历年天津理工大学高数期末考试试卷及答案(共29页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2015-2016年第二学期高等数学AII期末考试试卷一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分共20分）1、三重积分，其中由平面，所围，化为三次积分是（ B ）A、 ； B、 ；C、 ； D、 .2、设，则（ A ）A. ； B. ； C. ； D. .3、微分方程 的通解为（ C ）.A. ； B. ； C. ； D. .4、设是上侧，是下侧，是平面上圆的上侧，在空间上有一阶连续偏导数，且，则与曲面积分相等的积分是（ B ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) .5、微分方程的特解形式为（ B ）A、； B、； C、； D、解：特征方程，特解

2、形式为.选（B）.6、当时， 的极限为（ A ） A、不存在； B、； C、； D、.7、下列级数收敛的是（ B ）A、； B、； C、； D、.8、微分方程的通解为（ C ）A. ； B. ； C. ； D. .解：特征方程，通解为.选（C）. 9、设，由直线，与围成，则与的大小关系是（ A ）A、； B、； C、； D、.10、积分的极坐标形式的二次积分为（B ）A、；B、；C、； D、.二、填空题（每空3分，共30分）1、微分方程的通解含有(独立的)任意常数的个数是 2 个. 2、设是周期为的周期函数，且，它的傅立叶级数的和函数为，则. 3、已知函数，则 0 . 4、设平面曲线为，则曲线

3、积分. 5、若曲线积分与路径无关,则 2 。 6、设幂级数，其收敛半径=.7、设方程确定函数，则 8、极限。 9、设区域D为，则. 10、若均匀薄片所占区域为，其密度为，则其质量为.三、计算题（每小题6分，共30分）1、求幂级数的收敛域及其和函数解： 和函数 =，收敛域为 ，即.2、设，具有二阶连续偏导数，求.解：， ， .3、求一阶线性非齐次微分方程满足初始条件下的特解.解：. 将代入,得,特解.4、计算二重积分，其中是由圆，所围成的的闭区域. 解： 四、解下列各题（每小题7分，共14分）1、计算，其中：，部分解：.2、计算曲线积分,其中：从到.解： 添加辅助线段：从到. 原式.五、证明题（

4、本题6分）设数列收敛，且级数收敛，证明级数也收敛。证明：因为数列收敛，则存在，设。又级数收敛，设其部分和为，则存在，设设级数部分和为，则，。级数也收敛。2014-2015学年度第二学期高等数学AII期末考试试卷一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分共20分）1、曲面在点处的法线方程为（ B ）A、； B、；C、； D、.2、设存在，则=（ A ）.A、 ; B、 ; C、; D、.3、微分方程的通解为（ B ）A、； B、； C、； D、.4、闭区域是由简单闭曲线 (正向)所围，下列积分不等于面积的积分是（C）A、 B、 C、 D、5、微分方程的特解形式为（ B ）A、；

5、 B、； C、； D、.6、当时， 的极限为（ A ） A、不存在； B、； C、； D、.7、下列级数收敛的是（ D ）A、； B、； C、； D、.8、函数在点可微，是函数在点各偏导数连续的（ B ）.A、充分条件; B、必要条件；C、充要条件； D、既非充分也非必要条件.9、设，由轴，轴与直线围成，则与的大小关系是（ D ）A、； B、； C、； D、.10、积分的极坐标形式的二次积分为（B ）A、；B、；C、； D、.二、填空题（每空3分，共30分）1、设在具有二阶连续的偏导数， 是的顺时针方向，则的值等于.解：.2、设是周期为的周期函数，且，它的傅立叶级数的和函数为，则.3、设区域是

6、由围成的图形，则二重积分 2 .4、设平面曲线为圆周，则曲线积分.解：。5、设空间曲线，则曲线积分.6、设幂级数，其收敛半径=.7、确定函数，则 1 .解：设，.8、。9、设区域：，则.10、若均匀薄片所占区域为，其密度为，则其质量. 三、计算题（每小题6分，共30分）1、求幂级数的收敛域及其和函数解： 和函数 =，收敛域为 ，即 .2、设，其中具有二阶连续偏导数，求.解：， ， 。3、求方程的积分曲线，使该曲线与直线相切于原点.解：特征方程，方程通解为，又由已知，有 ，解得 ，积分曲线为.4、计算，其中是由曲面及平面所围成的的闭区域.解：。或。四、解下列各题（每小题7分，共14分）1、求，其

7、中为被，所截下部分的曲面。解： ， 。2、设曲线积分在右半平面内与路径无关,其中可导且，求.解：曲线积分与路径无关，则，即，得微分方程得 ，. 将代入，得，。五、证明题（本题6分） 设级数，收敛，证明级数也收敛。证明：因为，级数收敛，则由比较审敛法，正项级数收敛，级数绝对收敛。天津理工大学考试试卷20132014学年度第二学期高等数学AI期末考试试卷课程代码： 试卷编号： 1-A 命题日期： 2014年4月15日答题时限： 120 分钟 考试形式：闭卷、笔试得分统计表：大题号总分一二三四五核查人签名阅卷教师一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分，共20分）得分 1、设空间

8、区域是由和所围成，三重积分用柱面坐标计算为（A）A、 ； B、 ；C、 ； D、 . 2、设存在，则=（ C ）.A、2 ; B、 ; C、; D、.3、曲面在点处的切平面方程为（ C ）A、； B、；C、；D、.4、是的（ B ）A、通解； B、特解； C、是解，但非通解也非特解 D、不是解5、微分方程的特解形式为（ D ）A、； B、； C、； D、.6、函数，则（C ） A、； B、； C、； D、.7、下列级数发散的是（ C ）A、； B、； C、； D、.8、函数在点可微，是函数在点方向导数存在的（A）. A、充分条件; B、必要条件； C、充要条件； D、既非充分也非必要条件.9、

9、方程的通解为（ B ）A. ； B. ； C. ； D. .10、设是连续函数，则交换次序后得（ ）(A)； (B) ；(C) ； (D) .二、填空题（每空3分，共30分）得分1、设在具有二阶连续的偏导数，是顺时针方向，则的值等于.设区域D是由围成的图形，则二重积分2.2、设是周期为的周期函数，且，它的傅立叶级数的和函数为，则.3、设区域D是由围成的图形，则二重积分16.4、设曲面方程为球面，则曲面积分.5、设空间曲线，则曲线积分.6、设幂级数，其收敛半径=.7、确定函数，则 1 .8、要使在点(0,0)连续，则应定义。9、已知幂级数在处发散，则在处级数的敛散性是发散.10、若均匀薄片所占区

10、域为，其密度为，则其质量为.三、计算题（每小题7分， 共28分）得分1、求幂级数的收敛域及其和函数解： 和函数 =，收敛域为 ，即 .2、设，其中具有二阶连续偏导数，求，.解：， .3、求微分方程 的通解.解：. 4、计算二重积分，为由直线，及曲线所围成的闭区域.解：。四、解下列各题（每小题8分， 共16分）得分1、求，其中为被，所截下部分的曲面，其法向量方向与轴正半轴成钝角。解 补平面下侧，上侧。2、设曲线积分与路径无关,其中连续且，若表示从到的一段弧，求。解：因为曲线积分与路径无关,， ，将代入，得。 五、证明题（本题6分）得分设级数和收敛，证明级数也收敛。证明：因为，级数和收敛，则收敛，

11、由比较审敛法，级数收敛，级数绝对收敛。2012-2013学年度第二学期高等数学AII期末考试试卷一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分共20分） 1、内部，则（C）(A)的体积； (B)；(C)； (D). 2、函数在点的偏导数，存在且连续，是函数在点可微的（ A）. A、充分条件; B、充要条件； C、必要条件； D、既非充分也非必要条件.3、（D）A、； B、；C、；D、.4、设为上半圆周, 将曲线积分化为定积分的正确结果是( A ) A、； B、；C、； D、.5、设二阶线性非齐次微分方程的三个线性无关特解为，则该方程的通解是（ D ）A、； B、；C、； D、.6

12、、下列级数发散的是（ A ）A、； B、； C、； D、.7、微分方程的特解形式为（ C ）A、； B、； C、； D、.8、已知幂级数在处收敛，则下列结论正确的是( A )A、在处级数收敛； B、在处级数收敛；C、在处级数发散； D、在处级数收敛.9、方程的通解为（ B ）A. ； B. ； C. ； D. .10、设存在，则=（ D ）.A、 ; B、 ; C、; D、.二、填空题（每空3分，共30分）1、设区域D是由围成的图形，则二重积分2.2、若函数在点处取得极值，则常数2.解：函数在点处取得极值，.3、设是由光滑曲面所围成的空间闭区域且体积为，则沿外侧的积分.4、设取圆周的负向，则曲

13、线积分.5、设是周期为的周期函数，且，它的傅立叶级数的和函数为，则.6、若级数收敛 , 则应满足的范围是.7、设幂级数，其收敛半径=.8、二次积分的值.9、设为平面内直线上一段，则 0 .10、设空间曲线，则曲线积分.三、计算题（每小题7分，共28分）1、设，具有二阶连续偏导数，求，.解：， .2、求幂级数的收敛域，并求其和函数.解：，（）3、求微分方程 的通解.解：。4、计算二重积分，为满足的闭区域.解：关于轴对称，被积函数关于为奇函数，故.四、解下列各题（每小题8分，共16分）1、计算,其中是从点沿上半圆周到点的曲线段.解： 添加辅助线段，由2变化到0.原式.2、求方程的积分曲线，使该曲线

14、与直线相切于原点解：特征方程，方程通解为，又由已知，有 ，解得 ，积分曲线为.五、证明题（本题6分）设函数连续且恒大于零，.定义，其中，.证明在内单调增加. 证明：，.则由题设，当时，故在内单调增加.2011-2012学年度第二学期高等数学AII期末考试试卷一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分共20分）1、微分方程的特解形式为（ C ）A、； B、； C、； D、.2、二元函数在处可微的充分条件是（ D ）.A、在处连续; B、，在的某邻域内存在；C、当时，是无穷小； D、.3、球面与柱面所围成的立体体积（ B ）A、； B、； C、； D、.4、设为上半圆周, 将曲线

15、积分化为定积分的正确结果是( A ) A、； B、；C、； D、.5、设二阶线性非齐次微分方程的三个特解为，则该方程的通解是（ D ）A、； B、；C、； D、.6、下列级数绝对收敛的是（ A ）A、； B、； C、； D、.7、以下四结论正确的是（ B ）A、； B、； C、；D、以上三结论均错误.8、设幂级数在处收敛，则此幂级数在处 ( C )A、一定发散； B、一定条件收敛； C、一定绝对收敛； D、敛散性不能判定.9、设在平面有界闭区域上具有二阶连续偏导数，且满足及，则（ B ）。 A、最大值点和最小值点必定都在的内部； B、最大值点和最小值点必定都在的边界上； C、最大值点在的内部，

16、最小值点在的边界上； D、最小值点在的内部，最大值点在的边界上。10、设存在，则=（ D ）.A、 ; B、 ; C、; D、.二、填空题（每空3分，共30分）1、设区域D是由围成的图形，则二重积分8.2、设为取正向的圆周，则曲线积分.3、设是由光滑曲面所围成的空间闭区域且体积为，则沿外侧的积分.4、设是由，所围成的立体域，则三重积分 .5、设是周期为的周期函数，且，它的傅立叶级数的和函数为，则.6、若级数收敛 , 则应满足的范围是.7、设幂级数，其收敛半径=.8、二次积分的值 1 .9、设为平面内直线上一段，则 0 .10、设空间曲线，则曲线积分.三、计算题（每小题7分，共28分）1、设，求

17、，其中具有二阶连续偏导数.解：， .2、求幂级数的收敛域，并求其和函数.解：，.（，当时，级数为，发散，故收敛域为）3、求微分方程 的通解.解：. 4、计算积分.解：.四、解下列各题（每小题8分，共16分）1、计算,其中为由至的那一弧段.解： 添加辅助线段，由-2变化到2.原式.2、求方程的积分曲线，使该曲线与直线相切于原点解：特征方程，方程通解为，又由已知，有 ，解得 ，积分曲线为.五、证明题（本题6分）设函数连续且恒大于零，.定义，其中.证明在内单调增加. 证明：，则，由题设，当时，故在内单调增加.2010-2011学年度第二学期高等数学AII期末考试试卷一、单项选择题（从4个备选答案中选

18、择最适合的一项，每小题2分共20分）1、函数在点各偏导数存在，是函数在点可微的（ C ）.A、充分但不必要条件; B、充分必要条件；C、必要但不充分条件； D、既非充分也非必要条件.2、设空间区域是由曲面，和所围成，三重积分用柱面坐标计算为（ D ） A、； B、； C、； D、.3、微分方程的通解为( D )A、； B、； C、； D、.4、当D是由（ D）围成的区域时，二重积分.A、x轴，y轴和；B、和；C、和； D、.5、微分方程的特解形式为（ C ）A、； B、； C、； D、.6、函数，则（ A ） A、； B、； C、； D、.7、下列级数发散的是（ C ）A、； B、； C、；

19、D、.8、闭区域D是由简单闭曲线L(正向)所围，下列积分等于D面积的积分是（ D ）A、； B、； C、； D、.9、方程的通解为（ B ）A、； B、； C、； D、.10、要使在点(0,0)连续，则应定义（ B ）.A、0； B、； C、 ； D、.二、填空题（每空3分，共30分）1、若级数收敛 , 则应满足的范围是.2、设是周期为的周期函数，且，它的傅立叶级数的和函数为，则 -1 .3、设，则=.4、设平面曲线L为圆周，则曲线积分.解：.5、设在具有二阶连续的偏导数， 是的正向，则.解：.6、设，则级数的收敛半径=.（级数缺偶次幂项，用比值法，级数绝对收敛，级数发散，故收敛半径）7、设，

20、则解：.8、设连续，则交换次序后得9、已知幂级数在处收敛，则在处级数的敛散性是绝对收敛.10、若均匀薄片所占区域为其密度为，则其质量.三、计算题（每小题6分，共30分）1、求幂级数的收敛域及其和函数解： 和函数 =，收敛域为 ，即 .2、设，其中具有二阶连续偏导数，求.解：， ， .3、求微分方程 的通解.解：. 4、求，其中为被，所截下部分的曲面.解：，. 四、解下列各题（每小题7分，共14分）1、计算曲面积分，其中是球面的外侧.解： 利用高斯公式及三重积分的奇偶对称性，.2、设曲线积分与路径无关,其中连续且，求.解：曲线积分与路径无关，则，即，分离变量，积分有，得，将代入，得，.五、证明题

21、（本题6分）证明 若简单闭曲线不通过轴，取正向，则所围面积为. 证明：设所围区域为，其面积为.利用格林公式，.2009-2010学年度第二学期高等数学AII期末考试试卷一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分共20分）1、内部，则（C） (A)的体积； (B)； (C)；(D).2、函数在点的偏导数，连续，是函数在点可微的（ A）. A、充分条件; B、充要条件； C、必要条件； D、既非充分也非必要条件.3、（C ）(A)； (B) ；(C) ； (D) .4、设为到的直线段，则曲线积分=( B ) .A、； B、；C、； D、.5、函数，是微分方程（其中，是连续函数）的

22、三个特解，则方程的通解是（ D ）A、；B、；C、；D、.6、下列级数条件收敛的是（ A ）A、； B、； C、； D、.7、已知函数满足方程，且，则（ A ）A、1； B、； C、-1； D、解：分离变量，积分，代入，得，选.8、已知幂级数在处发散，则下列结论正确的是( B )A、在处级数绝对收敛；B、在处级数发散；C、在处级数绝对收敛； D、在处级数条件收敛.9、方程的通解为（ B ）A. ； B. ； C. ； D. .解：方程化为，通解为.选（B）. 10、设，则以下结论正确的是（ D ）A、，不存在； B、，不存在； C、，皆不存在； D、.解：，类似，故选.二、填空题（每空3分，共

23、30分）1、设区域D是由围成，二重积分，则 2 .解：.2、若函数在点处取得极值，则常数 5 .解：函数在点处取得极值，.3、函数在点处沿点到点的方向的方向导数是 .解：，方向向量，则，方向导数.4、设取圆周的负向，则曲线积分.解：-.5、设是周期为2的周期函数，且，它的傅立叶级数的和函数为，则 1 .6、若级数收敛 , 则应满足的范围是.7、设幂级数，其收敛半径=.（）8、二重积分的值=.解：.9、曲线：在其上对应点处切线方程为.10、设L为上半圆周，则曲线积分.解：.三、计算题（每小题6分，共30分）1、设，具有二阶连续偏导数，求.解：， ， .2、求幂级数的收敛域及其和函数解： 和函数 =，收敛域为 ，即 .3、求微分方程 的通解.解：特征方程，对应齐次方程通解设特解为. ，代入原方程有，解得，原方程通解为.4、计算二重积分.解：=.四、解下列各题（每小题7分，共14分）1、计算，其中是球面的外侧.解： 利用高斯公式，原式=.2、已知曲线积分,（1）求常数，使积分与路径无关；（2）若为上沿下半圆周从点到点的一段弧，在（1）的条件下计算曲线积分的值.解：（1）当 ，即时，积分与路径无关. （2）积分与路径无关，.五、证明题（本题6分）若为连续可微函数， ，证明：，其中解：，.专心-专注-专业