九年级数学下册第26章二次函数26.1二次函数及其图象2二次函数y=ax2的图象习题课件新人教版2020032652.ppt

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1、26.1.2 二次函数y=ax2的图象1.1.探索二次函数探索二次函数y=axy=ax2 2的图象的作法的图象的作法.(.(重点重点) )2.2.根据二次函数根据二次函数y=axy=ax2 2的图象理解的图象理解y=axy=ax2 2的性质的性质( (图象的形状、开图象的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、开口大小等口方向、对称轴、顶点坐标、开口大小等).().(重点重点) )3.3.能应用二次函数能应用二次函数y=axy=ax2 2的性质解决相关问题的性质解决相关问题.(.(难点难点) )观察函数观察函数y=xy=x2 2,y= x,y= x2 2,y=2x,y=2x2 2,y=-x,y=-x

2、2 2,y=- x,y=- x2 2和和y=-2xy=-2x2 2的图象的图象, ,找出它们的异同点找出它们的异同点: :1212（1 1）函数）函数y=axy=ax2 2（a0a0）的图象是一条抛物线，它关于）的图象是一条抛物线，它关于_轴对轴对称，它的顶点坐标是称，它的顶点坐标是_（2 2）由）由y=xy=x2 2,y= x,y= x2 2,y=2x,y=2x2 2的图象，可知：当的图象，可知：当a0a0时，抛物线时，抛物线y=axy=ax2 2开口开口_，顶点是抛物线上位置，顶点是抛物线上位置_的点，的点，a a越大，越大，抛物线的开口越抛物线的开口越_._.（3 3）类似地，由）类似地

3、，由y=-xy=-x2 2,y=- x,y=- x2 2和和y=-2xy=-2x2 2的图象，可知：当的图象，可知：当a a0 0时，抛物线时，抛物线y=axy=ax2 2开口开口_，顶点是抛物线上位置，顶点是抛物线上位置_的点，的点，|a|a|越大，抛物线的开口越越大，抛物线的开口越_._.y y(0(0，0)0)12向上向上最低最低小小12向下向下最高最高小小【归纳归纳】 1.1.二次函数二次函数y=axy=ax2 2的图象及其性质：的图象及其性质：(1)(1)图象图象:y=ax:y=ax2 2(a0)(a0)的图象是一条的图象是一条_, ,这条这条_叫做抛物线叫做抛物线. .(2)(2)

4、对称性对称性: :抛物线抛物线y = axy = ax2 2关于关于_对称对称. .(3)(3)开口方向开口方向: :当当a0a0时时, ,抛物线抛物线y = axy = ax2 2开口开口_; ;当当a0a0a0时时, ,顶点是抛物线上位置顶点是抛物线上位置_的点的点; ;当当a0a0)(a0)的关系：的关系：(1)(1)抛物线抛物线y=axy=ax2 2与与y=-axy=-ax2 2关于关于_轴对称轴对称. .(2)(2)抛物线抛物线y=axy=ax2 2与与y=-axy=-ax2 2关于关于_成中心对称成中心对称. .对称轴对称轴原点原点最低最低最高最高小小x x原点原点 ( (打打“”

5、或或“”) )(1)(1)抛物线抛物线y=axy=ax2 2,y=bx,y=bx2 2, ,当当abab时时, ,抛物线抛物线y=axy=ax2 2的开口大的开口大. ( ). ( )(2)(2)抛物线抛物线y=(- x)y=(- x)2 2的开口向下的开口向下. .( )( )(3)(3)抛物线抛物线y=axy=ax2 2(a0)(a0)上上, ,若两个点的纵坐标相同若两个点的纵坐标相同, ,那么这两个那么这两个点的横坐标互为相反数点的横坐标互为相反数. .( )( )3知识点知识点 1 1 二次函数二次函数y=axy=ax2 2的图象与性质的图象与性质【例例1 1】函数函数 是关于是关于x

6、 x的二次函数的二次函数, ,求求: :(1)(1)满足条件的满足条件的m m的值的值. .(2)m(2)m为何值时为何值时, ,抛物线有最低点抛物线有最低点? ?求出这个最低点求出这个最低点, ,这时当这时当x x为何为何值时值时,y,y随随x x的增大而增大的增大而增大? ?(3)m(3)m为何值时为何值时, ,抛物线的开口方向向下抛物线的开口方向向下? ?这时当这时当x x为何值时为何值时,y,y随随x x的增大而减小的增大而减小? ?2mm 4ym2 x【解题探究解题探究】(1)(1)函数是二次函数的条件是自变量的最高次数函数是二次函数的条件是自变量的最高次数是是_, ,二次项的系数不

7、为二次项的系数不为_. .由此得到关于由此得到关于m m的方程组是的方程组是_解得解得m=m=_或或m=m=_. .(2)(2)若抛物线有最低点若抛物线有最低点, ,则抛物线的开口方向则抛物线的开口方向_, ,所以二次所以二次项的系数项的系数_零零, ,由此确定符合条件的由此确定符合条件的m m值是值是_. .在对称轴的在对称轴的_侧侧, ,即即x x_0 0时时,y,y随随x x的增大而增大的增大而增大. .2mm42,m20,2 2-3-3向上向上大于大于2 2右右 2 20 0(3)(3)二次项的系数满足什么条件时二次项的系数满足什么条件时, ,抛物线的开口方向向下抛物线的开口方向向下?

8、 ?由由此确定符合条件的此确定符合条件的m m值是多少值是多少? ?在对称轴的哪一侧在对称轴的哪一侧,y,y随随x x的增大的增大而减小而减小? ?提示提示: :二次项的系数小于零时二次项的系数小于零时, ,抛物线的开口向下抛物线的开口向下, ,所以所以, ,符合条符合条件的件的m m的值为的值为-3,-3,在对称轴的右侧在对称轴的右侧, ,即即x0 x0时时,y,y随随x x的增大而减小的增大而减小. .【总结提升总结提升】二次函数二次函数y=axy=ax2 2的的“两关系四对等两关系四对等”1.a1.a0 0开口向上开口向上有最小值有最小值2.a2.a0 0开口向下开口向下有最大值有最大值

9、x0yxx0yx. 时， 随 的增大而增大， 时， 随 的增大而减小x0yxx0yx. 时， 随 的增大而减小， 时， 随 的增大而增大知识点知识点 2 2 求二次函数求二次函数y=axy=ax2 2的解析式的解析式【例例2 2】(2013(2013山西中考山西中考) )如图是我省某地一座抛物线形拱桥如图是我省某地一座抛物线形拱桥, ,桥拱在竖直平面内桥拱在竖直平面内, ,与水平桥面相交于与水平桥面相交于A,BA,B两点两点, ,桥拱最高点桥拱最高点C C到到ABAB的距离为的距离为9m,AB=36m,D,E9m,AB=36m,D,E为桥拱底部的两点为桥拱底部的两点, ,且且DEAB,DEAB

10、,点点E E到到直线直线ABAB的距离为的距离为7m,7m,则则DEDE的长为的长为m.m.【思路点拨思路点拨】以以C C为坐标原点建立坐标系为坐标原点建立坐标系设出抛物线解析式设出抛物线解析式把把B B点坐标代入解析式点坐标代入解析式求出解析式求出解析式把把D,ED,E纵坐标代入解纵坐标代入解析式析式D,ED,E横坐标横坐标DEDE的长的长. .【自主解答自主解答】以顶点以顶点C C为坐标原点为坐标原点, ,建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系, ,设设抛物线抛物线y=axy=ax2 2, ,由题意得由题意得B(18,-9),B(18,-9),把把B(18,-9)B(18,-9)代入代入

11、y=axy=ax2 2, ,得得a a18182 2=-9,=-9,解得解得a=-a=-所以抛物线的解析式为所以抛物线的解析式为y=- xy=- x2 2, ,当当y=-9-7=-16y=-9-7=-16时时,-16=- x,-16=- x2 2, ,解得解得x=x=24,DE=48m.24,DE=48m.答案答案: :48481.36136136【总结提升总结提升】解二次函数解二次函数y=axy=ax2 2的应用题的三步骤的应用题的三步骤题组一题组一: :二次函数二次函数y=axy=ax2 2的图象与性质的图象与性质1.1.抛物线抛物线y= xy= x2 2不具有的性质是不具有的性质是( (

12、) )A.A.对称轴是对称轴是y y轴轴B.B.开口向上开口向上C.C.当当x0 x0a0时时, ,抛物线开口向上抛物线开口向上, ,并且向上无限延伸并且向上无限延伸, ,所所以没有最高点以没有最高点, ,只有最低点只有最低点. .132.2.如图如图, ,四个二次函数的图象中四个二次函数的图象中, ,分别对应的关系式是分别对应的关系式是: :y=axy=ax2 2; ;y=bxy=bx2 2; ;y=cxy=cx2 2; ;y=dxy=dx2 2, ,则则a,b,c,da,b,c,d的大小关系是的大小关系是( () )A.abcd B.abdcA.abcd B.abdcC.bacd D.ba

13、dcC.bacd D.badc【解析解析】选选A.A.由图象可知由图象可知a0,b0,c0,d0,b0,c0,db0,dcb0,dc0.3.3.已知已知(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2) )都在抛物线都在抛物线y=3xy=3x2 2上上, ,下列说法正确的是下列说法正确的是 ( () )A.A.若若y y1 1=y=y2 2, ,则则x x1 1=x=x2 2B.B.若若x x1 1=x=x2 2, ,则则y y1 1=-y=-y2 2C.C.若若0 x0 x1 1xyy2 2D.D.若若x x1 1xx2 20,yy2 2【解析解析】选选D.D.对于对于y=3

14、xy=3x2 2, ,当函数值相等时当函数值相等时, ,根据对称性可知根据对称性可知, ,其其所对应的自变量的值相等或互为相反数所对应的自变量的值相等或互为相反数, ,故故A A错误错误; ;当自变量的当自变量的值相等时值相等时, ,函数值也相等函数值也相等, ,故故B B错误错误; ;在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y,y随随x x的增的增大而增大大而增大, ,故故C C错误错误; ;在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随随x x的增大而减小的增大而减小, ,故故D D正正确确. .4.4.已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2(a0)(a0)上有三点上有三点(x(x1 1,y,y1 1)

15、,(x),(x2 2,y,y2 2),(x),(x3 3,y,y3 3),),其中其中x x1 1xx2 20 x0|x|x1 1|,|,则则y y1 1,y,y2 2,y,y3 3之间的大小关系是之间的大小关系是. .【解析解析】当当a0a0时时, ,抛物线的开口方向向下抛物线的开口方向向下, ,在对称轴的左侧在对称轴的左侧, , y y随随x x的增大而增大的增大而增大, ,所以所以y y1 1yy2 2; ;根据对称性可知根据对称性可知, ,点点(x(x3 3,y,y3 3) )关于关于y y轴的对称点在点轴的对称点在点(x(x1 1,y,y1 1) )的左侧的左侧, ,所以所以y y3

16、 3yy1 1. .所以所以y y3 3yy1 1yy2 2. .答案答案: :y y3 3yy1 1y-1,:m-1,m=1.m=1.此时此时, ,二次函数解析式为二次函数解析式为y=2xy=2x2 2. .2mmym1 x2m10 mm2 ，题组二题组二: :求二次函数求二次函数y=axy=ax2 2的解析式的解析式1.(20131.(2013丽水中考丽水中考) )若二次函数若二次函数y=axy=ax2 2的图象经过点的图象经过点P(-2,4),P(-2,4),则该图象必经过点则该图象必经过点( () )A.(2,4)A.(2,4) B.(-2,-4) B.(-2,-4)C.(-4,2)C

17、.(-4,2) D.(4,-2) D.(4,-2)【解析解析】选选A.A.将将(-2,4)(-2,4)代入代入y=axy=ax2 2, ,计算计算a a的值的值, ,写出抛物线解析写出抛物线解析式式, ,将选项逐一代入解析式验证即可知将选项逐一代入解析式验证即可知A A正确正确. .2.2.二次函数二次函数y=axy=ax2 2与与y=2xy=2x2 2的图象的图象, ,开口大小、形状都相同开口大小、形状都相同, ,开口开口方向相反方向相反, ,则则a=a=. .【解析解析】由题意得由题意得|a|=2,|a|=2,因为二次函数因为二次函数y=axy=ax2 2的图象开口向下的图象开口向下, ,

18、所以所以a=-2.a=-2.答案答案: :-2-23.3.汽车刹车距离汽车刹车距离s(m)s(m)与速度与速度v(km/h)v(km/h)之间的函数关系式是之间的函数关系式是s= vs= v2 2, ,在一辆车速为在一辆车速为100km/h100km/h的汽车前方的汽车前方80m80m处发现停放一处发现停放一辆故障车辆故障车, ,此时刹车此时刹车有危险有危险( (选填选填“会会”或或“不会不会”).).【解析解析】把把v=100v=100代入函数关系式得代入函数关系式得s=10080,s=10080,所以此时刹车会所以此时刹车会有危险有危险. .答案答案: :会会11004.4.如图所示如图所

19、示, ,已知抛物线的顶点为坐标原点已知抛物线的顶点为坐标原点O,O,矩形矩形ABCDABCD的顶点的顶点A,DA,D在抛物线上在抛物线上, ,且且ADAD平行平行x x轴轴, ,交交y y轴于点轴于点F,ABF,AB的中点的中点E E在在x x轴轴上上,B,B点的坐标为点的坐标为(2,1),(2,1),点点P(a,b)P(a,b)在抛物线上运动在抛物线上运动.(.(点点P P异于点异于点O).O).(1)(1)求此抛物线的解析式求此抛物线的解析式. .(2)(2)过点过点P P作作CBCB所在直线的垂线所在直线的垂线, ,垂足为点垂足为点R,R,求证求证:PF=PR.:PF=PR.【解析解析】

20、(1)(1)由题意可得由题意可得: :点点A A的坐标为的坐标为(2,-1),(2,-1),抛物线的顶点为坐标原点抛物线的顶点为坐标原点O,O,可设抛物线的解析式为可设抛物线的解析式为:y=ax:y=ax2 2, ,将点将点A(2,-1)A(2,-1)代入可得代入可得:4a=-1,:4a=-1,解得解得a=- ,a=- ,抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=- xy=- x2 2. .1414(2)(2)如图如图, ,过点过点P P作作PGyPGy轴轴, ,垂足为垂足为G.G.连接连接PF.PF.由题意可知由题意可知:F(0,-1),G(0,b),R(a,1),:F(0,-1),G(0,b),

21、R(a,1),GF=|b-(-1)|=|b+1|,PG=|a|,PR=1-b,GF=|b-(-1)|=|b+1|,PG=|a|,PR=1-b,点点P(a,b)P(a,b)为抛物线为抛物线y=- xy=- x2 2上的动点上的动点, ,b=- ab=- a2 2, ,变形得变形得:a:a2 2=-4b,=-4b,在在RtRtPGFPGF中中, ,由勾股定理可得由勾股定理可得: :PF= =|b-1|=1-b,PF= =|b-1|=1-b,PF=PR.PF=PR.1414222b1ab14b【想一想错在哪？想一想错在哪？】已知已知A(-2,yA(-2,y1 1),B(-1,y),B(-1,y2 2),C(2,y),C(2,y3 3) )分别是分别是抛物线抛物线y=(-ay=(-a2 2-1)x-1)x2 2上的三个点上的三个点, ,试比较试比较y y1 1,y,y2 2,y,y3 3的大小的大小. .提示提示: :在对称轴的两侧在对称轴的两侧, ,二次函数的增减性是不相同的二次函数的增减性是不相同的. .对称的对称的两个点的函数值是相同的两个点的函数值是相同的. .