2001年全国高中数学联赛试卷及答案(共13页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上二一年全国高中数学联合竞赛题（10月4日上午8：009：40）题号一二三合计加试总成绩131415得分评卷人复核人学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1、已知a为给定的实数，那么集合M=x|x2-3x-a2+2

2、=0,xR的子集的个数为 （A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点； 命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点； 命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点； 以上三个命题中正确的有 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以p为周期、在（0，）上单调递增的偶函数是 （A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx|4、如果满足ABC=60，AC=12，BC=k的ABC恰有一个，那么k的取值范围

3、是 （A）k=8 （B）0k12 （C）2 （D）012或5若（12）1000的展开式为20002000，则3691998的值为（） （A）3333 （B）3666 （C）3999 （D）320016已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（） （A）2枝玫瑰价格高 （B）3枝康乃馨价格高 （C）价格相同 （D）不确定二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7椭圆1（2）的短轴长等于_8、若复数z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=-I,则z1z2= 。9、正方体ABCDA1B1C

4、1D1的棱长为1 ，则直线A1C1与BD1的距离是 。10、不等式的解集为 。FABCDE11、函数的值域为 。12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案。二、 解答题（本题满分60分，每小题20分）13、设an为等差数列，bn为等比数列，且，（a1a2）,又，试求an的首项与公差。14、设曲线C1:(a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。（1） 求实数m的取值范围（用a表示）；（2） O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0aa2a3a4a5a6）的电阻组

5、装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。二一年全国高中数学联合竞赛加试试题（10月4日上午10：0012：00）学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。一、（本题满分50分）如图：ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求证：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。二、（本题满分50分）设xi0(I=1,2,3,n)且，求的最大值与最小值。三、（本题满分50分）将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正

6、整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一选择题：CBDDCA1.已知a为给定的实数，那么集合320，的子集的个数为（）124不确定讲解：M表示方程320在实数范围内的解集由于140，所以含有2个元素故集合有24个子集，选2命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点以上三个命题中正确的有（）0个1个2个3个讲解：由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确对于命题2和命题3，一般的长方体（除正方体外）中不

7、存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点因此，本题只有命题1正确，选3在四个函数、中，以为周期、在（0，2）上单调递增的偶函数是（）讲解：可考虑用排除法不是周期函数（可通过作图判断），排除；的最小正周期为2，且在（0，2）上是减函数，排除；在（0，2）上是减函数，排除故应选4如果满足60，12，的恰有一个，那么的取值范围是（） 01212 012或讲解：这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，应选结论说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除、5若（12）1000的展开式为20002000，则3691998的值为（）33

8、333666399932001讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法取（12）（2），则1，10令1，得310002000；令，得01220002000；令，得020004000三个式子相加得310003（1998）19983999，选6已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（）2枝玫瑰价格高3枝康乃馨价格高 价格相同 不确定讲解：这是一个大小比较问题可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为元、元，则由题设得，问题转化为在条件、的约束下，比较2与3的大小有以下两种解法：

9、解法1：为了整体地使用条件、，令63，45，联立解得（53）18，（32）923（1112）924，22，111211241222023，选图1解法2：由不等式、及0、0组成的平面区域如图1中的阴影部分（不含边界）令232，则表示直线：232在轴上的截距显然，当过点（3，2）时，2有最小值为0故230，即23，选说明：（1）本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题：已知函数（）满足：4（1）1，1（2）5，那么（3）应满足（）7（3）264（3）151（3）20283（3）353（2）如果由条件、先分别求出、的范围，再由2的范围得结论，容易出错上面的解法1运用了整体的思想，解法2则直

10、观可靠，详见文1二填空题7 8 9 10 11 12 732 7椭圆1（2）的短轴长等于_讲解：若注意到极点在椭圆的左焦点，可利用特殊值法；若注意到离心率和焦参数（焦点到相应准线的距离）的几何意义，本题也可以直接求短半轴的长解法1：由得23，从而，故2解法2：由12，21及222，得从而2说明：这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题8若复数、满足2，3，32（32），则_讲解：参考答案给出的解法技巧性较强，根据问题的特点，用复数的三角形式似乎更符合学生的思维特点，而且也不繁令2（），3（），则由32（32）及复数相等的充要条件，得即二式相除，得（）2）32由万能公式，得（）1213，（）51

11、3故6（）（） （3013）（7213）说明：本题也可以利用复数的几何意义解9正方体1的棱长为1，则直线与的距离是_讲解：这是一道求两条异面直线距离的问题，解法较多，下面给出一种基本的解法图2为了保证所作出的表示距离的线段与和都垂直，不妨先将其中一条直线置于另一条直线的垂面内为此，作正方体的对角面，则面，且面设0，在面内作，垂足为，则线段的长为异面直线与的距离在中，等于斜边上高的一半，即610不等式（112）232的解集为_讲解：从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得122，或27120，或120从而4，或1227，或0111函数的值域为_讲解：先平方去掉根号由题设得（）32，则（2）（23

12、）由，得（2）（23）解得132，或2由于能达到下界0，所以函数的值域为1，32）2，）说明：（1）参考答案在求得132或2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要（2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试图312在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有4种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案讲解：为了叙述方便起见，我们给六块区域依次标上字母、按间隔三块、种植植物的种数，分以下三类（1）若、种同一种植物，有4种种法当、种植后，、可从剩余的三种植物中各选一种植物（允许重复），各有3种方法此时共有4333108种

13、方法（2）若、种二种植物，有2种种法当、种好后，若、种同一种，则有3种方法，、各有2种方法；若、或、种同一种，相同（只是次序不同）此时共有3（322）432种方法（3）若、种三种植物，有种种法这时、各有2种种方法此时共有222192种方法根据加法原理，总共有108432192732种栽种方案说明：本题是一个环形排列问题三解答题13设所求公差为d，a1a2，d0由此得 化简得： 解得： 5分而，故a10 若，则 若，则 10分 但存在，故| q |1，于是不可能 从而 所以 20分14解：(1)由 消去y得： 设，问题(1)化为方程在x(a，a)上有唯一解或等根 只需讨论以下三种情况： 10得：

14、，此时xpa2，当且仅当aa2a，即0a1时适合； 2f (a)f (a)0，当且仅当ama； 3f (a)0得ma，此时xpa2a2，当且仅当aa2a2a，即0a1时适合 f (a)0得ma，此时xpa2a2，由于a2a2a，从而ma 综上可知，当0a1时，或ama； 当a1时，ama 10分(2)OAP的面积 0a，故ama时，0a， 由唯一性得 显然当ma时，xp取值最小由于xp0，从而yp取值最大，此时， 当时，xpa2，yp，此时 下面比较与的大小： 令，得 故当0a时，此时 当时，此时 20分15解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为RFG，当R ia i，i3，4，5，6，R1

15、、R2是a1、a2的任意排列时，RFG最小 5分证明如下： 1设当两个电阻R1、R2并联时，所得组件阻值为R，则故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1R22设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB 显然R1R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的个3设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD 若记 ，则S1、S2为定值，于是 只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4R3，R3R2，R3Rl，即得总电阻的阻值最小 15分4对于图3把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替要使RFG最小，由

16、3必需使R6R5；且由1应使RCE最小由2知要使RCE最小，必需使R5R4，且应使RCD最小 而由3，要使RCD最小，应使R4R3R2且R4R3R1， 这就说明，要证结论成立20分2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准一证明：(1)A、C、D、F四点共圆 BDFBAC 又OBC(180BOC)90BAC OBDF(2)CFMA MC 2MH 2AC 2AH 2 BENA NB 2NH 2AB 2AH 2 DABC BD 2CD 2BA 2AC 2 OBDF BN 2BD 2ON 2OD 2 OCDE CM 2CD 2OM 2OD 2 30分 ，得 NH 2MH 2ON 2OM 2

17、 MO 2MH 2NO 2NH 2 OHMN 50分另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系， 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则 直线AC的方程为，直线BE的方程为 由 得E点坐标为E() 同理可得F() 直线AC的垂直平分线方程为 直线BC的垂直平分线方程为 由 得O() OBDF 同理可证OCDE在直线BE的方程中令x0得H(0，) 直线DF的方程为 由 得N () 同理可得M () kOH kMN 1，OHMN二解：先求最小值，因为1等号成立当且仅当存在i使得xi1，xj0，ji 最小值为1 10分再求最大值，令 设， 令 则 30分 令0，则 由柯西不等式得：

18、等号成立 (k=1，2，n) 由于a1a2an，从而，即xk0 所求最大值为 50分三解：记所求最小值为f (m，n)，可义证明f (m，n)rnn(m，n) (*) 其中(m，n) 表示m和n的最大公约数 10分 事实上，不妨没mn (1)关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rnn(m，n) 当用m1时，命题显然成立AA1BCD1Dmn 假设当，mk时，结论成立(k1)当mk1时，若nk1，则命题显然成立若nk1，从矩形ABCD中切去正方形AA1D1D(如图)，由归纳假设矩形A1BCD1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为mnn(mn，n)m(m，n)，于是原

19、矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为rnn(m，n) 20分 (2)关于m归纳可以证明(*)成立 当m1时，由于n1，显然f (m，n)rnn(m，n) 假设当mk时，对任意1nm有f (m，n)rnn(m，n) 若mk1，当nk1时显然f (m，n)k1rnn(m，n) 当1nk时，设矩形ABCD按要求分成了p个正方形，其边长分别为al，a2，ap 不妨a1a2ap 显然a1n或a1n 若a1n，则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界)于是a1a2ap不小于AB与CD之和 所以a1a2ap2mrnn(m，n) 若a1n，则一个边长分别为mn和n的矩形可按题目要求分成边长分别为a2，ap的正方形，由归纳假设 a2apmnn(mn，n)rn(m，n) 从而a1a2aprnn(m，n) 于是当rnk1时，f (m，n)rnn(m，n) 再由(1)可知f (m，n)rnn(m，n) 50分专心-专注-专业