2021_2022学年新教材高中数学第一章预备知识4.2一元二次不等式及其解法课件北师大版必修第一册202106041115.pptx

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1、4.2一元二次不等式及其解法自主自主预习预习新知新知导学导学合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑易易 错错 辨辨 析析随随 堂堂 练练 习习课标定位课标定位素养阐释素养阐释1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的通过函数图象了解一元二次不等式与相应的一元二次函数、一元二次方程的联系一元二次函数、一元二次方程的联系,会解一元会解一元二次不等式二次不等式.3.掌握图象法解一元二次不等式掌握图象法解一元二次不等式.4.体会数形结合思想、分类讨论思想的应用体会数形结合思想、分类讨论思想的应用,加加强运算能力素养的培养强运算

2、能力素养的培养.一、一元二次不等式的概念一、一元二次不等式的概念【问题思考】【问题思考】1.(1)方程方程x2-2x-3=0的实数根是什么的实数根是什么?提示提示:由由x2-2x-3=0,得得(x-3)(x+1)=0,解得解得x=3或或x=-1.所以方程所以方程x2-2x-3=0的实数根为的实数根为x1=3,x2=-1.(2)画出函数画出函数y=x2-2x-3的图象的图象,并指出函数的图象与并指出函数的图象与x轴交点的轴交点的坐标坐标.提示提示:函数函数y=x2-2x-3=(x-1)2-4的图象如图所示的图象如图所示.由图可知由图可知,函数的图象与函数的图象与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为(-

3、1,0)和和(3,0).(3)观察图象观察图象,试写出不等式试写出不等式x2-2x-30和和x2-2x-30的解集为的解集为x|x3或或x-1;x2-2x-30的解集为的解集为x|-1x0,或或ax2+bx+c0(a0)的解集是全体实数的条件的解集是全体实数的条件是什么是什么?提示提示:令令y=ax2+bx+c,由题意知由题意知y0恒成立恒成立,则一元二次函则一元二次函数数y=ax2+bx+c的图象应开口向上的图象应开口向上,与与x轴无交点轴无交点,即应满足即应满足【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画正确的在它后面的括号里画“ ”,错错误

4、的画误的画“”.(1)不等式不等式ax2+x-10一定是一元二次不等式一定是一元二次不等式.( )(2)2x2+3y2+10是一元二次不等式是一元二次不等式.( )(3)一元二次不等式的解集可能有无穷多个一元二次不等式的解集可能有无穷多个.( )(4)一元二次不等式的解集可能是空集一元二次不等式的解集可能是空集.()探究探究一一 一一元二次不等式的解法元二次不等式的解法【例【例1】 解下列不等式解下列不等式:(1)2x2-3x-20;(2)-3x2+6x2.分析分析:先求相应方程的实数根先求相应方程的实数根,然后根据相应函数的图象然后根据相应函数的图象,观察观察得出不等式的解集得出不等式的解集

5、.(2)原不等式可化为原不等式可化为3x2-6x+20,所以该方程有两个不相等的实数根所以该方程有两个不相等的实数根,解一元二次不等式时首先要把二次项系数化为正值解一元二次不等式时首先要把二次项系数化为正值.如果二如果二次函数能直接进行因式分解次函数能直接进行因式分解,则分解因式得方程的根则分解因式得方程的根,再结合再结合图象得出解集图象得出解集;若不能直接分解因式若不能直接分解因式,则要结合判别式进行求则要结合判别式进行求解解.最终结果必须是集合形式最终结果必须是集合形式.【变式训练【变式训练1】 解下列不等式解下列不等式:(1)x2-5x-60;(2)-x2+7x6.解解:(1)因为方程因

6、为方程x2-5x-6=0的的=(-5)2-41(-6)0,所以所以该方程有两个不相等的实数根该方程有两个不相等的实数根,解解得得x1=-1,x2=6.画出函数画出函数y=x2-5x-6的图象的图象,可知可知该函数的图象是开口向上的抛物线该函数的图象是开口向上的抛物线,且且与与x轴有两个交点轴有两个交点(-1,0)和和(6,0).观察图象可得原不等式的解集观察图象可得原不等式的解集为为x|x6,或或x-1.(2)原不等式可化为原不等式可化为x2-7x+60,所以所以该方程有两个不相等的实数根该方程有两个不相等的实数根,解解得得x1=1,x2=6.画出函数画出函数y=x2-7x+6的图象的图象,可

7、知可知该函数的图象是开口向上的抛物线该函数的图象是开口向上的抛物线,且且与与x轴有两个交点轴有两个交点(1,0)和和(6,0).观察观察图象可得原不等式的解集为图象可得原不等式的解集为x|1x0时时,不等式的解集不等式的解集.若将原不等式中若将原不等式中“a0”改为改为“a0”,其他不变其他不变,如何求解如何求解?解含参数的一元二次不等式的方法解含参数的一元二次不等式的方法:(1)二次项的系数若含有参数二次项的系数若含有参数,要分系数等于要分系数等于0、小于、小于0、大于、大于0讨论讨论,然后将不等式的二次项系数化为正数然后将不等式的二次项系数化为正数.(2)若判别式不确定若判别式不确定,则需

8、讨论判别式与则需讨论判别式与0的关系的关系.(3)确定方程无实根时确定方程无实根时,可直接写出解集可直接写出解集,确定方程有两个实数确定方程有两个实数根时根时,要讨论两个实数根的大小关系要讨论两个实数根的大小关系,从而写出解集从而写出解集.【变式训练【变式训练2】 解关于解关于x的不等式的不等式(x-a)(x-a2)0.解解:当当a1时时,有有aa2,此时此时,不等式的解集为不等式的解集为x|axa2;当当0a1时时,有有a2a,此时此时,不等式的解集为不等式的解集为x|a2xa;当当a=0,或或a=1时时,原不等式无解原不等式无解.综上综上,当当a1时时,原不等式的解集为原不等式的解集为x|

9、axa2;当当0a1时时,原不等式的解集为原不等式的解集为x|a2xx.错解错解 由由x2x两边同时约去两边同时约去x,得得x1,所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为x|x1.以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改正正?你如何防范你如何防范?提示提示:本题因不等式两边同时约去本题因不等式两边同时约去x时时,未考虑未考虑x的取值的取值(正负正负性性),机械应用不等式性质而出现失解现象机械应用不等式性质而出现失解现象,因此导致求解错误因此导致求解错误.正解正解:原不等式可化为原不等式可化为x2-x0,即即x(x-1)0.方程方程

10、x(x-1)=0有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根x1=0,x2=1,不等式不等式x2-x0的解集为的解集为x|x1.应将一元二次不等式化成标准形式应将一元二次不等式化成标准形式,再由方程的根得出解集再由方程的根得出解集.【变式训练】【变式训练】 不等式不等式x(9-x)0的解集是的解集是.解析解析:不等式不等式x(9-x)0变形为变形为x(x-9)0,解得解得0 x9,故原不等式故原不等式的解集为的解集为(0,9).答案答案:(0,9)1.不等式不等式-x2-5x+60的解集为的解集为()A.x|x6,或或x-1B.x|-1x6C.x|-6x1D.x|x-6,或或x1解析解析:原不等式

11、可化为原不等式可化为x2+5x-60,即即(x+6)(x-1)0,结合二次结合二次函数的图象函数的图象(图略图略),知不等式的解集为知不等式的解集为x|-6x1.答案答案:C2.设集合设集合M=x|x2-2x-30,xZ,则集合则集合M的真子集个数为的真子集个数为()A.8B.7C.4D.3解析解析:由由x2-2x-30,得得-1x3,又又xZ,M=0,1,2.故集合故集合M的真子集有的真子集有23-1=7(个个).答案答案:B3.不等式不等式(x+5)(1-x)8的解集是的解集是()A.x|x1,或或x-5B.x|x-3,或或x-1C.x|-5x1D.x|-3x-1解析解析:不等式不等式(x

12、+5)(1-x)8可化为可化为(x+3)(x+1)0,解解得得-3x-1,故原不等式的解集为故原不等式的解集为x|-3x-1.答案答案:D4.不等式不等式x2+x-20的解集为的解集为.解析解析:x2+x-20可化为可化为(x+2)(x-1)0,解得解得-2x1.故所求不等式的解集为故所求不等式的解集为(-2,1).答案答案:(-2,1)5.设不等式设不等式x2-4x+30的解集为的解集为B.(1)求求AB;(2)若不等式若不等式x2+ax+b0的解集为的解集为AB,求求a,b的值的值.解解:(1)由题意由题意A=x|1x3,B=x|x2,AB=x|1x3x|x2=x|2x3.(2)不等式不等式x2+ax+b0的解集为的解集为AB,2和和3为方程为方程x2+ax+b=0的两个实数根的两个实数根,