九年级数学下册第28章圆28.3圆中的计算问题1弧长和扇形的面积课件华东师大版20200327120.ppt

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1、1.弧长和扇形的面积 1.1.弧长：圆的周长可以看作弧长：圆的周长可以看作_度的圆心角所对的弧度的圆心角所对的弧. .设圆的半设圆的半径为径为r,r,则则1 1的圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长l是是_,2_,2的圆心角所对的圆心角所对的弧长的弧长l是是_,4_,4的圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长l是是_，n n的的圆心角所对的弧长圆心角所对的弧长l是是_._.360360r1802 r1804 r180n r1802.2.什么叫扇形？什么叫扇形？答：答：由组成圆心角的两条由组成圆心角的两条_和圆心角所对的和圆心角所对的_所围成的图所围成的图形叫做扇形形叫做扇形. .3.3.扇形的面积：

2、圆的面积可以看作扇形的面积：圆的面积可以看作_度圆心角所对的扇形的度圆心角所对的扇形的面积面积. .设圆的半径为设圆的半径为r,1r,1的圆心角所对的扇形面积的圆心角所对的扇形面积S S扇形扇形 , ,2 2的圆心角所对的扇形面积的圆心角所对的扇形面积S S扇形扇形= ,5= ,5的圆心角所对的扇的圆心角所对的扇形面积形面积S S扇形扇形= ,n= ,n的圆心角所对的扇形面积的圆心角所对的扇形面积S S扇形扇形= .= .半径半径弧弧3603602r36022 r36025 r3602n r360_【点拨点拨】半径一定时半径一定时, ,圆心角越大，弧长和扇形的面积也越大；圆心角越大，弧长和扇形

3、的面积也越大；圆心角一定时圆心角一定时, ,半径越大，弧长和扇形的面积也越大半径越大，弧长和扇形的面积也越大. .【预习思考预习思考】弧长、扇形面积与什么有关？弧长、扇形面积与什么有关？提示：提示：弧长、扇形的面积与所在圆的半径和所对的圆心角有弧长、扇形的面积与所在圆的半径和所对的圆心角有关关 弧长公式的应用弧长公式的应用【例例1 1】如图如图, ,在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=90, ,B=15B=15, ,以以C C为圆心为圆心,CA,CA为半径的圆交为半径的圆交ABAB于于D D点点, ,若若AC=6,AC=6,求弧求弧ADAD的长的长. .【解题探究解题探究】试比较试比较

4、CADCAD与与CDACDA的大小的大小答：答：连结连结CD,AC=CD,AC=CDCD,CADCAD= =CDACDA. .ACDACD为多少度？为多少度？答：答：ACB=90ACB=90,B=15,B=15,CAD=,CAD=7575, ,ACD=ACD=3030 的长度为多少？的长度为多少？答：答：AC=6, AC=6, 的长度的长度= =ADAD3061.80 【互动探究互动探究】利用弧长公式进行有关弧长的计算时应注意什么利用弧长公式进行有关弧长的计算时应注意什么问题？问题？提示：提示：弧长公式弧长公式 中中,n,n是表示是表示“1 1”的倍数的倍数, ,它和它和“180180”都不带

5、都不带单位单位；已知；已知l,n,r,n,r中的任意两个量中的任意两个量, ,都可以求出都可以求出第三个量第三个量n r180l【规律总结规律总结】求弧长求弧长“三步法三步法”1.1.求弧所对圆心角的度数；求弧所对圆心角的度数；2.2.求弧所在圆的半径；求弧所在圆的半径；3.3.依据弧长公式求出弧长依据弧长公式求出弧长【跟踪训练跟踪训练】1.(20121.(2012湛江中考湛江中考) )一个扇形的圆心角为一个扇形的圆心角为6060，它所对的弧长，它所对的弧长为为2 cm2 cm，则这个扇形的半径为，则这个扇形的半径为( )( )(A)6 cm (B)12 cm (C) (D)(A)6 cm (

6、B)12 cm (C) (D)【解析解析】选选A.A.由扇形的圆心角为由扇形的圆心角为6060，它所对的弧长为，它所对的弧长为2cm,2cm,即即n=60n=60，l=2=2，根据弧长公式根据弧长公式2 3 cm6 cmn R60 R2,R6 cm.180180 ，得即l2.(20112.(2011淮安中考淮安中考) )在半径为在半径为6 cm6 cm的圆中的圆中,60,60的圆心角所对的的圆心角所对的弧长等于弧长等于_._.【解析解析】方法一：直接利用弧长计算公式：方法一：直接利用弧长计算公式：方法二：圆心角为方法二：圆心角为6060, ,所以圆心角所夹的扇形为圆的所以圆心角所夹的扇形为圆的

7、 , ,因此因此弧长为圆周长的弧长为圆周长的 , ,即即答案：答案：2cm2cmn r60 62 (cm).180180 l1616112 r262(cm)66 3.3.制造弯形管道时制造弯形管道时, ,要先按中心线计算要先按中心线计算“展直长度展直长度”, ,再下料再下料, ,试试计算如图所示管道的展直长度计算如图所示管道的展直长度L(L(单位：单位：mm,mm,精确到精确到1 mm)1 mm)【解析解析】由弧长公式由弧长公式, ,可得弧可得弧ABAB的长的长 =5001 570(mm)=5001 570(mm)因此所要求的展直长度因此所要求的展直长度 L=2L=2700+1 570=2 9

8、70(mm)700+1 570=2 970(mm)答：答：管道的展直长度为管道的展直长度为2 970 mm.2 970 mm.100900180l 扇形面积的计算扇形面积的计算【例例2 2】(8(8分分)(2012)(2012宜宾中考宜宾中考) )如图，如图，ABCABC和和ABDABD都是都是O O的内接三角形，的内接三角形，圆心圆心O O在边在边ABAB上，边上，边ADAD分别与分别与BCBC，OCOC交交于于E E，F F两点，点两点，点C C为为 的中点的中点. .(1)(1)求证求证:OFBD:OFBD；(2)(2)若若 ，且，且O O的半径的半径R=6 cm.R=6 cm.求证求证

9、: :点点F F为线段为线段OCOC的中点的中点; ;求圆中阴影部分求圆中阴影部分( (弓形弓形) )的面积的面积. .ADEF1ED2【规范解答规范解答】(1)OC(1)OC为半径为半径, ,点点C C为为 的中点的中点, ,OCOCAD.AD.1 1分分ABAB为直径，为直径，BDA=BDA=9090，BDBDADAD，OFOFBD.BD.2 2分分(2)(2)OO为为ABAB的中点，的中点，OFBD,OFBD,FF为为ADAD的中点的中点, ,FO= .FO= .3 3分分AD1BD2FCBD,FCE=FCBD,FCE=DBEDBE. .FEC=DEB,FEC=DEB,ECFECFEBD

10、EBD4 4分分 5 5分分FC=FOFC=FO，即点，即点F F为为COCO的中点的中点. .6 6分分FC=FOFC=FO，OCADOCAD，ACAC= =AOAO. .又又AO=CO,AO=CO,AOCAOC为为等边等边三角形三角形. .7 7分分S S阴阴= = 8 8分分11BD2CFEF,FCBDE2,D22606136 669 3(cm )32.602 【互动探究互动探究】比较扇形面积公式和弧长公式比较扇形面积公式和弧长公式, ,如何用弧长如何用弧长l表示表示扇形的面积？扇形的面积？提示：提示：2n rn r1 n r1,S,Srr.1803602 1802扇形扇形ll【规律总结

11、规律总结】利用扇形面积公式的两点注意利用扇形面积公式的两点注意1.1.公式中的公式中的n n与与180180不带单位；不带单位；2.2.已知半径和圆心角求扇形面积时已知半径和圆心角求扇形面积时, ,通常选用公式通常选用公式已知半径和弧长时已知半径和弧长时, ,一般采用公式一般采用公式S S扇形扇形= = lr r2n rS360扇形；12【跟踪训练跟踪训练】4.(20124.(2012天门中考天门中考) )如图，直径如图，直径ABAB为为6 6的的半圆，绕半圆，绕A A点逆时针旋转点逆时针旋转6060，此时点，此时点B B到到了点了点BB，则图中阴影部分的面积是，则图中阴影部分的面积是( )(

12、 )(A)3 (B)6(A)3 (B)6(C)5 (D)4(C)5 (D)4【解析解析】选选B.B.由图可得，阴影部分的面积即为扇形由图可得，阴影部分的面积即为扇形BABBAB的面的面积，所以图中阴影部分的面积是积，所以图中阴影部分的面积是26066 .360 5.5.如图如图, ,水平放着的圆柱形排水管的截面半径是水平放着的圆柱形排水管的截面半径是12 cm,12 cm,其中水面其中水面高度为高度为6 cm,6 cm,求截面上有水的弓形面积求截面上有水的弓形面积. .【解析解析】连结连结OA,OB.OA,OB.OE=OC-CE=12-6=6 (cm),OE=OC-CE=12-6=6 (cm)

13、,在直角在直角AOEAOE中中, ,OA=12 cm,OE=6 cm,OAE=30OA=12 cm,OE=6 cm,OAE=30, ,AE=OAAE=OAcos 30cos 30= (cm).= (cm).AOB=2AOE=120AOB=2AOE=120,AB=2AE= cm.,AB=2AE= cm.扇形扇形AOBAOB的面积为的面积为 =48(cm=48(cm2) )AOBAOB的面积为的面积为则阴影部分的面积为则阴影部分的面积为6 312 32120123602(4836 3) cm .211AB OE12 3636 3(cm )22【变式备选变式备选】如图如图, ,水平放着的圆柱形排水管

14、的截面直径为水平放着的圆柱形排水管的截面直径为1 000 mm,1 000 mm,其中水面宽其中水面宽AB=800 mm,AB=800 mm,则水的最大深度为则水的最大深度为_mm._mm.【解析解析】过过O O点作点作OCAB,COCAB,C为垂足为垂足, ,交交O O于于D,D,连结连结OA,OA,如图所示如图所示. .由题意知由题意知OA=OD=500 mm,AB=800 mm,OA=OD=500 mm,AB=800 mm,OCAB,AC=BC=400 mm,OCAB,AC=BC=400 mm,在在RtRtAOCAOC中中,OA,OA2=AC=AC2+OC+OC2, ,CD=OC+OD=

15、800(mm),CD=OC+OD=800(mm),即水的最大深度为即水的最大深度为800 mm.800 mm.答案答案: :80080022OCOAAC22500400300,1.(20121.(2012珠海中考珠海中考) )如果一个扇形的半径是如果一个扇形的半径是1 1，弧长是，弧长是 ，那么，那么此扇形的圆心角的大小为此扇形的圆心角的大小为( )( )(A)30(A)30 (B)45 (B)45 (C)60 (C)60 (D)90 (D)90【解析解析】选选C.C.根据弧长公式根据弧长公式 可得可得 解得解得n=60.n=60.3n r180，ln 13180，2.(20122.(2012

16、黄石中考黄石中考) )如图所示，扇形如图所示，扇形AOBAOB的圆心角为的圆心角为120120，半径为，半径为2 2，则，则图中阴影部分的面积为图中阴影部分的面积为( )( )(A) (B) (A) (B) (C) (D)(C) (D)43342 33433243【解析解析】选选A.A.作作OCAB, OCAB, AOB=120AOB=120，OAB=30OAB=30. .OA=2,OC=1,AC= OA=2,OC=1,AC= 即即AB=AB=阴影部分的面积为阴影部分的面积为3,2 3.21202142 3 13.36023 3.(20123.(2012绵阳中考绵阳中考) )如图，正方形的边长

17、为如图，正方形的边长为2 2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为中阴影部分的面积为_.(_.(结果保留两位结果保留两位有效数字，参考数据：有效数字，参考数据：=3.14)=3.14)【解析解析】阴影部分的面积阴影部分的面积= =正方形的面积正方形的面积-(4-(4 1 12-2-22) )=4-2+4=8-6.281.7=4-2+4=8-6.281.7答案：答案：1.71.7124.(20114.(2011乌兰察布中考乌兰察布中考) )如图如图, ,在在RtRtABCABC中中,ABC=90,ABC=90, AB=8 cm , BC=6 c

18、m , , AB=8 cm , BC=6 cm , 分别以分别以A,CA,C为圆心为圆心, ,以以 的长为半径作圆的长为半径作圆, , 将将 RtRtABCABC截去两个扇形截去两个扇形, ,则剩余则剩余( (阴影阴影) )部分的面积为部分的面积为_cm_cm2( (结果保留结果保留)AC2【解析解析】阴影部分的面积等于阴影部分的面积等于RtRtABCABC的面积减去以的面积减去以A A，C C为圆心为圆心的两个扇形的面积的两个扇形的面积, ,两个扇形的圆心角之和等于两个扇形的圆心角之和等于9090, ,由勾股定由勾股定理得理得AC=10 cm,AC=10 cm,半径为半径为5 cm. S5

19、cm. S阴影阴影= =答案：答案：21905256 824.23604 25(24)45.5.如图，两个同心圆的半径所截得的弧长如图，两个同心圆的半径所截得的弧长AB=6 cm,AB=6 cm,弧长弧长CD=10 cm,CD=10 cm,且且AC=12 cm.AC=12 cm.(1)(1)求两圆的半径长求两圆的半径长(2)(2)阴影部分的面积是多少？阴影部分的面积是多少？【解析解析】(1)(1)设设OA=r,OA=r,则则OC=r+12,OC=r+12,扇形的圆心角是扇形的圆心角是n n度度. .根据题意得：根据题意得：解得：解得：n=60,r=18(cm),n=60,r=18(cm),r+12=30(cm)r+12=30(cm)，即两圆的半径长分别是，即两圆的半径长分别是18 cm,30 cm18 cm,30 cm；(2)(2)阴影部分的面积是阴影部分的面积是n rn (r12)6 ,10 .180180 22260(3018 )96 (cm ).360