等腰三角形存在性(讲义+练习含答案)(共23页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上一次函数与等腰三角形存在性问题重点内容梳理一、等腰三角形存在核心思想：分类讨论（顶点未知，讨论顶点即可）1. A为顶点：AP=AB以A为圆心B为半径画圆（E为共线点）2.B为顶点：BP=BA以B为圆心A为半径画圆（F为共线点）3.P为顶点：PA=PBAB的中垂线（o为共线点）求取方法：1.采用两圆一线找到特殊位置点找交点2.两点之间距离公式表示等长线段，求取点坐标3.最终结论注：该类问题相对较综合，点坐标的求取方法较灵活，需综合运用几何与代数相关定理。引例：已知，平面内点A（0,2），B（2,0）（1） 求，AB所在直线解析式（2） 若坐标轴上存在一点，使ABC A为

2、顶点，AB=AC，A为圆心，AB为半径画圆， B为顶点，AB=BC，B为圆心，AB为半径画圆 C为圆心，AB中垂线例题例题1.x轴上的点1.（2019秋金水区校级月考）如图，直线ykx+b与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA8，OB6.（1）求直线AB的解析式（2）在x轴上是否有在点Q，使以A，B，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）OA8，OB6，A（8，0）、B（0，6），把点A、B的坐标代入一次函数表达式：ykx+b，b6，k，直线AB的表达式为：yx+6；（2）设点Q（s，0），则AB2100，AQ2（8s）2，BQ2s2+

3、36，当ABAQ时，100（8s）2，解得：s18或s2；当ABBQ时，100s2+36，可得：s8（舍去8）；当AQBQ时，（8s）2s2+36，可得：s，综上，点Q的坐标为：（18，0）或（2，0）或（8，0）或（，0）易错：1. 两圆一线找交点，看清点的位置保证不重不漏2. 求取点的坐标，注意舍根练习1.1（2019秋昌江区校级期末）如图，长方形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（10，0），点E是BC边上一点，把长方形AOBC沿AE翻折后，C点恰好落在x轴上点F处（1）求点E、F的坐标；（2）求AF所在直线的函数关系式；（3）在

4、x轴上求一点P，使PAF成为以AF为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标练习1.2（2019秋金牛区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：ykx+b与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，4），与直线l2：yx相交于点C（1）求直线l1的函数表达式；（2）求COB的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使POC是等腰三角形若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标例题2.y轴上的点（2019秋普宁市期末）一次函数ykx+b的图象经过点A（0，9），并与直线yx相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3（1）求B点的坐标和k，b的值；（2）在y轴上是否

5、存在点P使PAB是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）yx相交于点B，则点B（3，5），将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：k，b9；（2）设点P（0，m），而点A、B的坐标分别为：（0，9）、（3，5），则AB225，AP2（m9）2，BP29+（m5）2，当ABAP时，25（m9）2，解得：m14或4；当ABBP时，同理可得：m9（舍去）或1；当APBP时，同理可得：m；综上点P的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，1）或（0，）练习2.1如图，一次函数yx+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，再将AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合

6、，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D连接BC（1）求点A和点B的坐标；（2）求SBOC；（3）在y轴上有一点P，且PAB是等腰三角形，求出点P的坐标练习2.2（2017秋金华期末）如图，已知直线l：ykx+b（k0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点，A（2，0），B（0，1）（1）求直线l的函数表达式；（2）若P是x轴上的一个动点，请直接写出当PAB是等腰三角形时P的坐标；（3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上，若ACD面积等于4，求点D的坐标例题3平行于坐标轴的点23（2018秋景德镇期末）如图，已知直线y2x+b交x轴于点A（2，0），交y轴于点B，直线y2交AB于点C，交y轴

7、于点D，P是直线y2上一动点，设P（m，2）（1）求直线AB的解析式和点B，点C的坐标；（2）直接写出m为何值时，ABP是等腰三角形；【解答】解：（1）将点A的坐标代入y2x+b得：02（2）+b，解得：b4，故直线AB的表达式为：y2x+4，则点B（0，4），当y2时，x1，即点C（1，2）；（2）点A（2，0）、点B（0，4），点P（m，2），则AB220，AP2（m+2）2+4，PB2m2+4，当ABAP时，即20（m+2）2+4，解得：m2或6，当ABBP时，同理可得：m4或4，当APBP时，同理可得：m1，综上，m4或6或2或4或1；练习3.1（2019秋太仓市期末）如图，平面直角坐

8、标系中，直线AB：ykx+3（k0）交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，过点C（0，2）作y轴的垂线CD交AB于点E，点P从E出发，沿着射线ED向右运动，设PEn（1）求直线AB的表达式；（2）当ABP为等腰三角形时，求n的值；练习3.2（2015秋上城区期末）A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，P是x轴上一动点，从原点O出发，沿正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰RtAPB设P点的运动时间为t秒（1）若ABx轴，求t的值；（2）当t3时，平面直角坐标系内有一点M（3，a），请直接写出使APM为等腰三角形的点M的坐标例题4动点相关（2014秋屏南县校级期

9、末）直线AB：yx+b分别与x，y轴交于A（8、0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC4：3（1）求点B的坐标为 ；（2）求直线BC的解析式；（3）动点M从C出发沿CA方向运动，运动的速度为每秒1个单位长度设M运动t秒时，当t为何值时BCM为等腰三角形【解答】解：（1）yx+b分别与x轴交于A（8、0），得8+b0解得b8，即函数解析式为yx+8，当x0时，y8，B点坐标是（0，8）；（2）由OB：OC4：3，BC8，得8：BC4：3，解得BC6，即C（6，0），设直线BC的解析式为ykx+b，图象经过点B，C，得，解得，直线BC的解析式为yx+8；（3）设M点坐标（a，0）

10、，由勾股定理，得BC10，当MCBC10时，由路程处以速度等于时间，得10110（秒），即M运动10秒，BCM为等腰三角形；当MCMB时，MC2MB2，即（a+6）2a2+82，化简，得12a28，解得a即M（，0）MC（6）+6，由路程除以速度等于时间，得1（秒），即M运动秒时，BCM为等腰三角形；当BCBM时，得OCOM6，即MC6（6）6+612，由路程除以速度等于时间，得12112（秒），即M运动12秒时，BCM为等腰三角形，综上所述：t10（秒），t（秒），t12（秒）时，BCM为等腰三角形练习4.1（2017秋平阴县期末）如图，直线L1：y1x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点

11、P（m，3）为直线L1上一点，另一直线L2：y2x+b经过点P（1）求点P坐标和b的值：（2）若点C是直线L2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动，设点Q的运动时间为t秒请写出当点Q运动过程中，APQ的面积S与t的函数关系式；求出t为何值时，APQ的面积等于3；是否存在t的值，使APQ为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由练习4.2（2018春新田县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y分别交x，y轴于A，B两点，C为线段AB的中点，D（t，0）是线段OA上一动点（不与A点重合），射线BFx轴，延长DC交BF于点E（1）求证：ADBE；（2）

12、连接BD，记BDE的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）是否存在t的值，使得BDE是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由练习4.3（2019秋顺德区期末）如图，在平面直角坐标系中，点D是边长为4cm的正方形ABCO的边AB的中点，直线yx交BC于点E，连接DE并延长交x轴于点F（1）求出点E的坐标；（2）求证：ODE是直角三角形；（3）过D作DHx轴于点H，动点P以2cm/s的速度从点D出发，沿着DHF方向运动，设运动时间为t，当t为何值时，PEH是等腰三角形？ 提升练习提 提升练习升1.如图，直线yx+6与坐标轴交于A、B两点，与直线y2x交于C

13、点，直线是过A点且垂直x轴的直线，点P是直线l上的一动点（1）求C点的坐标；（2）当APC是等腰三角形时，直接写出P点的坐标；（3）当PCOC时，求四边形OAPC的面积提升2.如图，直线ykx2与x轴，y轴分别交于点B，C，且OC2OB，A为直线BC上一动点（1）求B点的坐标和k的值；（2）当AOB的面积是4时，求A点在第一象限的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使POA是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由提升3.（2012沙坪坝区校级模拟）如图，已知平行于y轴的动直线a的解析式为xt，直线b的解析式为yx，直线c的解析式为yx+2

14、，且动直线a分别交直线b、c于点D、E（E在D的上方），P是y轴上一个动点，且满足PDE是等腰直角三角形，则点P的坐标是 提升4.（2018秋吴江区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数ykx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点B（2，0），ABO的面积为2动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在射线BO上运动，动点Q从O出发，沿x轴的正半轴与点P同时以相同的速度运动，过P作PMX轴交直线AB于M（1）求直线AB的解析式（2）当点P在线段OB上运动时，设MPQ的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）（3）过点Q作QNx轴交直线AB于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使MNQ是等腰三角形？若存在，求出时间t值专心-专注-专业