九年级数学下册第3章圆3.1圆3.1.1圆的对称性第1课时课件湘教版20200323327.ppt

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1、第3章 圆3.1 圆3.1.1 圆的对称性(第1课时)1.1.理解圆的对称性及相关性质理解圆的对称性及相关性质.(.(重点重点) )2.2.能正确运用能正确运用“垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦”解决问题解决问题.(.(重点、重点、难点难点) )1.1.观察图形，完成填空观察图形，完成填空. .线段线段OAOA绕绕_旋转旋转_所形成的图形所形成的图形就是圆，由旋转的性质可知，圆周上任就是圆，由旋转的性质可知，圆周上任一点到圆心的距离一点到圆心的距离_._.(1)(1)圆是平面内到一圆是平面内到一_的距离等于的距离等于_的所有点组成的图形，这个的所有点组成的图形，这个_叫做圆心，

2、叫做圆心，_叫做半径叫做半径. .定点定点O O一周一周相等相等定点定点定长定长定点定点定长定长(2)(2)圆也可以看成是平面内一个动点绕一个圆也可以看成是平面内一个动点绕一个_旋转旋转_所形所形成的图形，成的图形，_叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径. .2.2.圆的有关概念圆的有关概念. .(1)(1)弦弦: :连结圆上任意两点的连结圆上任意两点的_._.(2)(2)直径直径: :经过经过_的弦的弦. .(3)(3)等圆等圆: :能够能够_的两个圆的两个圆. .定点定点一周一周定点定点线段线段圆心圆心重合重合3.3.圆的对称性圆的对称性. .(1)(1

3、)圆是圆是_图形图形, ,即圆绕圆心旋转即圆绕圆心旋转_角度角度, ,都能与自身都能与自身_._.特别地特别地, ,圆是中心对称图形圆是中心对称图形,_,_是它的对称中心是它的对称中心. .(2)(2)圆是轴对称图形圆是轴对称图形,_,_所在的所在的_都是它的对称轴都是它的对称轴. .4.4.垂径定理垂径定理. .如图如图,CD,CD为为O O的直径的直径,AB,AB为弦为弦. .旋转对称旋转对称任意任意重合重合圆心圆心任意一条直径任意一条直径直线直线【思考思考】1.1.当当CDAB,CDAB,垂足为垂足为E E时时, ,将圆沿直线将圆沿直线CDCD对折对折, ,点点A A与点与点B B重合吗

4、重合吗? ?你会发现哪些相等的线段你会发现哪些相等的线段? ?提示提示: :重合重合.AE=BE.AE=BE.2.2.你能证明你能证明AE=BEAE=BE吗吗? ?提示提示: :连结连结OA,OB,OA,OB,则则OEOE为等腰为等腰AOBAOB底边上的高底边上的高,AE=BE.,AE=BE.【总结总结】_于弦的直径于弦的直径_这条弦这条弦. .垂直垂直平分平分(1)(1)直径是弦直径是弦. ( ). ( )(2)(2)以点以点O O为圆心只能作一个圆为圆心只能作一个圆. .( )( )(3)(3)圆是中心对称图形圆是中心对称图形, ,圆心是对称中心圆心是对称中心. .( )( )(4)(4)

5、如图如图, ,在在O O中中, ,当当AC=BCAC=BC时时,OCAB.,OCAB.( )( )知识点知识点 1 1 圆的定义及应用圆的定义及应用【例例1 1】如图所示如图所示,AB,AB是是O O的弦的弦, ,半径半径OC,ODOC,OD分别交分别交ABAB于点于点E,F,E,F,且且AE=BF,AE=BF,请你找出线段请你找出线段OEOE与与OFOF的数量关系的数量关系, ,并给予证明并给予证明. .【思路点拨思路点拨】作辅助线构造作辅助线构造OAEOAE与与OBF,OBF,然后证明这两个三然后证明这两个三角形全等角形全等, ,最后根据全等的性质得出结论最后根据全等的性质得出结论. .【

6、自主解答自主解答】OE=OF.OE=OF.证明证明: :连结连结OA,OB,OA=OB,OAE=OBF.OA,OB,OA=OB,OAE=OBF.又又AE=BF,AE=BF,OAEOAEOBF.OE=OF.OBF.OE=OF.【总结提升总结提升】圆的半径相等的两种应用圆的半径相等的两种应用1.1.利用半径相等为三角形全等提供相等的边利用半径相等为三角形全等提供相等的边. .2.2.构造等腰三角形构造等腰三角形, ,不在同一直线上的两半径与弦长构成等腰不在同一直线上的两半径与弦长构成等腰三角形三角形. .知识点知识点 2 2 圆的对称性有关性质的应用圆的对称性有关性质的应用【例例2 2】如图是一个

7、隧道的横截面如图是一个隧道的横截面, ,若它的形状是以若它的形状是以O O为圆心为圆心的圆的一部分的圆的一部分, ,路面路面AB=10m,AB=10m,净高净高CD=7m,CD=7m,则此圆的半径则此圆的半径OAOA是多是多少少m?m?【解题探究解题探究】1.1.根据题意及图示，你能用数学符号语言表述对称性有关定理根据题意及图示，你能用数学符号语言表述对称性有关定理吗吗( (假设假设CECE为为O O的直径的直径) )？提示：提示：CECE为为O O的直径，的直径，CEABCEAB，ADBD ACBC AEBE.，2.2.如何根据对称性的有关定理求如何根据对称性的有关定理求ADAD的长？的长？

8、提示：提示：在在O O中，中，AB=10 mAB=10 m，ODABODAB，AD= =5 m.AD= =5 m.3 3设设O O的半径的半径OAOA为为x mx m，请用代数式表示线段，请用代数式表示线段ODOD的长的长. .提示：提示：ODOD可表示为可表示为(7-x)m.(7-x)m.AB24 4应用对称性的有关定理计算的关键是寻找以弦的一半、半应用对称性的有关定理计算的关键是寻找以弦的一半、半径和弦到圆心的垂线段为边的直角三角形径和弦到圆心的垂线段为边的直角三角形. .利用勾股定理列方利用勾股定理列方程求解，请你找出此直角三角形，并求解程求解，请你找出此直角三角形，并求解. .提示：提

9、示：此直角三角形是此直角三角形是RtRtAOD.AOD.在在RtRtAODAOD中，中，OAOA2 2=OD=OD2 2+AD+AD2 2，即即x x2 2=(7-x)=(7-x)2 2+5+52 2，解得，解得x= .x= .即即OA= m.OA= m.377377【互动探究互动探究】若若D D点为弦点为弦ABAB上的一个动点，求线段上的一个动点，求线段ODOD的取值的取值范围范围. .提示：提示：1237OD77【总结提升总结提升】对称性的有关定理基本图形的四变量、两关系对称性的有关定理基本图形的四变量、两关系1.1.四变量：如图，弦长四变量：如图，弦长a a，圆心到弦的距离，圆心到弦的距

10、离d,d,半径半径r,r,弧的中点弧的中点到弦的距离到弦的距离( (弓形高弓形高)h,)h,这四个变量知任意两个可求其他两个这四个变量知任意两个可求其他两个. .2.2.两关系：两关系：( )( )2 2+d+d2 2=r=r2 2；h+d=r.h+d=r.a2题组一：题组一：圆的定义及应用圆的定义及应用1.1.半径为半径为5 cm5 cm的圆满足的圆满足O O上的点到圆心的距离上的点到圆心的距离( )( )A.A.大于大于5 cm B.5 cm B.小于小于5 cm5 cmC.C.不等于不等于5 cm D.5 cm D.等于等于5 cm5 cm【解析解析】选选D D根据圆的定义可得，根据圆的

11、定义可得，O O可以看成是到定点可以看成是到定点O O的的距离等于定长距离等于定长r r的点的集合的点的集合. .2.2.下列条件能确定圆的为下列条件能确定圆的为( )( )A.A.以已知点以已知点O O为圆心为圆心 B.B.经过已知点经过已知点O O，且半径长为，且半径长为2 cm2 cmC.C.以以2 cm2 cm长的线段为半径长的线段为半径 D.D.以已知点以已知点O O为圆心，为圆心，2 cm2 cm长的线段为半径长的线段为半径【解析解析】选选D.D.确定圆需要两个条件，圆心和半径确定圆需要两个条件，圆心和半径. .3.3.如图，如图，ABAB和和CDCD都是都是O O的直径，的直径，

12、AOC=50AOC=50，则，则C C的度数是的度数是( )( )A.20A.20 B.25 B.25C.30C.30 D.50 D.50【解析解析】选选B.ABB.AB和和CDCD都是都是O O的直径，的直径，OC=OBOC=OB，C=B.C=B.又又C+B=AOCC+B=AOC，C= AOC=25C= AOC=25124.4.若若P,M,NP,M,N三点到点三点到点O O的距离相等的距离相等, ,即即PO=MO=NO=2cm,PO=MO=NO=2cm,那那P,M,NP,M,N这这三个点在以点三个点在以点为圆心为圆心, ,以以为半径的圆上为半径的圆上. .【解析解析】P,M,NP,M,N这三

13、个点在一个圆上这三个点在一个圆上. .圆心是点圆心是点O,O,半径的长度是半径的长度是POPO的长度的长度. .答案答案: :O O2cm2cm5.5.如图如图,AOB=60,AOB=60, ,则则AOBAOB是是三角形三角形. .【解析解析】OA=OB,AOB=60OA=OB,AOB=60, ,AOBAOB是等边三角形是等边三角形. .答案答案: :等边等边6.6.如图所示如图所示,BD,CE,BD,CE是是ABCABC的高的高, ,求证求证:E,B,C,D:E,B,C,D四点在同一个圆四点在同一个圆上上. .【证明证明】取取BCBC的中点的中点F,F,连结连结DF,EF.DF,EF.BD,

14、CEBD,CE是是ABCABC的高的高, ,BCDBCD和和BCEBCE都是直角三角形都是直角三角形. .DF,EFDF,EF分别为分别为RtRtBCDBCD和和RtRtBCEBCE斜边上的中线斜边上的中线, ,DF=EF=BF=CF.E,B,C,DDF=EF=BF=CF.E,B,C,D四点在以点四点在以点F F为圆心为圆心, BC, BC为半径的为半径的圆上圆上. .12【归纳整合归纳整合】证明证明n n点共圆的方法点共圆的方法根据圆上各点到圆心的距离都相等根据圆上各点到圆心的距离都相等, ,所以只需要证明这所以只需要证明这n n个个点到某一点点到某一点O O的距离相等即可的距离相等即可,

15、,此时点此时点O O为圆心为圆心, ,任意一点到点任意一点到点O O的距离为该圆的半径的距离为该圆的半径. .题组二题组二: :圆的对称性有关性质的应用圆的对称性有关性质的应用1.1.下列命题中下列命题中, ,正确的是正确的是( () )A.A.圆只有一条对称轴圆只有一条对称轴B.B.圆的对称轴有有限条圆的对称轴有有限条C.C.圆有无数条对称轴圆有无数条对称轴, ,每条直径都是它的对称轴每条直径都是它的对称轴D.D.圆有无数条对称轴圆有无数条对称轴, ,经过圆心的每条直线都是它的对称轴经过圆心的每条直线都是它的对称轴【解析解析】选选D.D.圆沿着过圆心的任意一条直线对折圆沿着过圆心的任意一条直

16、线对折, ,两部分都能两部分都能重合重合. .2.(20132.(2013温州中考温州中考) )如图，在如图，在O O中，中，OCOC弦弦ABAB于点于点C C，AB=4AB=4，OC=1OC=1，则，则OBOB的长是的长是( )( )【解析解析】选选B. B. 在在O O中，中，OCOC弦弦ABAB于点于点C C，则，则BC= AB=2BC= AB=2，A. 3B. 5C. 15D. 171222OBBCOC5.3.(20133.(2013龙东中考龙东中考) )如图，如图，O O的直径为的直径为1010，两条弦，两条弦ABCDABCD，垂足为垂足为E E，且，且AB=CD=8AB=CD=8，

17、则，则OE=_.OE=_.【解析解析】连结连结OA,OD.OA,OD.过点过点O O分别作分别作OFABOFAB，OGCDOGCD，垂足分别为，垂足分别为F,G,F,G,AF= AB=4.AF= AB=4.AO=5AO=5，在，在RtRtAFOAFO中，由勾股定理得中，由勾股定理得同理同理OG=3.OF=OG.OG=3.OF=OG.OFB=OGC=AED=90OFB=OGC=AED=90，122222OFAOAF543.四边形四边形OFEGOFEG是矩形是矩形. .OF=OGOF=OG，四边形四边形OFEGOFEG是正方形是正方形. .根据勾股定理得根据勾股定理得答案：答案：22OE333 2

18、.3 24.(20134.(2013西宁中考西宁中考) )如图，如图，ABAB为为O O的直径，弦的直径，弦CDABCDAB于点于点E E，若若CD=6,CD=6,且且AEBE=13,AEBE=13,则则AB=_.AB=_.【解析解析】ABAB为为O O的直径，弦的直径，弦CDABCDAB于点于点E E，CD=6CD=6，CE=DE= CD=3CE=DE= CD=3，连结，连结OCOC，AEBE=13,AEBE=13,设设AE=x,BE=3x,AE=x,BE=3x,AB=4x,OA=OC=2x,AB=4x,OA=OC=2x,OE=x,OE=x,在在RtRtCOECOE中，中，CECE2 2+O

19、E+OE2 2=OC=OC2 2,3,32 2+x+x2 2=(2x)=(2x)2 2, ,解得解得x= ,AB=4 .x= ,AB=4 .答案：答案：4 4 123335.(20135.(2013漳州中考漳州中考) )如图如图, ,一个宽为一个宽为2 2厘米的刻度尺厘米的刻度尺( (刻度单位刻度单位: :厘米厘米).).放在圆形玻璃杯的杯口上放在圆形玻璃杯的杯口上, ,刻度尺的一边与杯口外沿只刻度尺的一边与杯口外沿只有一个交点有一个交点, ,另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3 3和和9,9,那么玻璃杯的杯口外沿半径为那么玻璃杯的杯口外沿半径为厘米厘

20、米. .【解析解析】如图所示，设该圆的半径为如图所示，设该圆的半径为x x，则弦长为，则弦长为6 6，根据圆的对称性和勾股定理得根据圆的对称性和勾股定理得OAOA2 2-OB-OB2 2=AB=AB2 2，即即x x2 2(x(x2)2)2 2=3=32 2，解得解得答案：答案：13x.41346.6.如图如图, ,在在O O中中,AB,AB为为O O的弦的弦,C,D,C,D是直线是直线ABAB上的两点上的两点, ,且且AC=BD,AC=BD,求证求证: :OCDOCD是等腰三角形是等腰三角形. .【证明证明】过过O O点作点作OMAB,OMAB,垂足为垂足为M.M.则则AM=BM.AC=BD,CM=DM.AM=BM.AC=BD,CM=DM.又又OMAB,OC=OD.OMAB,OC=OD.OCDOCD是等腰三角形是等腰三角形. .【想一想错在哪？想一想错在哪？】若若O O的半径为的半径为4,4,点点P P到到O O上一点的最短上一点的最短距离为距离为2,2,求点求点P P到到O O上一点的最长距离上一点的最长距离. .提示提示: :漏掉点漏掉点P P在圆外的情况在圆外的情况! !