沪科版-八年级数学下册期末复习讲义(共27页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上八年级数学下册复习讲义 第十六章 二次根式知识点一：二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义【典型例题】 题型一：二次根式的判定【例1】下列各式1），其中是二次根式的是_（填序号）题型二：二次根式有意义【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 题型三：二次根式定义的运用【例3】若y=+2009，则x+y= .题型四：二次根式的整数与小数部分已知a是整数部分，b是的小数部分，求的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】 1. 非负性：是一个非负数 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到 2.

2、 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： 3. 注意：（1）字母不一定是正数 （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替 （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外 4. 公式与的区别与联系 （1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数 （2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数 （3）和的运算结果都是非负的【典型例题】 题型一：二次根式的双重非负性【例4】若则 题型二：二次根式的性质2 （公式的运用）【例5】 化简：的结果为（ ）A、42a B、0 C、2a

3、4 D、4题型三：二次根式的性质3 （公式的应用）【例6】已知,则化简的结果是（ ）A、 B、C、D、 知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】 【例7】在根式1)，最简二次根式是（ ） A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4)知识点四：二次根式计算分母有理化【知识要点】 1分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有

4、理化.2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： 单项二次根式：利用来确定，如：，与等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，分别互为有理化因式。3分母有理化的方法与步骤： 先将分子、分母化成最简二次根式； 将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】 【例8】 把下列各式分母有理化（1） （2） （3） （4）【例9】把下列各式分母有理化（1） （2） （3） （4）【例10】把下列各式分母有理化：（1） （2） （3）小结：

5、一般常见的互为有理化因式有如下几类： 与； 与；与； 与知识点五：二次根式计算二次根式的乘除【知识要点】 1积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 =（a0，b0）2二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 （a0，b0） 3商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.=（a0，b0）4二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。=（a0，b0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运

6、算结果化成最简二次根式【典型例题】 【例11】化简 (1) (2) (3) 【例12】计算（1） （2） （3） （4）知识点六：二次根式计算二次根式的加减【知识要点】 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数【典型例题】 【例13】计算（1）； （2）；【例14】 （1） （2）知识点七：二次根式计算二次根式的混合计算与求值【知识要点】 1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律

7、； 3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型习题】 1、 2、 (2+43) 【例15】 已知：，求的值知识点八：根式比较大小【知识要点】 1、根式变形法 当时，如果，则；如果，则。2、平方法 当时，如果，则；如果，则。3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：；8、 求商比较法它运用如下性质：当a0，b0时，则：； 【典型例题】

8、【例16】 比较与的大小.【例17】比较与的大小.一 元 二 次 方 程一、知识结构：一元二次方程二、考点精析考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式： 难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）A、 B、 C、 D、 变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未

9、知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：例1、已知的值为2，则的值为 。考点三、解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法：对于，等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程： =0;例2、若，则x的值为 。类型二、因式分解法:方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如， ，典型例题：例1、的根为（ ）A B C D 例2、若，则4x+y的值为 。例3、方程的解为（ ）A. B. C. D.例4、解方程： 例5、已知,则的值为 。类型三、配方法在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值

10、之类的问题。典型例题：例1、 试用配方法说明的值恒大于0。例2、 已知x、y为实数，求代数式的最小值。例3、 已知为实数，求的值。例4、 分解因式：类型四、公式法条件：公式： ,典型例题：例1、选择适当方法解下列方程： 例2、在实数范围内分解因式：（1） ；（2）. 说明：对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求两根，再写成=.分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用求代数式的值； 解二元二次方程组。典型例题：例1、 已知，求代数式的值。例2、如果，那么代数式的值。说明：解二元二次方

11、程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )A. B. C. D.例3、已知关于x的方程(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.例5、为何值时，方程组有两个不同的实数解有两个相同的实数解考

12、点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例1、关于x的方程有两个实数根，则m为 ,只有一个根，则m为 。 例2、 不解方程，判断关于x的方程根的情况。例3、 如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程是否有相同的根若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题考点七、根与系数的关系前提：对于而言，当满足、时，才能用韦达定理。主要内容：应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ） A. D.例2、已知关于x的方程有两个不相等的实

13、数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗其正确解应该是多少例4、已知，求 变式：若，则的值为 。例5、已知是方程的两个根，那么 .针对练习：1、解方程组2已知，求的值。3、已知是方程的两实数根，求的值。勾股定理知识要点1、勾股定理定义： 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边

14、的平方. 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的应用：在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。勾股逆定理的应用:勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，在运用这一定理时应注意：3. 勾股数：满足a2b2c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组.） 常见勾股数：3，4，5； 6，8，10；5，12，13； 9，12，154. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2

15、+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90的三角形是直角三角形；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形. 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2a2b2，则ABC是以C为直角的三角形；若a2b2c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）5.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半

16、，那么这条直角边所对的角等于30.勾股定理的验证 【勾股定理及其逆定理的实际应用】1、某经济开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在该空地上种上草皮，经测量B90，AB300 m，AD1300 m，CD1200 m，BC400 m，请计算种植草皮的面积是多少2、如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点(即正方形的顶点)，在这个66的方格纸中，找出格点C，使ABC为面积是1个平方单位的直角三角形，满足条件的点的个数是_3、如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1S2S3

17、S4_.4、如图是一个圆柱体，它的高为40 cm，底面周长为60 cm.在圆柱的下底面A点处有一只蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短距离是_cm.5、如图是一块长、宽、高分别是4 cm、2 cm和1 cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是_ cm.6、如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道7、定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒(每根长度记为1个单位)中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”(1)请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；(2)你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由摆出等边“整数三角形”；摆出一个非特殊(既非直角三角形，也非等腰三形)“整数三角形”专心-专注-专业