第二章平面问题的复变函数解法(共32页).doc

《第二章平面问题的复变函数解法(共32页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章平面问题的复变函数解法(共32页).doc（32页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选优质文档-倾情为你奉上第二章 平面裂纹问题的复变函数解法第1节 绪论如果二元实变函数在区域内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯（Laplace）方程则称为区域内的调和函数。弹性力学的分析表明, 平面问题可以归结为求解满足双调和方程的应力函数，并使其在边界上满足全部边界条件。双调和方程的解为双调和函数。在数学中，复变解析函数的实部和虚部均为调和函数(满足)。而利用复变解析函数来讨论含孔、裂纹等结构的平面问题比较方便。1复变函数的基础知识复数 为虚单位复变数（量） 实变数和分别称为复变数的实部和虚部，记为：，则有： (2-1-1)的极坐标形式为 的共轭复数 复变函数以复变量为自变量的函数, 称

2、为复变函数。复变函数也可以看成是由它的实部和虚部所组成，有： (2-1-2) 例如 则有 ， 几何上，可以将函数看成复数平面上的点到另一复数平面上的点的变换, 变换关系如图2-1-1所示。 图2-1-1 复数平面变换图复变函数的导数设复变函数在某一点的领域内有定义，取为复值增量，若 (2-1-3)极限存在，则在点处可导，并记为，即为在点处的导数。 注意在复变函数可导的定义中，的方式应该是任意的，定义式（2-1-3）极限值存在的要求与的方式无关。 复变函数的实部和虚部对，足够高阶的偏导数，还不能说明极限式（2-1-3）一定存在。例如若取，则若取，则可见，当取不同值时，（2-1-3）式所示的极限并

3、不相等，说明此极限并不存在。 由复变函数可导定义的这一特点出发，可导出复变函数可导的充分与必要条件。设 和在区域内有对的一阶连续偏导数，则函数在内一点处可导的充分与必要条件为 （2-1-4） （2-1-5）这一条件称为柯西黎曼（CauchyRiemann）条件。 事实上，若取，则有 （2-1-6） 证明：设 （） ， 再取，有 （2-1-7）为使导数存在，上述两个极限必须相等，即得（2-1-4）、（2-1-5），由此证明了必要条件，充分条件证明从略。 由（2-1-6）、（2-1-7）两式，可以直接得到复变函数对的导数的实部和虚部与复变解析函数的实部和虚部对，的偏导数之间的以下重要关系： （2-

4、1-8） （2-1-9） 解析函数 在平面的域中，函数称为解析的需要满足以下条件，即在域内任意一点，可用极限方法决定其导数，而且导数是唯一的，与趋于零的路线无关。 换句话说，如果函数在及的领域内处处可导，则称在解析，如果在区域内的每一点解析，则称为内的解析函数。如果在不解析, 那么称为的奇点。复变解析函数的调和性 如果二元实变函数在区域内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯（Laplace）方程则称为区域内的调和函数。 从柯西黎曼条件出发，可以证明，复变解析函数的实部和虚部都满足调和方程，所以都是调和函数。 将（2-1-4）式对求偏导，（2-1-5）式对求偏导，相加后得： 有： 将（2-1-5）

5、式对求偏导，（2-1-4）式对求偏导，相减后得： （2-1-10） 将使构成区域内解析函数的调和函数称为的共轭调和函数。 调和函数与双调和函数之间具有下列关系：1) 若是一个调和函数，它必然是一个双调和函数。这是因为若成立，则必然成立。2) 若是一个调和函数，则，都是双调和函数(式中极坐标)。证明： （用到2-1-8式） （用到下面定理，解析）复变函数的导数与积分 若在区域内解析，那么在内存在任意阶导数，且所有的导数都是解析的。解析函数的导数与积分均为解析函数。 复变函数对于复变数的导数、积分等运算规则与一般实函数的运算规则相同。取一个复变解析函数，其一阶导数为，则类似地，令为的一阶导数，为的

6、一阶导数，则由（2-1-8）、（2-1-9）式可知等等。2双调和函数的Muskhelishvili复应力函数表示 可以用两个解析函数表示满足双调和函数的解，引进，则因为，为调和函数。 设为的共轭调和函数，即与之间满足柯西黎曼条件，则 （2-1-11） 是所讨论区域上的解析函数。 再设 （2-1-12）由解析函数性质可知，也是一个解析函数。对和作用Laplace算子 ， （2-1-13） 由（2-1-6）式及（2-1-11）、（2-1-12）式，可得由上式及柯西黎曼条件，可得或者 （2-1-14）由（2-1-13）和（2-1-14），得由，有令 （2-1-15）是一个调和函数，设调和函数为解析复

7、变函数的实部，即 （2-1-16）另利用和的乘积，可得 （2-1-17）（反推：） 实部最后，由（2-1-15）、（2-1-16）和（2-1-17）式，得 （2-1-18）由此可见，双调和函数可以用两个复变解析函数和来表示。式（2-1-18）就是Muskhelishvili复应力函数，满足双调和方程，是双调和函数。针对具体问题的边界条件，适当选择两个解析函数，就可以得到问题的真实解答。3. 应力、合力及位移的复应力函数表达式首先将应力分量用复变函数来表示，由弹性力学公式，假设不计体力，有 ， ， （2-1-19）令 (2-1-20) 以应力分量为例，推导如下： 则 反推 （用到实部）经类似推导

8、，得各个应力函数的复应力函数表达式为 (2-1-21) 或者 位移的表达式为 （2-1-22）其中为剪切模量，为泊松比。下面求合力的表达式，令 则 （2-1-23）平面问题的应力边界条件为 图2-1-2 边界三角形微元由几何关系有，则则， 反推： 如图2-1-2，由边界三角形微元的平衡，可得 （2-1-24）式中积分为定点，为动点，式中为连接定点与动点的弧的法线正侧作用于弧上的应力主向量。正法线方向和弧的走向从到如图2-1-2所示。第2节 含孔口无限大平板问题的解图2-2-1 孔口无限大平板1 含孔口无限大平板复应力函数的性能 含孔口无限大平板问题是弹性力学平面问题中的一个基本问题。从这一问题

9、的基本解出发，通过保角变换可以得到椭圆孔和裂纹等问题的解答。 含孔口无限大板的几何形状和外载如图2-2-1所示， 问题的边界条件可概括如下：1） 孔周壁上合力为和2） 无限远处， 3) 沿从到, 位移的围道增量为零。根据以上问题的具体边界条件，选择Muskhelishvili的复应力函数如下： (2-2-1) (2-2-2) 这里, 为了分清记号，将前面和记为和，式中 (2-2-3) (2-2-4) 而 (2-2-5) (2-2-6) 式中和为常数，（2-2-5）、（2-2-6）式的形式保证和在孔外，包括无穷远处在内的全平面上，是全纯的（单值解析无奇点）。 当时 (2-2-7) (2-2-8)

10、 (2-2-9) 无穷远处, 将（2-2-7）（2-2-9）代入（2-1-21）式，得 可见，（2-2-1）、（2-2-2）的复应力函数满足远处的边界条件。注意到绕一周时有增量，如，记 (2-2-10）式中的脚标表示沿闭道一周之意，而表示方括弧内的量或表达式沿闭道一周时的增量。由（2-2-1），（2-2-2）式，有 （2-2-11） 于是，由（2-1-23），（2-1-24）式，得 （2-2-12）而由(2-1-22)式和（2-2-11）式，位移从到的围道增量为 （2-2-13）至此，证明了选用（2-2-1）、（2-2-2）式的复应力函数可全部满足所讨论问题的边界条件。有了（2-2-1）、（2

11、-2-2）式的复应力函数，根据（2-1-20）式和（2-1-24）式，容易确定问题的应力场和位移场。2. 应力和位移分量在映射平面上的表示 对于边界形状比较复杂的问题，如裂纹或复杂形状的裂纹问题，直接应用上述复变应力函数方法是困难的，故可利用保角映射函数 （2-2-14）将平面（物理平面）上的裂纹（或椭圆等）变换成平面上的单位圆。如图2-2-2所示，这样裂纹或椭圆表面曲线围成的区域就被映射到平面上单位圆的内部或外部（视的函数形式而定）。我们用表示变量在上的值，而用表示变量在上的值。于是，求解复杂边界的平面问题时，可以首先用复变应力函数法直接解圆孔的简单问题。在此基础上再选择适当的保角映射函数，

12、获取原来的复杂边界问题的结果。图2-2-2 保角映射 注意到，此时有 () （2-2-15） 由应力、合力、位移表达式，则有 (2-2-16) (2-2-17) (2-2-18)3. 含椭圆孔无限大平板问题的保角映射解法图示一含椭圆孔的无限大平板，孔的长轴和短轴分别为 ， （2-2-19）， 和均为实数，决定于和。 图2-2-3 椭圆孔无限大板 平面上的椭圆在时，为半径的圆；当时，为长的直线裂纹。 板在无限远处的应力状态为 ， ， （2-2-20）为了求解这一问题的应力应变场，选取映射函数为 （2-2-21） 于是，得到单位圆外部（平面）到椭圆外部（平面）的映象。 以及代入（2-2-21）式的

13、左右两边 分开实部和虚部，得， 由，有可见， 平面上的圆周对应平面上的椭圆，其半径为，这个椭圆就是孔口曲线。 讨论平面上复应力函数的选择问题。以含圆孔无限大平板的复应力函数为基础，注意椭圆孔壁无载的条件（）和无限远处的载荷条件，则有 （2-2-22） 2-2-1, 2-2-2式中, 第1项0式中 （2-2-23）将映射函数（2-2-21）式代入（2-2-22）式，得 2-2-21式中第2项并入中 （2-2-24）下面的问题是要根据孔壁的边界条件，确定函数和。椭圆孔壁的边界条件为 （2-2-25） 为椭圆孔壁上的点。 利用（2-2-15）式，得到映射平面上，圆孔周壁的边界条件为 （2-2-26）

14、 为单位圆上的点，在（2-2-21）式的映射函数下, , 则 （2-2-27） （2-2-28）取（2-2-25）式中的常数为零，将（2-2-26）式代入（2-2-25）式，得 (2-2-29) (2-2-30) 将映射平面上的复应力函数（2-2-24）式带入圆孔周壁的边界条件（2-2-29）及（2-2-30）式，得有 （2-2-31） （2-2-32） 其中 （2-2-33） （2-2-34）对（2-2-31）、（2-2-32）式的等号两侧各作运算 （在单位圆上，在单位圆外）根据柯西（Cauchy）公式：1) 如在周线以外区域是解析的，而是外区的一个点，是围线内区的一个点，则i) ii) 2

15、) 如在周线以内区域和周线上是解析的，而是外区的一个点，是围线内区的一个点，则i) ii) 例如： 单位圆外的解析函数有：可得到 （2-2-35） 将（2-2-35）式带入（2-2-24）式，得 （2-2-36）至此，映射平面上的复变应力函数已完全确定。由于利用了映射函数，得到了映射平面上较为简单的边界（单位圆），因而使和的确定变得简单可行。 有了映射平面上的复变应力函数，可以直接利用（2-2-16）、（2-2-18）式求解应力、位移场，也可以利用先求出和，再利用（2-1-21）、（2-1-22）式求应力、位移场。 第3节 裂纹尖端应力场1关于Westergaard复应力函数 Westerga

16、ard复应力函数也是在平面问题的复变函数解法中应用较广的一种复应力函数。这里讨论Westergaard复应力函数和Muskhelishvili复应力函数的关系。 Westergaard复应力函数对型裂纹问题，取应力函数为 （2-3-1）事实上，只要取 （2-3-2）将它们带入（2-1-18）式，即得由此可见, Westergaard复应力函数是Muskhelishvili复应力函数的一个特例。 由（2-1-21）式及（2-3-2）式，有 同理可证 （2-3-3） 图2-3-1无限大中心裂纹板作为Westergaard应力函数的应用举例，讨论图2-3-1所示无限大板，远处受双向均匀拉伸应力作用，

17、中心穿透裂纹的裂尖附近应力场问题。边界条件为当，当时，据此，选择复应力函数 远边界 则有： 近边界 因为 ，纯虚数 同理 将坐标平移，使新坐标原点与裂纹右端点重合，则有令则在裂尖附近，有或者 （2-3-4）极限法是在所讨论裂纹问题的复应力函数已知的情况下，通过对取极限的方法直接确定应力强度因子。采用Westergaard应力函数法求解裂纹问题时，若已知复变应力函数，可采用先将坐标向裂尖移动。使变成为，然后取时的和因子乘积的极限，这一极限即是应力强度因子K值。由极限表达式(2-3-4)，裂尖附近有运用以下关系， ， ， 于是 上式代入（2-3-3）式，即得 （2-3-5）2复应力函数直接计算应力

18、强度因子 尽管含裂物体的几何形状和受力形式可以千变万化，但每一种断裂模型在裂纹附近的应力和位移的主项都有各自独特而确定的样式。 张开型（型）应力场及位移场的表达式如下： (2-3-6) 为原点在裂纹尖端的极坐标系，为剪切模量。滑开型（型）应力场及位移场的表达式如下： (2-3-7) 裂纹尖端附近的诸应力均具有奇异性。研究平面在（）上的应力分量，有+非奇异项+非奇异项由此引出了常用的裂纹尖端应力强度因子的定义： （2-3-8） （2-3-9）对于一具体的应力状态，由（2-1-21）式可知是一调和函数，由此可以寻求共轭函数，建立解析函数可以推出，这一解析函数为 (2-3-10)其中 (2-3-11

19、) 有了(2-3-10)式,只要将和表示为和, 就可以将应力强度因子和复应力函数联系起来了。实际上 (2-3-12)注意到，则有 (2-3-13)又由（2-3-6）和（2-3-7）式，得相应的裂尖位移分量为： （2-3-14） 注意到 ， ， ， ， （2-3-15） （2-3-16）由（2-3-11），（2-3-14），（2-3-15）和（2-3-16）式，可得 或者 (2-3-17)最后, （2-3-10)，（2-3-13）和（2-3-17）式，得 或者 (2-3-18)如取原坐标，则 （2-3-19）例题 如图所示, 无限大板, 中心穿透裂纹, 位于裂纹表面处作用一对集中法向力P（单位厚度上的作用力）。2ayyXXbPP 已知: 求:K 解： 习题 如图所示, 无限大板, 中心穿透裂纹, 位于裂纹表面处作用集中法向力P和集中切向力Q, 已知用极限公式求解裂纹尖端应力强度因子。专心-专注-专业