湖南省岳阳县第一中学2014年物理奥赛教案-第七讲-静电场(共40页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上湖南省岳阳县第一中学2014年物理奥赛教案第七讲 静电场知识要点：库仑定律。电荷守恒定律。电场强度。电场线。点电荷的场强，场强叠加原理。均匀带电球壳壳内的场强和壳外的场强公式（不要求导出）。匀强电场。电场中的导体。静电屏蔽。电势和电势差。等势面。点电荷电场的电势公式（不要求导出）。电势叠加原理。均匀带电球壳壳内和壳外的电势公式（不要求导出）。电容。电容器的连接。平行板电容器的电容公式（不要求导出）。电容器充电后的电能。电介质的极化。介电常数。一、电场强度电场强度是一个从力的角度描述电场的物理量，定义式为：E=F/q根据库仑定律，两个点电荷之间的作用力为F=其中F既与形

2、成电场的电荷Q有关，又与检验电荷q有关。用F/q来定义电场可以理解为从F中删去外界因素(即检验电荷q)剩下的便是纯粹的场因素了。物理学中大多数用两个物理量的商来定义的物理量，都是起源于这种思想。1、电场强度的叠加ExEyEPrRO根据力的叠加原理，如果空间某一点受到不止一个电荷的影响，则它们形成的电场可以叠加，因为场是一个矢量，所以必须用矢量的平行四边形法则来叠加。有一个均匀带电圆环，半径为R，所带电量为Q，圆环轴线上离环心O为r处有一点P，那么圆环上每一部分电荷都会在P点产生自己的分电场，要求P的场强EP，就需要把各分电场叠加起来。在圆环上取很短的一段L(可以看成点电荷)，所带电量为q=，它

3、在P点产生的分电场大小为：E=根据对称性，圆环上小电荷在P点的场强垂直于轴方向的分量Ey都相互抵消，而平行于轴方向的分量相互叠加加强Ex=故合场强的大小为：EP=Ex=注意：从这个结论可看出，当r=0，即P点在圆心O时，EP=0；当rR时，EP=，此时可将圆环看成一个点电荷。2、均匀带电球壳内、外的电场PBArArB用电场叠加的方法和球的对称性可以得出均匀带电球壳内部场强处处为零。如图中P点的场强可以这样来分析：过P点作两个顶角很小的对顶圆锥面，在球壳上截下两个近似圆形的小面积A和B(可看成两个点电荷qA和qB)，如图所示，由几何相似不难看出，A、B的面积和它们到P点的距离的平方rA2和rB2

4、成正比，也就是讲点电荷的电量与它们和rA2和rB2成正比。根据库仑定律，可知点电荷qA和qB在P点的场强叠加后是互相抵消的。用同样的方法作出其它的对顶小顶角圆锥面，可得到同样的结果。故均匀带电圆球壳内的场强处处为零。PROr用叠加和对称的思路还可以得出：均匀带电球壳O(或球体)外某一点P的场强为：EP=式中r是OP的距离，Q是球壳(或球体)带的总电量，即在研究均匀带电球壳(或球体)外的场强时，可以把球壳(或球体)所带电量看做集中在球心上，而与球壳(或球体的半径)无关。【例1】如图所示为一个均匀带电的同心球层，内半径为R1，外半径为R2，其体电荷密度为r，试求各处的场强大小。R1R2解析：【例2

5、】如图所示，一个均匀带电的薄半球壳，电量为Q，求球心O处的场强。OQ解析：【例3】一无限长均匀带电细线变成如图所示的平面图形，其中AB是半径为R的半圆弧，AA平行于BB，试求圆心O处的电场强度。OAABB解： 【例4】如图a所示，已知半球体球面上均匀带正电，半径为R。现将半球体沿图中虚线分成两半，并将它们移至很远的地方，如图b所示，设分开后球上仍然均匀带电，则球冠在A产生的场强E1和球台在A产生的场强E2的方向如何？大小关系如何？R/2R/2(a)解析：二、静电感应一个导体在电场中产生静电感应的现象，这是一个与电场叠加有关的问题。达到静电平衡时，外界电场和感应电荷的电场在导体内部的合场强为零。

6、因此导体有如下性质：导体是等势体，导体表面是等势面(电势是指总电势)；d-qA导体表面处的合场强不为零，方向总是垂直于导体表面；电荷分布在导体表面上。【例5】一块无限大的导体板，左侧接地，在右侧离板d的A处放置一个负电荷q，求静电平衡后：(A)板上感应在导体内任意一点P产生的场强；(B)感应电荷在导体外任意一点P处产生的场强；(C)证明导体表面附近处的合场强垂直于导体表面；(D)求-q所受的库仑力；(E)若切断接地线后，将+Q放在导体板上，+Q将怎样分布？解析：三、电势电势U是从能量的角度来描述电场的物理量。定义式为U=E/q其中E表示q在电场中某点的电势能，这个量显然是与q的大小、正负有关的

7、，将U定义成E/q与将电场强度定义为F/q的目的是一样的，是为了从E量中删除外加因素量q，剩下的便是纯粹的场因素量了。1、均匀带电导体球壳的电势设均匀带电球壳的电量为Q，半径为R，由于均匀带电球壳在壳外产生场强与电荷集中在球心时相同，因此，离球心R处的电势为U=这就是这一均匀带电球壳的电势。对于静电平衡的导体，球壳内场强处处为零，因此，整个球形区域是等势的，电势均为。球壳外离球心r(rR)处的电势为(原因是均匀带电球可看作点电荷)：U=2、电势的叠加电势和电场一样，也可以叠加，因为电势是标量，所以两个电势的叠加只要求它们的代数和即可。abq【例6】如图所示，球形金属腔带电量为Q，内半径为a，外

8、半径为b，腔内距球心O为r处有一点电荷q，求圆心O处的电势。解析：BAC【例7】如图所示，一个带正电的绝缘导体球壳A，顶部开一个小孔，有两个带正电小球B和C用导线相连，将B与球壳内壁接触一下后提到球壳中心，C离A较远，此时，B、C是否带电？若将C接地，再分析B、C的带电情况。解析：O1O2O3O4O5P【例8】真空中,有五个电量均为q的均匀带电薄球壳,他们的半径分别为R，R/2，R/4，R/8，R/16，彼此内切于P点。球心分别为O1 ,O2 O3 O4 O5 ,求O1 与O5间的电势差.(第15届预赛试题)解析：R1R2R3Qd【例9】如图所示，半径为R1的导体球带电量q，在它外面同心地罩一

9、金属球壳，其内外壁的半径分别为R2和R3。今在距球心为d(R3)处放一电量为Q的点电荷，并将导体球壳接地，试问：(1)球壳带的总电量是多少？(2)如果用导线将壳内导体球与壳连接，球壳带电量是多少？解析：【例10】半径分别为R1和R2的两个同心半球面相对放置，两个半球面均匀带电，电荷面密度分别为s1和s2，求大半球面的径AOB上电势的分布。ABR1R2OCD解析： 【例11】电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面的半径为R，CD通过半球顶点C和球心O的轴线，如图所示，P、Q为CD轴线上在O点两侧且离O点距离相等的两点。已知P点的电势为UP，试求Q点的电势UQ。(第八届预赛试题)ABCOPQD解析：

10、rrrr1234【例12】如图所示，在真空中有4个半径为a的不带电的相同导体球，球心分别位于边长为r(ra)的正方形的四个顶点上。首先让球1带电荷Q(Q0)，然后，取一细金属丝，其一端固定于球1点，另一端分别依次与球2、3、4及大地接触，每次接触时间都足以使它们达到静电平衡，设分布在细金属丝上的电荷可以忽略不计，试求流入大地的电量表达式。解析：【例13】有些仪器，如静电加速器，其高压电极外面都有一接地金属罩，罩内充有一定压强的气体，假定是一金属球，接地金属罩是一同心金属薄球壳，如图所示，仪器工作时要求电极与金属之间的电势差为U0，选择适当的电极半径R1和球壳半径R2，有可能使靠近电极表面处的场

11、强低于气体的击穿场强，从而使气体不被击穿。R1R2O(1)若R1已给定，则在理想情况下，R2取何值，电极处的场强有最小值？(2)在实际情况中往往适当选择R1/R2之值，使电极处的场强为上述最小值的若干倍，但仍低于击穿场强，求当电极处的场强为上述最小值的4倍时，R1/R2应选何值？解析：【例14】在一个半径为R的导体球外，有一个半径为r的细圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为a(aR时，EP=，此时可将圆环看成一个点电荷。小结：微元法的应用；“求和”的方法。2、均匀带电球壳内、外的电场用电场叠加的方法和球的对称性可以得出均匀带电球壳内部场强处处为零。如图中P点的场强可以这样来分析：PBArArB

12、过P点作两个顶角很小的对顶圆锥面，在球壳上截下两个近似圆形的小面积A和B(可看成两个点电荷qA和qB)，如图所示，由几何相似不难看出，A、B的面积和它们到P点的距离的平方rA2和rB2成正比，也就是讲点电荷的电量与它们和rA2和rB2成正比。根据库仑定律，可知点电荷qA和qB在P点的场强叠加后是互相抵消的。用同样的方法作出其它的对顶小顶角圆锥面，可得到同样的结果。故均匀带电圆球壳内的场强处处为零。PROr用叠加和对称的思路还可以得出：均匀带电球壳O(或球体)外某一点P的场强为：EP=式中r是OP的距离，Q是球壳(或球体)带的总电量，即在研究均匀带电球壳(或球体)外的场强时，可以把球壳(或球体)

13、所带电量看做集中在球心上，而与球壳(或球体的半径)无关。3、均匀带电无限大薄板产生的电场均匀带电无限大薄板产生的电场是匀强电场，设该平面的面电荷密度为s，则可求出该匀强电场的场强大小为E=2pKs上式表明，均匀带电的无限大平面薄板产生的电场中的场强大小只跟板上的电荷面密度s成正比，与到板的距离远近无关。两个带有等量异号电荷且面电荷密度为s的无限大带电平板平行放置时，由场强叠加原理可知，两板内侧场强大小E内=4pKs，板外侧电场大小为E外=0。4、无限长均匀带电直线（电荷线密度为）：E = 【例1】如图所示为一个均匀带电的同心球层，内半径为R1，外半径为R2，其体电荷密度为r，试求各处的场强大小

14、。R1R2解析：当rR1时，E=0当R1rR)处的电势为(原因是均匀带电球可看作点电荷)：U=2、电势的叠加电势和电场一样，也可以叠加，因为电势是标量，所以两个电势的叠加只要求它们的代数和即可。abq【例6】如图所示，球形金属腔带电量为Q，内半径为a，外半径为b，腔内距球心O为r处有一点电荷q，求圆心O处的电势。BAC解析：由电场线的性质可知，从q出发的电场线全部终止于球形空腔的内壁，其故内壁带电量为-q，但分布不均匀。由电荷守恒定律可知，空腔外表面的电荷为Q+q，其电荷为均匀分布，因此，球心O处的电势为上述三种电荷产生的电势的叠加。即U0=-+小结：本题主要考查电势叠加原理。【例7】如图所示

15、，一个带正电的绝缘导体球壳A，顶部开一个小孔，有两个带正电小球B和C用导线相连，将B与球壳内壁接触一下后提到球壳中心，C离A较远，此时，B、C是否带电？若将C接地，再分析B、C的带电情况。解析：当B与A内壁接触后，A、B、C三者等势，B不带电。由于C离A较远，A上电荷在C处产生的电势UA较低，故C必带正电，才能使A上所带电荷与C上电荷在C处产生电势的代数和等于UA，构成等势体。C接地后，UB=UC=0，因为A上正电荷在B处产生的电势为正，故B上电荷在B处产生的电势必为负，才可以使得B处的电势为零，即B带负电。由于A球壳上的电荷在B的电势为，故B球上电荷在B点处的电势为-，又B上电荷产生的电势为

16、，因为Rr，故QAQB。由此可见，A、B在C处的电势为正的，故C只有带正电，才能使得C处的电势为零。O1O2O3O4O5P【例8】真空中,有五个电量均为q的均匀带电薄球壳,他们的半径分别为R，R/2，R/4，R/8，R/16，彼此内切于P点。球心分别为O1、O2、O3、O4、O5 ,求O1与O5间的电势差(第15届预赛试题)。解析：O5的电势为U5=31kO1的电势为U1=k=k=6.54 k故O1与O5间的电势差为U5-U1=31k-6.54 k=24.46 k【例9】如图所示，半径为R1的导体球带电量q，在它外面同心地罩一金属球壳，其内外壁的半径分别为R2和R3。今在距球心为d(R3)处放

17、一电量为Q的点电荷，并将导体球壳接地，试问：(1)球壳带的总电量是多少？(2)如果用导线将壳内导体球与壳连接，球壳带电量是多少？解析：(1)由电场线的性质可知，外壳内表面带电量为-q。又设外壳外表面的电荷为q，因外壳的电势为零，有：R1R2R3Qd+=0得：q=故球壳所带总电量为q+(-q)= q= -(+q)(2)用导线将壳内导体球与壳相连，导体球上所带电荷与壳内表面所带电荷中和，因此，外壳上只有外表面的电荷，其电量为。小结：注意静电感应，感应出的电荷也要产生电势；半径为R的导体球壳在其内产生的电势为EP=；球壳外某一点电荷在导体球上产生的电势等于该点电荷在导体球心处产生的电势；【例10】半

18、径分别为R1和R2的两个同心半球面相对放置，两个半球面均匀带电，电荷面密度分别为s1和s2，求大半球面的径AOB上电势的分布。ABR1R2OCD解析：半径为R的均匀带电球壳内部电势为，外部电势为(rR)。这道题目要解决两个问题：半球壳的电势是多少？两个半球壳的电势又如何叠加？完整的半径为R1的球壳在AOB上产生的电势为U1=4pkR1s1鉴于对称性，半个球面对U1的贡献必为1/2，因此，它在AOB上产生的电势应为U1=2pkR1s1同理，完整的半径为R2的均匀带电球壳在AOB上产生的电势分为两部分，一是半径小于R2的地方U2=4pkR2s2在AOB上距离O点大于R2的范围内产生的电势为U2=半

19、球的贡献同样必为U2和U2的一半，最后得到AOB上电势的分布为【例11】电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面的半径为R，CD通过半球顶点C和球心O的轴线，如图所示，P、Q为CD轴线上在O点两侧且离O点距离相等的两点。已知P点的电势为UP，试求Q点的电势UQ。(第八届预赛试题)ABCOPQD解析：设想一个均匀带电量为q的右半球，与题中所给的左半球组成一个完整的均匀带电球面，由对称性可知，右半球在P点产生的电势UP等于左半球在Q点产生的电势，即UP=UQ，所以UP+UQ=UP+UQ，而UP+UP是整个球面在P点产生的电势，因为均匀带电球壳内部各处电势相等，其值等于，K为静电力常量，所以UP+UP=

20、故UQ=UP=-UP小结：注意“补偿法”的妙用。【例12】如图所示，在真空中有4个半径为a的不带电的相同导体球，球心分别位于边长为r(ra)的正方形的四个顶点上。首先让球1带电荷Q(Q0)，然后，取一细金属丝，其一端固定于球1点，另一端分别依次与球2、3、4及大地接触，每次接触时间都足以使它们达到静电平衡，设分布在细金属丝上的电荷可以忽略不计，试求流入大地的电量表达式。解析：球1与球2接触后，两球电量相等，都为Q/2。球1与球3接触后，由于1、3关于球2对称，所以1和3的电量也应该相等，都为Q/4。当球1、4接触后，它们的电势都是由4个小球的电势叠加而成。故有rrrr1234U1=+U4=+由

21、于U1=U4，Q1=Q1+Q4=Q/4利用ra，略去二阶小量后有球1的电量为Q1=球4的电量为Q4=再将球接地，设球1的电量变为q，则U1=+=0可得：q=因此，流入大地的电量为：Q大地=Q1+|q|=小结：求流入大地的电量可以转换为求电势，根据电势来间接地求电量；此题中怎样利用ra这个条件是一值得注意的问题，在解题过程中有两处利用这个条件：第一：因为ra，所以在考虑小球所在位置的电势时，可忽略小球的大小；第二：因为ra，所以可以略去a的二次以上项。【例13】有些仪器，如静电加速器，其高压电极外面都有一接地金属罩，罩内充有一定压强的气体，假定是一金属球，接地金属罩是一同心金属薄球壳，如图所示，仪器工作时要求电极与金属之间的电势差为U0，选择适当的电极半径R1和球壳半径R2，有可能使靠近电极表面处的场强低于气体的击穿场强，从而使气体不被击穿。(1)若R1已给定，则在理想情况下，R2取何值时电极处的场强有最小值？(2)在实际情况中往往适当选择R1/R2之值，使电极处的场强为上述最小值的若干倍，但仍低于击穿场强，求当电极处的场强为上述最小值的4倍时，R1/R2应选何值？解析：(1)设电极所带的电量为Q，则球壳内壁的电量为-Q，电极与球壳之间的电势差为R1R2OU0=式中k为静电力常量，靠近电极表面处的场强为：E=由上面两式得：