二项式定理优秀教学设计(共5页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上二项式定理第3课时教学目标：掌握二项展开式中的二项式系数的三条性质及有关推导方法，并能简单应用。教学过程：【设置情境】在杨辉的详解九章算术中载有一个“开方作法本源”图。如图所示，就是“杨辉三角”。那么这个图是如何得来的？它表达的是什么？这节课我们就来共同探讨这个问题！【探索研究】上节课我们已经知道在二项式定理中，叫做二项式系数。它们是一组仅与二项式的次数n有关的个组合数，而与a、b无关，值得注意的是它们与展开式中的“系数”是有区别的。1“杨辉三角”的来历及规律展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5

2、 11 6 15 20 15 6 1这个表叫做二项式系数表，也称“杨辉三角”。由学生观察这个表的规律，表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。当n不大时，可以根据这个表来求二项式系数。展开式的二项式系数依次是从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数，其定义域是2二项式系数的性质1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。这一性质可直接由公式得到。2）增减性与最大值由于 所以相对于的增减情况由决定。由 。可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值；当n为奇数时

3、，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。3）各二项式系数的和在二项式定理中，令，则。这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于。同时由于，上式还可以写成。这是组合总数公式，表示在n个不同元素里，每次取1个、2个、n个元素的所有组合数的和。3例题分析例1 证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。证明：在展开式中，令，得。就是 即在的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数的和。例2 已知的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项。解：依题意 整理得 设展开式中含x的项是第项，则 解得故展开式中含x的项为第3项，

4、即。【演练反馈】1已知的展开式中的系数和比的展开式中的二项式系数和大240，求的展开式中的第3项。（由一名学生板演后，教师讲评，着重指出“二项式数”与“系数”的区别）2在二项式的展开式中，求系数最小的项的系数。3求的展开式中系数最大的是第几项？（学生思考后，教师引导分析，展开式中系数最大的项不是中间一项）4设：。求：的值。（学生练习后，教师讲解，指出“取特值”是二项式定理中常用的方法）【参考答案】1解：依题意有解得于是的展开式中的第3项是2解：因为在的展开式中，各项的二项式系数与项的系数相等或互为相反数，又展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第六项、第七项，所以系数最小的项的系数为3解：设展开式中第项的系数最大，则即 整理得解得 故第18项的系数最大。4解：在令，得 令，得 两式相乘得 。【总结提炼】二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。板书设计 二项式定理（三）（一）设置情境（二）探索研究1“杨辉三角”的来历及规律2二项式系数的性质3例题分析例1例2练习（三）总结提炼专心-专注-专业