据按照疾病种类分类进行整理，可得以下数据统计表和数据统

15、计饼图，如表2和图3所示。 表2类别总人数（人）人数比平均时间（天）白内障 1000.19 5.24白内障(双眼)1330.25 8.56青光眼630.12 10.49视网膜疾病1700.32 12.54外伤640.12 7.04图3根据这个模型，我们首先建立模糊分类： 表3 病人满意度的分类规则表不满意一般满意满意0,0.3(0.3,0.6(0.6,1用公式（1.2）通过EXCEL工具对FCFS模型中病人满意度进行计算，得在FCFS模型下病人的满意度： 有数据计算结果可见，在FCFS模型中的病人满意度一般，病人对FCFS模型并不是非常满意。FCFS模型按顺序排列住院病人，符合常规习惯，社会公

16、平度较高，符合市场经济公平原则，也容易为大众所接受。但是效率缺失，病人进出院更替过程缓慢，与效率原则不符。因此需要对模型进行改进，在尽可能少地减少公平度的条件下增加最多的效率，提高整个模型的满意度，使整个模型更趋向合理。（2）在原始数据中并非所有数据都具有完整性，我们观察后取了入院时间为2008年7月13日到2008年8月26日的数据作为研究对象，通过EXCEL工具统计可得： ； ；用公式（1.3）、（1.4）和（1.5）可以求得：由于，可以推断出，排队的病人会增多，队伍会越来越长，排队的现象严重并非一种预期的比较优化的结果，由此也可以看出，FCFS模型并非最好的处理医院病人需求的优化模型，所

17、以我们可以对该模型优化，建立NAFCFS优化模型。5.2模型NAFCFS优化模型5.2.1 NAFCFS优化模型分析NAFCFS模型的建立，旨在优化FCFS模型，即从总体上增加FCFS模型中病人的满意度和床位的服务强度 4，在这里我们仅仅围绕满意度这一指标来建立NAFCFS优化模型，再用床位的服务强度来验证这种模型是否合理。在原来的FCFS模型中，按照病人到医院门诊时间的先后顺序安排入院次序（急诊有优先权），而可以通过改变顺序，能改变模型中的病床配置效率，从而改变模型的满意度。我们可以通过讨论病床安排顺序的不同，寻找满足最佳满意度的情况，并将结果和通过FCFS模型求得的满意度进行对比，如果现在

18、的模型满意度比原模型高，即可得到优化模型。我们还可将模型进一步进行深化，在优化模型中，假定周六、周日医院是照常做手术，但通常情况下医生在双休日并不工作，而病人可以在这两天入院接受治疗，我们也将讨论周六、周日不安排手术的情况下作出相应调整地情况。5.2.2 NAFCFS优化模型建立在本模型中，我们对FCFS模型里的规则进行优化，使病床安排更合理。在时刻医院中住院总人数表示为： （1.6）其中 、分别表示时刻医院中住院总人数、时刻医院中第种病的住院病人增加人数。表示时刻医院中进入医院住院病人人数，表示时刻出院人数，则、之间存在如下关系： （1.7）对（1.6）进行递推，得 （1.8）由于7月13日

19、以前医院病床满员，又由数据表中数据，可知8月8日以前的时间段中还存在7月13日以前残留下来的病人，故对取8月8日以后的值，得当取值大于26时，恒等于79，所以医院病床始终处于饱和状态。在医院床位使用饱和状态下，每一位病人出院就会有另一个等待入院治疗的病人进入医院，那么，只有当病人在降低等待入院治疗时间和在院治疗时间的条件下，病人的满意度就可以提升。因为不同类别的疾病，可能在等待入院治疗时间或在院治疗时间上存在差别，从而导致在医院的约束条件下（即周一、周三做白内障手术，不做其他疾病的手术）各类疾病不同的优先排列次序产生不同的等待时间和在院治疗时间，进而使病人有了不同的满意度。通过对原始数据处理，

20、可以分别求得各类疾病及整体（外伤除外）的等待治疗时间的期望值和方差。所得统计结果如表4所示。表4 各类疾病及整体（外伤除外）的等待治疗时间的期望值和方差外伤视网膜青光眼白内障（单眼）白内障（双眼）整体（除外伤）期望值0.963912.298511.812512.151912.317312.2143方差0.03575.98671.43050.88140.68830.9471从以上数据可知，等待治疗时间的期望值都较为一致，方差较少，说明等待治疗时间是一个很稳定的随机变量5，差异性小，所以其对病人的满意度影响非常有限，在此我们不将其看作影响因素。那么，在院治疗时间的影响因素有多大呢？以下我们对不同时

21、刻到达的病人的病床安排进行讨论。对数据表中青光眼、视网膜疾病、白内障（单）、白内障（双）、外伤平均住院时间进行统计，画出表格，如表5所示。表5 一周中各时间不同类别疾病的在院治疗平均时间统计周一周二周三周四周五周六周日青光眼住院时间11 10 101111118视网膜住院时间13131113111312白内障（单）住院时间6588654白内障（双）住院时间1210109876外伤住院时间7768778表5中的数据可以通过公式（1.1），将在院治疗平均时间转化为病人的满意度，由此求得其满意度大小，从而得到表6。表6 一周中各时间不同类别疾病的满意度统计 周一周二周三周四周五周六周日青光眼0.45

22、0.50.50.450.450.450.6视网膜0.350.350.450.350.450.350.4白内障（单眼）0.70.750.60.60.70.750.8白内障（双眼）0.40.50.50.550.60.650.7外伤1111111若要使病人的总体满意度最大，那么须在某一时刻按照满意度大小顺序安排床位，由于外伤属于急症，其满意度远远大于其它四类病的满意度，所以外伤无论在什么时候都必定会优先安排。以周一为例，按照FCFS模型的排序原则，依谁先到医院挂门诊，谁就有优先住院的机会。但按照NAFCFS优化模型，以谁的满意度高下安排谁住院为依据，那么安排住院的排列顺序为：外伤、白内障（单眼）、清

23、光眼、白内障（双眼）、视网膜。NAFCFS优化模型实质上是在FCFS模型病人入院排列次序规则的基础上，增加了时刻时满意度高者优先入院治疗的规则，当然，满意度高低受疾病类别和时刻为一周中哪一天这两个因素的影响。或者说，在每天中都有无数多的病人等待住院的前提下，NAFCFS模型入院规则如下：1.病人在不同门诊时间登记的，按先来先服务的原则；2.病人在统一门诊时间登记的，根据入院时间相对应的周几，再按照表2中满意度的高低进入医院，知道医院没有空余的床位为止；3如有剩余的人数进入下一天，则它在下一天优先入院；4.依次类推。那么，NAFCFS优化模型是否能够提高病人的总体满意度呢？5.2.3 NAFCF

24、S模型的验证按照上述顺序计算出来的第天满意度与按照FCFS原则进行安排的第天满意度进行对比，其中，通过计算，只要满足就可以证明NAFCFS模型较按照FCFS模型原则进行安排的模型更为优，在尽可能小的减小FCFS模型公平度的条件下，最大的增大了模型的效率，提高了资源的有效配置。根据表中的满意度表，我们从一周中中随机抽取了七天中的一天，又从所有数据中该星期数随机抽取了一天，抽取了入院时间为星期日，在原始数据中有以星期日为基础对应的随机抽取数据，得到的是7月30日和7月31日登记门诊时间的病人入院人数。下表是统计数据：表7时间类型 7月30日7月31号白眼障（单）20白眼障（双）11视网膜疾病14青

25、光眼04、分别为病人在FCFS模型的排序规则下和在NAFCFS优化模型的排序规则下的满意度6，根据表5，可以求得：=5.8通过计算发现： alpha=0.05lamda=poissfit(a,alpha);p3=poisscdf(a,lamda);H3,s3=kstest(a,a,p3,alpha)if H3=0disp(该数据源服从泊松分布。) elsedisp(该数据源不服从泊松分布。) endalpha = 0.0500H3 = 0s3 = 0.1014该数据源服从泊松分布。附录二 等待时间函数求解图过程 b=min(a):max(a)b = 10 11 12 13 14 15 c=ze

26、ros(size(b);for i=8:14 cc=size(find(a=i); c(i)=cc(1);end c=c(10:15)? Index exceeds matrix dimensions. size(b)ans = 1 6 c=zeros(size(b);for i=8:14 cc=size(find(a=i); c(i)=cc(1);end c=c(10:15)? Index exceeds matrix dimensions. c=zeros(size(b);for i=8:14 cc=size(find(a=i); c(i)=cc(1);end c=zeros(size(b

27、);for i=10:15 cc=size(find(a=i); c(i)=cc(1);end c=c(10:15)c = 16 60 162 91 31 5 m,n,s,t=normfit(a)m = 12.2082n = 1.0057s = 12.1047 12.3117t = 0.9377 1.0845附录3依照NAFCFS优化模型的规则下，在门诊时间相同的条件下统计出的入院、出院时间表序号类型门诊时间入院时间新规则下出院时间125青光眼2008-7-272008-8-92008-8-20 127白内障(双眼)2008-7-272008-8-92008-8-16 128白内障2008-7

28、-272008-8-92008-8-13 132白内障(双眼)2008-7-272008-8-92008-8-16 133青光眼2008-7-282008-8-92008-8-20 134视网膜疾病2008-7-282008-8-92008-8-25 136青光眼2008-7-282008-8-92008-8-19 138视网膜疾病2008-7-282008-8-92008-8-25 139青光眼2008-7-282008-8-92008-8-20 140视网膜疾病2008-7-282008-8-92008-8-24 141白内障(双眼)2008-7-282008-8-92008-8-16 1

29、42青光眼2008-7-282008-8-92008-8-19 143视网膜疾病2008-7-282008-8-92008-8-24 144视网膜疾病2008-7-282008-8-92008-8-20 145青光眼2008-7-292008-8-92008-8-22 146白内障(双眼)2008-7-292008-8-92008-8-16 147视网膜疾病2008-7-292008-8-92008-8-24 148白内障2008-7-292008-8-92008-8-14 149青光眼2008-7-292008-8-92008-8-22 236外伤2008-8-82008-8-92008-8

30、-14 150白内障2008-7-302008-8-102008-8-15 151视网膜疾病2008-7-302008-8-102008-8-20 152白内障2008-7-302008-8-102008-8-13 154白内障(双眼)2008-7-302008-8-102008-8-16 157青光眼2008-7-312008-8-102008-8-18 158视网膜疾病2008-7-312008-8-112008-8-24 159青光眼2008-7-312008-8-102008-8-16 160青光眼2008-7-312008-8-102008-8-19 161白内障(双眼)2008-7-312008-8-102008-8-15 162视网膜疾病2008-7-312008-8-112008-8-28 164视网膜疾病2008-7-312008-8-112008-8-25 16