人教课标版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》教案-新版(共15页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上4.2.1 直线与圆的位置关系（一）核心素养通过学习直线与圆的位置关系，掌握解决问题的方法代数法、几何法.（二）学习目标1.清楚圆与直线的三种位置关系.2.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法.4.求过点的圆的切线方程.（三）学习重点1.直线与圆的位置关系的判断方法.2.用直线和圆的方程解决问题.（四）学习难点1.用直线和圆的方程解决问题.2.用坐标法判直线与圆的位置关系.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材，填空：直线与圆的三种位置关系的几何含义是：直线与圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离d

2、与半径r的关系图形相交2个dr（2）记一记：直线与圆的位置关系的判断方法方法一：代数方法步骤：1.将直线方程与圆的方程联立成方程组.2.利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程.3.求出其判别式的值.4.比较与0的大小关系，若0，则直线与圆相交；若=0，则直线与圆相切；若0，则直线与圆相离.反之也成立.方法二：几何法1. 利用点到直线距离公式计算圆心到直线的距离d.2. 计算出圆的半径为r.3. 比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系，若dr，则直线与圆相离；若dr，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切. 反之也成立.2.预习自测（1）直线与圆有一个交点称为_，有两个交点称为_，没有

3、交点称为_.【知识点】直线与圆位置关系定义【数学思想】分类与整合【解题过程】根据定义填空【思路点拨】看图理解定义【答案】相切、相交、相离.（2） 直线与圆的方程联立方程组，若方程组无解，则直线与圆 ，若方程组仅有一组解，则直线与圆 ，若方程组有两组不同的解，则直线与圆_.【知识点】直线与圆位置关系定义【数学思想】分类与整合 、数形结合【解题过程】根据定义填空【思路点拨】理解方程的解的定义【答案】相离、相切、相交. （3） 直线与圆相交，求的取值范围.【知识点】直线与圆位置关系【数学思想】 函数与方程 【解题过程】圆心到直线的距离，因为相交，所以【思路点拨】圆心到直线的距离与半径的关系【答案】（

4、4）判定直线与圆位置关系是 .【知识点】直线与圆位置关系【解题过程】，所以相交【思路点拨】圆心到直线的距离与半径的关系【答案】相交.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）直线与圆的方程（2）直线与圆的位置关系和等价条件（3）两点间的距离和点到直线的距离公式2.问题探究探究一 结合实例，认识圆与直线的平面位置关系活动 清楚圆与直线的位置关系我们清楚两个物体在空间位置关系有上下前后左右这几种，那么我们了解在名片上两个图形同样也有上下左右的位置关系.那么圆和直线这两种图形的位置关系我们应该如何称呼呢？首先我们设想自己正在海边观看日出：当看到太阳从海岸线上升起的时候，太阳和地平线之间的位置关系叫什么呢？当

5、看到太阳与海岸线相切的时候呢？太阳完全升起来的时候呢？根据课本知识和图像我们知道直线与圆的位置关系根据两个图形的交点个数可以分为相交、相切、相离三种.请完成下列空格：直线与圆有一个交点称为_，有两个交点称为_，没有交点称为_.【答案】相切、相交、相离【设计意图】从实际问题中引入圆与直线位置关系，并运用课本中知识来解答实际问题，巩固预习成果，明确直线与圆的位置关系.活动 辨析概念、学会根据图像判别直线与圆的位置关系请看图判断直线与圆位置的关系.【答案】相离、相切、相交.【设计意图】通过图片显示直线与圆的位置关系并让同学们加以辨析，明确概念理解与专业名词的运用，加深记忆同时检验预习成果.探究二 探

6、究判断圆与直线位置关系的方法活动 回顾直线与圆的方程大家能够说出直线解析式的通式吗？（抢答）(1)点斜式：(2)斜截式：(3)两点式：(4)截距式：(5)一般式：(A，B不同时为0).大家能够说出圆的三种方程吗？（抢答）(1)圆的标准方程：(2)圆的一般方程：(D2E24F0).(3)圆的直径式方程：(圆的直径的两端点是.【设计意图】通过回顾直线和圆方程的知识，为后面学习使用代数方法求直线与圆位置关系打下基础.活动 做例题初步认识代数和几何方法的解题思路已知直线圆心为C的圆,判断直线与圆的位置关系.如果相交,求出它们的交点坐标. （书本例题）【设计意图】从课本的例子出发，让同学们初步建立代数方

7、法和几何方法解决此类问题的解题方法和思路.活动 直线与圆位置关系中的参数取值问题例1 已知圆的方程是,直线,当为何值时,（1）圆与直线有两个公共点；（2）只有一个公共点；（3）没有公共点.【知识点】直线与圆的位置关系、不等式【数学思想】分类讨论【解题过程】联立方程求判别式或者计算距离【思路点拨】判别式法或者圆心到直线的距离与半径比较【答案】（1）（2）（3）同类训练 设,若直线与圆相切,则的取值范围（ ） 【知识点】直线与圆的位置关系、不等式【数学思想】方程不等式【解题过程】利用相切求出关系，再用重要不等式求出范围【思路点拨】利用相切找条件【答案】D探究三 直线被圆截得的弦长的常用方法活动 直

8、接求弦长的方法例2 在平面直角坐标系中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为.【知识点】垂径定理、弦长公式【数学思想】数形结合【解题过程】 解法一：因为圆心(2，1)到直线x2y30的距离所以直线x2y30被圆截得的弦长为解法二：利用韦达定理得到直线与圆的两个交点和有，利用弦长公式求出弦长.【思路点拨】垂径定理、韦达定理【答案】同类训练 求直线被圆截得的弦长.【知识点】垂径定理、弦长公式【数学思想】数形结合【解题过程】法一：求出圆心到直线距离，利用垂径定理；法二：韦达定理，弦长公式【思路点拨】垂径定理、韦达定理【答案】2活动 已知弦长，转化为圆心到直线的距离来求参数例3 已知圆

9、 截直线所得弦的长度为4，则实数的值是( ) . . .【知识点】垂径定理【数学思想】数形结合【解题过程】圆的标准方程为，圆心C(1，1)，半径r满足，则圆心C到直线的距离所以422.【思路点拨】垂径定理【答案】B同类训练 已知过点的直线被圆所截得的弦长为4,求直线的方程.【知识点】直线的点斜式、弦长公式【数学思想】分类讨论、转化思想【解题过程】设直线为，所以直线方程为，【思路点拨】再利用垂径定理解决问题【答案】，活动 过圆内一点的最长弦和最短弦方程问题例4 已知圆，求过圆内一点的最长弦和最短弦所在直线方程【知识点】直线方程、圆的几何性质【数学思想】数形结合【解题过程】圆心，最长弦一定为直径，

10、即直线，则最长弦的方程为.最短弦和直径垂直，最长弦即直径所在直线的斜率是1，所以最短弦斜率是-1，过因为过点P，则最短弦的方程为.【思路点拨】利用几何关系得出结论【答案】，同类训练 设为圆上一动点，则到直线的最大距离为_.【知识点】圆的几何性质【数学思想】数形结合【解题过程】求出圆心到直线的距离再加上半径，则最大距离【思路点拨】利用几何关系得出结论【答案】活动 互动交流、初步实践组织课堂讨论：我们能否根据不同的点与圆的位置关系求出切线方程？在直线与圆的位置关系中求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都知道有这样的结论.过圆上一点的切线方程为在运用这个结论的时候要注意些什么呢？我们可

11、以来看一道例题：例5 求过点向圆所引的切线方程.【知识点】圆的切线【数学思想】分类讨论【解题过程】解法一设切点为，则过点的切线方程为，又点在切线上 联立可以解得切点，则最终解得切线方程，.解法二（1）当斜率不存在的时候，满足；（2）当斜率存在的时候，设切线方程，即,圆心（0,0）到切线的距离是2，解得所求切线方程为.综上所述：切线方程，.【思路点拨】利用结论、求切线的通法【答案】，.同类训练 从点向圆作切线，求切线段长度最小的切线方程【知识点】圆的切线【数学思想】数形结合【解题过程】分析可知切线段最小，则点到圆心距离最小的点为所求，即,求得直线为【思路点拨】找出切线段最小的那个点.【答案】.3

12、.课堂总结知识梳理（1）直线与圆的位置关系根据两个图形的交点个数可以分为相交、相切、相离三种.（2）解决直线与圆位置关系的方法：几何法，代数法.（3）与圆相交的直线被圆所截得的弦长的计算.（4）过点求圆的切线方程的方法.重难点归纳（1）解决直线与圆位置关系题目的方法有代数法和几何法（2）使用直线和圆的方程来计算所截弦长、以及圆的切线方程.（三）课后作业基础型 自主突破1.对任意的实数,直线与圆的位置关系一定是（ ）A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心【知识点】直线与圆位置判别【数学思想】数形结合【解题过程】直线必过点【思路点拨】根据该点与圆心的距离和圆半径大小的比较

13、进行判断.【答案】C2.圆上的点到直线的距离最大值是（ ）A.2 B. C. D.【知识点】点到直线距离公式【数学思想】数形结合【解题过程】,圆心到直线距离公式求出圆心到直线的距离，再加上半径1，则【思路点拨】加上半径是关键.【答案】B.3.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是( )A.B.C. D.【知识点】已知关系求参数的取值范围【数学思想】转化思想【解题过程】直线为，【思路点拨】找到正确的方法对进行求【答案】B4.直线被圆所截得的弦长等于_.【知识点】弦长公式【数学思想】方程思想【解题过程】则求得弦长为【思路点拨】圆中的弦长公式【答案】.5.过点的直线中被圆截得的弦长最大的直线方程是(

14、 ) . 【知识点】最值问题【数学思想】数形结合【解题过程】圆心，则直线为【思路点拨】该弦所在直线过圆心【答案】A6.圆上有某点，求过此点的切线方程.【知识点】圆的切线【数学思想】数形结合【解题过程】,切线斜率与点与圆心直线斜率乘积为 ，【思路点拨】点斜式求直线【答案】能力型 师生共研7.圆在点处的切线方程为（ ） . 【知识点】圆的切线【数学思想】数形结合【解题过程】，点在圆上，圆心与的直线斜率，所以直线为【思路点拨】抓住点在圆上，该点处的切线的斜率特点.【答案】D8.直线截圆得的劣弧的圆心角为_.【知识点】弦长、圆心角【数学思想】数形结合【解题过程】直线与圆交于，可求得.又，所以是等边三角

15、形，.【思路点拨】求出，解【答案】探究型 多维突破9.已知圆C：.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程.【知识点】求切线方程【数学思想】分类讨论【解题过程】切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，切线的斜率是1或过原点,故所求切线方程为：xy30，xy10，xy50，xy10.【思路点拨】利用截距绝对值相等【答案】xy30，xy10，xy50，xy10.10.已知圆C：x2y22x4y30.从圆C外一点P(x1，y1)向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有PMPO，求使PM最小的点P的坐标.【知识点】圆的切线【数学思想】方程思想【解题过程】切线PM与CM垂直，,又PMPO，

16、坐标代入化简得.PM最小时即PO最小，而PO最小，即过O点作直线的垂线与之交点即为， 从而解方程组得满足条件的点P坐标为.【思路点拨】找出P满足的条件，找到最小值得位置【答案】.自助餐1.直线yx1上的一点向圆(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为（ ） 3【知识点】圆的切线【数学思想】转化思想【解题过程】为圆心（3,0）到直线上的点的距离，所以切线段最短，则当最短时取得，【思路点拨】利用切线长的公式.【答案】C.2.直线xy20与圆x2y24相交于A，B两点，则弦AB的长度等于_.【知识点】弦长【解题过程】根据圆的方程知，圆的圆心坐标为(0，0)，半径R2，弦心距，所以弦长【思路点拨】弦

17、长公式.【答案】3.圆C：(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1)y7m4(mR).(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点；(2)求C与直线l相交弦长的最小值.【知识点】直线与圆位置关系、弦长最值问题【数学思想】数形结合，转化思想【解题过程】(1)将方程(2m1)x(m1)y7m4，变形为(2xy7)m(xy4)0.直线l恒过两直线2xy70和xy40的交点，交点M(3,1).又(31)2(12)2525，点M(3,1)在圆C内，直线l与圆C恒两个交点.(2)由圆的性质可知，当lCM时，弦长最短.又弦长为【思路点拨】.找到几何关系【答案】44.已知过点的直线与圆相交

18、于两点，（1）若弦的长为，求直线的方程；（2）设弦的中点为，求动点的轨迹方程.【知识点】弦长、直线方程、轨迹问题【数学思想】方程思想【解题过程】（1）若直线的斜率不存在，则的方程为，此时有，弦，所以不合题意.故设直线的方程为，即.将圆的方程写成标准式得，所以圆心，半径.圆心到直线的距离，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，所以，即，所以.所求直线的方程为.（2）设，圆心，连接，则.当且时，又，则有，化简得.（1）当或时，点的坐标为都是方程（1）的解，所以弦中点的轨迹方程为.【思路点拨】.解析法求轨迹【答案】 .5.过直线xy0上点P作圆x2y21的两条切线，若两条切线夹角是60，则点P的坐标是_.【知识点】圆的切线【数学思想】转化思想【解题过程】如图所示，过点P作圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP.由已知得，APO30，所以PO2.设P坐标为，则，所求坐标为(，).【思路点拨】角度转化为长度【答案】(，).6.已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是( )相离 相切 相交 不确定【知识点】点与圆、直线与圆位置判别【解题过程】M(a，b)在圆O：x2y21外，则，【思路点拨】直接转化条件【答案】专心-专注-专业