计数原理与排列组合(共5页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上 计数原理与排列组合计数原理一、知识导学1.分类计数原理:完成一件事类办法,那么完成这件事共有N种不同的方法.2. 分步计数原理:完成一件事分成个步骤,那么完成这件事共有N种不同的方法.二、经典例题导讲例1体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有( )A12 种 B7种C24种 D49种分析:学生进门有7种选择,同样出门也有7种选择,由分步计数原理,该学生的进出门方案有7749种. 应选D 例3三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6,若将三张卡片并列,可得到几个不同的三位数(6不能作9用).解:解法一第一步,选数字.每张
2、卡片有两个数字供选择,故选出3个数字,共有8种选法.第二步,排数字.要排好一个三位数,又要分三步,首先排百位,有3种选择,由于排出的三位数各位上的数字不可能相同,因而排十位时有2种选择,排个位只有一种选择.故能排出3216个不同的三位数. 例5 用0,1,2,3,4,5这六个数字,(1)可以组成多少个数字不重复的三位数?(2)可以组成多少个数字不重复的三位奇数?(3)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数?解:(1)分三步:先选百位数字,由于0不能作为百位数,因此有5种选法;十位数字有5种选法;个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有554100个.(3)分三步:先选个位数字
3、,由于组成的三位数是奇数,因此有3种选法;再选百位数字有4种选法;个位数字也有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有34448个.(4)分三类:一位数,共有6个;两位数,共有5525个;三位数,共有554100个.因此,比1000小的自然数共有625100131个四、典型习题导练1将4个不同的小球放入编号为1、2、3的三个不同的盒子中,其中每个盒子都不空的放法共有() A种 B种 C18种D36种2某艺术组有9人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中7人会钢琴,3人会小号,从中选出会钢琴与会小号的各1人,有多少种不同的选法? 排列与组合一、知识导学1.排列:一般地,从个不同元素中取出()个
4、元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.2.全排列:个不同元素全部取出的一个排列,叫做个不同元素的全排列.3. 排列数:从个不同元素中取出()个元素的所有排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数.用符号表示.4. 阶乘:正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用!表示.规定:0!15.组合:一般地,从个不同元素中取出()个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.6.组合数:从个不同元素中取出()个元素的所有组合的个数叫做从个不同元素中取出个元素的组合数.用符号表示.7.本节公式(1)排列数公式(这里、,且)(2)组合数公式(这里、,且) (3)组合数的
5、两个性质规定: 二、疑难知识导析1常见题型有:排队问题、数字问题、与几何有关的问题.解排列应用题时应注意以下几点: 认真审题,根据题意分析它属于什么数学问题,题目中的事件是什么,有无限制条件,通过怎样的程序完成这个事件,用什么计算方法. 弄清问题的限制条件,注意研究问题,确定特殊元素和特殊的位置.考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先,必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考.解排列应用题的基本思路: 基本思路:直接法:即从条件出发,直接考虑符合条件的排列数;间接法:即先不考虑限制条件,求出所有排列数,然后再从中减去不符合条件的排列数. 常用方法:特殊元素、特殊位置分析法,排除法(也称
6、去杂法),对称分析法,捆绑法,插空档法,构造法等.4对组合的理解:如果两个组合中的元素完全相同,那么不管它们顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同时(即使只有一个元素不同),就是不同的组合.三、经典例题导讲元素多于位置例1 10个人走进只有6把不同椅子的屋子,若每把椅子必须且只能坐一人,共有多少种不同的坐法?分析:原问题抽象为从10个元素中作取6个元素占据6个不同的位置.显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题.从而,共有种坐法.捆绑法和插入法的应用 例4 4名男生和3名女生并坐一排,分别回答下列问题:(1)男生必须排在一起的坐法有多少种?(2)女生互不相邻的坐法有多少种?(3
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