云南省绿春县大水沟中学八年级数学下册第17章勾股定理课件新人教版.ppt

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1、探究1 毕达哥拉斯毕达哥拉斯( (公元前公元前572-572-前前492492年年),),古希腊古希腊著名的哲学家、著名的哲学家、数学家、天文学数学家、天文学家。家。1.你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？2.你能用三角形的边长表示正方形的面积吗你能用三角形的边长表示正方形的面积吗?3.你能发现图中的你能发现图中的直角三角形三边长直角三角形三边长度之间存在什么关度之间存在什么关系吗系吗?结论：结论： 以等腰直角三角形的两直角边以等腰直角三角形的两直角边为边长的小正方形的面积的和，等为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积于以斜边

2、为边长的正方形的面积. .即：即：等腰直角三角形的两直角边的等腰直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方平方和等于斜边的平方A AB BC Ca ac cb bS Sa a+S+Sb b=S=Sc c设：直角三角形的三边长分别是设：直角三角形的三边长分别是a、b、c猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2成立吗？成立吗？成立吗？成立吗？动手画：动手画： 用尺规作直角三角形用尺规作直角三角形ABC，使，使 C=90=90，AC=3cmBC=4cm 动手动手量量: : 这个直角三角形的斜边长是多少这个直角三角形的斜边长是多少

3、? ?动手动手算算: : 3、4、5各自的平方有什么关系各自的平方有什么关系? ?动脑猜：动脑猜：任意直角三角形的两直角边的平方和都等于任意直角三角形的两直角边的平方和都等于斜边的平方吗斜边的平方吗? ?222345 （5cm）勾股定理勾股定理: : 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为斜边为c，那么，那么 a2+b2=c2 abc勾勾股股勾勾股股弦弦 我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾

4、股定理勾股定理. .辉煌发现辉煌发现在西方国家叫毕达哥拉斯定理或百在西方国家叫毕达哥拉斯定理或百牛定理，据说毕达哥拉斯学派证明了牛定理，据说毕达哥拉斯学派证明了勾股定理，他们举行了一次空前规模勾股定理，他们举行了一次空前规模的庆祝活动，宰杀了一百头牛。的庆祝活动，宰杀了一百头牛。我国是最早了解勾股定理的国家之我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝的数学家一，早在三千多年前，周朝的数学家商高就提出了商高就提出了“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，比西方毕达哥拉斯发现勾股定理早五比西方毕达哥拉斯发现勾股定理早五百多年百多年。 假如我们一旦和外星人见面，该使假如我们一旦和外星人见面

5、，该使用什么语言呢？使用用什么语言呢？使用“符号语言符号语言”与外与外星人联系是最经济和最有效的，外星人星人联系是最经济和最有效的，外星人也最可能使用这种语言也最可能使用这种语言, ,并且最可能是并且最可能是数学语言。中国数学家华罗庚认为，我数学语言。中国数学家华罗庚认为，我们可以用这个图形作为与外星人交谈的们可以用这个图形作为与外星人交谈的媒介。因为这种自然图形所具备的媒介。因为这种自然图形所具备的“数数形关系形关系”在整个宇宙中是普遍的。在整个宇宙中是普遍的。勾股定理勾股定理勾股定理（勾股定理（gou-gugou-gu theorem) theorem)如果直角三角形两直角边分别为如果直角

6、三角形两直角边分别为a、b, 斜边为斜边为c，那么，那么 a2+b2=c2 abc勾勾股股弦弦！cab1、拿出准备好的四个完全相同的直角三角、拿出准备好的四个完全相同的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为斜边为c）；）；2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形 吗？拼一拼试试看吗？拼一拼试试看3、你拼的正方形中是否含有以、你拼的正方形中是否含有以c为边为边的正方形？的正方形？4、你能否就你拼出的图说明、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？cabcabcabcab c2= b2-2ab+a2+ 2ab

7、 = a2+b2 a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为c221()42baab 证明证明1：abab214)(2cabcabcabcab (a+b)2 = a2+2ab+b2 = 2ab +c2a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为(a+b)224abC2证明证明2：24abC2 若直角三角形的两条边长为若直角三角形的两条边长为6cm、8cm8cm，则第三边长一定为，则第三边长一定为10cm.( )10cm.( ) 判断正误判断正误 :68681 .1 .求下列图中表示边的未知数求下列

8、图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值. .8181144144y yz z14414416916935试一试试一试:225254X2 . 直角三角形的两直角边为直角三角形的两直角边为5、12，则三角形的周长为，则三角形的周长为 .3 .在在ABC中中,C=90,如果如果c=10, a=6，那么，那么ABC的的 面积为面积为 _.3024 5. 如图，根据以下数学情境，你可以提出多少个数如图，根据以下数学情境，你可以提出多少个数学问题？你能解决所提出的问题吗？学问题？你能解决所提出的问题吗？35x6. 若正方形的面积为若正方形的面积为2cm2， 则它的对角线长是则它的对角线长是 .4

9、 .在在 ABC中中, C=90, (1)若若a=5,b=12,则则c=_. (2)若若a=15,c=25,则则b=_. (3)若若c=17,b=15,则则a=_. (4)若若a:b=3:4,c=10,则则a=_,b=_.13208682我们有我们有:46b=58a=4658cc2=a2+b2 =462+582 =5480 而而742=5476由勾股定理得：由勾股定理得：小明的妈妈买了一部小明的妈妈买了一部29英寸（约英寸（约74厘厘米）的电视机。小明量了电视机的屏米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有幕后，发现屏幕只有58厘米长和厘米长和46厘厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。米

10、宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？什么吗？想一想想一想:荧屏对角线大约荧屏对角线大约为为74厘米厘米售货员没搞错售货员没搞错2 2、在波平如静的湖面上在波平如静的湖面上, ,有一朵美丽的红莲有一朵美丽的红莲 , ,它高它高出水面出水面1 1米米 , ,一阵大风吹过一阵大风吹过, ,红莲被吹至一边红莲被吹至一边, ,花朵花朵齐及水面齐及水面, ,如果知道红莲移动的水平距离为如果知道红莲移动的水平距离为2 2米米 , ,问问这里水深多少这里水深多少? ?x+1x+1B BC CA AH H1 12 2? ?x xx x2 2+2+

11、22 2=(x+1)=(x+1)2 2 回归生活回归生活之学以致用学以致用谈谈你的收获！谈谈你的收获！ .这节课你的收获是什么？.理解“勾股定理”应该注 意什么问题？.你觉得“勾股定理” 有用吗？ 要养成用数学的思维去解读世界的习惯。 只有不断的思考，才会有新的发现；只有量的变化，才会有质的进步。 其实数学在我们的生活中无处不在, 只要你是个有心人,就一定会发现在我们的身边,我们的眼前, 还有很多象 “勾股定理”那样的知识等待我们去探索，等待我们去发现教师寄语教师寄语 1.1.完成课本完成课本P4P4习题、习题、2 2、3 3、4 4（必做）（必做） 2.2.课后小实验：如图课后小实验：如图,

12、 ,分别以直角三角形的三分别以直角三角形的三 边为边为直径作三个半圆直径作三个半圆, ,这三个半圆的面积之间有什么关系这三个半圆的面积之间有什么关系? ?为什么为什么? ? （必做）（必做） 3.3.做一棵奇妙的勾股树（选做）做一棵奇妙的勾股树（选做）作业快餐：周髀算经周髀算经 毕达哥拉斯毕达哥拉斯 商高商高 数学史话数学史话勾股圆方图勾股圆方图11美丽的美丽的毕达哥拉斯毕达哥拉斯树树 勾股定理勾股定理千古第一定理千古第一定理 在古代，许多民族发现了这个事实，即直角三角形的三条边长在古代，许多民族发现了这个事实，即直角三角形的三条边长为为a,b,c，则，则 ，其中，其中 a,b是直角边长，是直

13、角边长，c是斜边长，我是斜边长，我国的算术国的算术周髀算经周髀算经中，就有勾股定理的记载，为了纪念我国古中，就有勾股定理的记载，为了纪念我国古人的伟大成就，就把这个定理命名为人的伟大成就，就把这个定理命名为“勾股定理勾股定理”或或“商高定理商高定理”，在，在西方，被称为西方，被称为“毕达哥拉斯毕达哥拉斯”定理或定理或“百牛百牛”定理。不管怎么说，勾股定理。不管怎么说，勾股定理都是数学中的伟大定理，它给人们的巨大力量可说是难以估量，定理都是数学中的伟大定理，它给人们的巨大力量可说是难以估量，乎所有的生产技术和科学研究都离不开它。它的重要性主要表现在：乎所有的生产技术和科学研究都离不开它。它的重要

14、性主要表现在： （1）勾股定理是联系数学最基本的，也是最原始的两个对象）勾股定理是联系数学最基本的，也是最原始的两个对象数与形的第一定理；数与形的第一定理； （2）勾股定理导致无理数的发现，这就是所谓的第一次数学危机；）勾股定理导致无理数的发现，这就是所谓的第一次数学危机； （3）勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明和推理）勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明和推理的科学；的科学； （4）勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多组数满足）勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多组数满足这个方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导出各这个方程，也是最早得出完

15、整解答的不定方程，它一方面引导出各式各样的不定方程，包括著名的费马大定理，另一方面也为不定方式各样的不定方程，包括著名的费马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。程的解题程序树立了一个范式。222abc如图，一根旗杆如图，一根旗杆在离地面在离地面9米处米处断裂，旗杆顶部断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部落在离旗杆底部12米处。旗杆折米处。旗杆折断之前有多高？断之前有多高？解：设旗杆倒下的解：设旗杆倒下的部分为部分为x米。米。 x2=92 +122 x2= 81+144 x2=225 x =1515+9=24(米米) 答：旗杆折断前有答：旗杆折断前有24米高。米高。 9米米12米米？如

16、图，将长为如图，将长为1010米的梯子米的梯子ACAC斜靠斜靠 在墙上，在墙上，BCBC长为长为6 6米。米。 ABC106(1)求梯子上端求梯子上端A到墙的到墙的底端底端B的距离的距离AB。（2）若梯子下部）若梯子下部C向后向后移动移动2米到米到C1点，那么梯点，那么梯子上部子上部A向下移动了多少向下移动了多少米？米？A1C1 2 巩固提高巩固提高之之灵活运用灵活运用大胆猜想，严谨推理。大胆猜想，严谨推理。勾股定理揭示的是勾股定理揭示的是直直角三角形角三角形三边之间的三边之间的相等关系。相等关系。 定理内容定理内容勾股勾股定理定理定理运用定理运用重要的重要的思想方思想方法及数法及数学思想学思

17、想从特殊从特殊到一般、到一般、数形结数形结合思想合思想 追溯历史追溯历史 用图用图2验证勾股定理的方法，据验证勾股定理的方法，据载最早是载最早是 三国时期数学家赵爽在三国时期数学家赵爽在为为周髀算经周髀算经作注时给出的，我作注时给出的，我国历史上将图国历史上将图2弦上的正方形称为弦上的正方形称为弦图弦图 。 2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标 的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就 ，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！国内调查组报告、如图、如图, ,一个高一个高3 3 米米, ,宽宽4 4 米的大门米的大门, ,需在相需在相

18、对角的顶点间加一个加固木条对角的顶点间加一个加固木条, ,则木条的长为则木条的长为 ( )( )A.3 A.3 米米 B.4 B.4 米米 C.5C.5米米 D.6D.6米米CCBA 基础练习基础练习之之出谋划策出谋划策abcbacS梯形ABCD=12a+b 2=12(a2+2ab+b2)又 S梯形ABCD=SAED+SEBC+SCED=12ab+12ba+12c2=12(2ab+c2)2=a2+b2ABCDE 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”证明证明3：你能只用这两个你能只用这两个直角三角形直角

19、三角形说明说明a2+b2=c2吗？吗？AB901604040C解：解： 过过A作铅垂线，过作铅垂线，过B作水平线，两线交于点作水平线，两线交于点C，则，则ACB=90，AC=90-40=50（mm）BC=160-40=120（mm)由勾股定理有：由勾股定理有：AB2=AC2+BC2=502+1202 =16900（mm2)AB0,AB=130(mm)答：两孔中心答：两孔中心A，B的距离为的距离为130mm.4.应用知识应用知识之学海无涯学海无涯 同学们，在我们美丽的地球王国上，原始森林，参天古树带给我们神秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给我们以美的享受。你知道吗？在古老的数学王国，有一种树木它很

20、奇妙，生长速度大的惊人，它是什么呢？下面让我们带着这个疑问一同到数学王国去欣赏吧！勾股树1 勾股树2做一做做一做 分别以分别以5厘米、厘米、12厘米为直角三角形的直厘米为直角三角形的直角边做出一个直角三角角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度形，并测量斜边的长度.前面得到的规律对这个三角形还成立吗？前面得到的规律对这个三角形还成立吗？赵爽赵爽东汉至三国时东汉至三国时代吴国人代吴国人为为周髀算经周髀算经作注，并著有作注，并著有勾股圆方图勾股圆方图说说 欧几里得欧几里得（Euclid of Alexandria; 约约 325 B.C. 约约 265 B.C.） 欧几里的欧几里的的的几何几何原本

21、原本是用公理方法建立是用公理方法建立演绎演绎数学体系的最早典范数学体系的最早典范 几几何原本第一卷的何原本第一卷的第第 47 命題命題也有对勾股定也有对勾股定理的证明。理的证明。毕达哥拉斯 在国外，相传勾股在国外，相传勾股定理是公元前定理是公元前500多年多年时古希腊数学家毕达哥时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因此拉斯首先发现的。因此又称此定理为又称此定理为“毕达哥毕达哥拉斯定理拉斯定理”。法国和比。法国和比利时称它为利时称它为“驴桥定驴桥定理理”，埃及称它为，埃及称它为“埃埃及三角形及三角形”等。但他们等。但他们发现的时间都比我国要发现的时间都比我国要迟得多。迟得多。 20022002年

22、国际数学家大会会标年国际数学家大会会标（二）自主探索一（二）自主探索一A的面的面积积(单位单位面积面积)B的面积的面积(单位单位面积面积)C的面的面积积(单位单位面积面积)图图1图图2图图3 A、B、C 面积面积关系关系1124489918SA+SB=SCa2+b2=c2请你数一数图中正方形A、B、C各占多少个小格子？完成表格，探究规律。 （求面积的不同方法见flash)图图1 1图图2 2图图3 3直角三直角三角形三角形三边数量边数量关系关系a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 直角三角形直角三角形两直角边的两直角边的平方和平方和等于等于斜边的斜边的平方平方. .勾勾股

23、股弦弦 勾股定理勾股定理:(gou-gu theorem)人类最伟大的十个科学发现之一人类最伟大的十个科学发现之一 . 相传两千多年前，古希腊著名的数学家毕达哥相传两千多年前，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来。原来，朋友家的地是用一块块直角三角形起呆来。原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。主人形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，看到

24、毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了。原来，他发现了地砖上的三个大笑着跑回家去了。原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系。正方形存在某种数学关系。数学小故事数学小故事 图1(1)ACBacb图1(2) 1.在图1(2)中， ABC是直角三角形， ACB=90 。 （1）如果每个小方格子都是边长为1的正方形，那么Rt ABC的三边AC,BC,AB的长各是多少?以AC,BC,AB为边的三个正方形的面积各是多少？这些面积之间具有怎样的等量关系？ （2）如果这个直角三角形的三边长分别是

25、a，b，c，那么可以怎样用a，b，c把图中三个正方形面积之间的关系表示出来呢？ 2.图2（1）是用大小相同的两种颜色的正方形瓷 砖铺成的地面。 （1）图2（1）中用白色框标出的三个正方形，他们的面积之间具有怎样的等量关系？图2（1）ABC图2（2） （2）根据图2（2），你能说出正方形面积之间的等量关系反映了Rt ABC三边之间怎样的关系吗？把它写出来。探究1 毕达哥拉斯毕达哥拉斯( (公元前公元前572-572-前前492492年年),),古希腊古希腊著名的哲学家、著名的哲学家、数学家、天文学数学家、天文学家。家。相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面

26、中反映了直角三角形三边的直角三角形三边的某种数量关系某种数量关系注意观察，你有什么发现？ 探究活动一：探究活动一： 观察下面地板砖示意图：观察下面地板砖示意图：探索发现勾股定理 观察这三观察这三个正方形个正方形 你发现图中三个正方形的面积之间你发现图中三个正方形的面积之间存在什么关系吗？存在什么关系吗？活动活动 3 看左边的图案，这个图案是看左边的图案，这个图案是公元公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注世纪我国汉代的赵爽在注解解周髀算经周髀算经时给出的，人们时给出的，人们称它为称它为“赵爽弦图赵爽弦图”赵爽根据赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一

27、个大形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正正方形，中间的部分是一个小正方形方形 （黄色）（黄色）224()42SSSabcb a 大大正正方方形形小小正正方方形形直直角角三三角角形形化简得：化简得： c2 =a2+ b2“赵爽弦图赵爽弦图”表现了我国古人对表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。正因为是我国古代数学的骄傲。正因为此，这个图案被选为此，这个图案被选为2002年在北年在北京召开的国际数学家大会的会徽。京召开的国际数学家大会的会徽。这就是本届大会这就是本届大会会徽的图案会徽的图案 这个图案是我国汉代数学这个图案是

28、我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为的，被称为“赵爽弦图赵爽弦图”探究活动一：探究活动一： 观察下面地板砖示意图：观察下面地板砖示意图：观察这三观察这三个正方形个正方形 你发现图中三个正方形的面积之间你发现图中三个正方形的面积之间存在什么关系吗？存在什么关系吗？探究探究1 1S1+S2=S3ABCDEFGNMABCNMDGFES3S1S2问题1：三个正方形的面积 有什么关系？321SSS、换个角度来看呢？换个角度来看呢？结论1 以等腰直角三角形两直角以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形

29、的面积于以斜边为边长的正方形的面积. .你发现了什么？你发现了什么？ 在准备好的方格纸上，分别画三个顶点在准备好的方格纸上，分别画三个顶点都在格点上且两直角边分别为都在格点上且两直角边分别为6 6和和8,58,5和和12,912,9和和1212的直角三角形的直角三角形, ,并测量出这三个直角三角并测量出这三个直角三角形的斜边长形的斜边长, ,然后验证你的猜想！然后验证你的猜想！a b c1 6 82 5123 912151310？，cba何给出一般说明呢那么又该如样的关系这可见存在2222c22ba 225100169225169100a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方. .勾勾股股弦弦 命题：命题：ABC图11（1）观察图）观察图11：正方形正方形A中含有中含有 个小个小方格，即方格，即A的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；正方形正方形B中含有中含有 个小个小方格，即方格，即B的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；正方形正方形C中含有中含有 个小个小方格，即方格，即C的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；99991818A的面积的面积+ B的面积的面积= C的面积的面积