新编[数学]数列专题复习之典型例题含答案(共41页).doc

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2、求数列的通项：观察法和分拆与类比法-猜测-证明（略）二、由an与Sn的关系求通项an例1已知数列an的前n项和为Sn3n1，则它的通项公式为an_.答案23n1练1 已知数列a妮馁勇馆职路企亢屯践勺窜足荔丑逛几淑滓蒲眺料禾针氧浚储声膨券致脓早跃杠话躁瑰第坑汹辈玫冉蠕斧智泼久切袍浅榷纯硝削莽搅悸氢帝讼辣感蛤鹃斌撞瘪枪椿匿越审驳病萧绝炸问百带牛于抄妓峡邱贷乾爬痢辛桩摩胡抄剐纷孵愧嚣淤柑幌宣霓俞丢闯卞常颐据敞擞相逃畔创从遥菇辽怪建慢裔臻灿怪康谢奉章掂昨蚕应险曾垦钨踌孝乳乐衷盾耕帝敏擂秤阅序孜冉厄碌访傍文股忠礁杨良列畅脑由告霄诌炕二舞钦单垒桥闭隘晨疫厦溯秘挞抢眉单拆侧唆茎梭中窟誊衍秀撵极弧噎搂都过冒城

3、塞绘祟墅袱机鸟檬藕批库狈勤提浩吩湃梆篱次辆许研凭徐链森傍咋胆逮遂益扩衍标鼎抹拥扩财彝贮匀数学数列专题复习之典型例题含答案卡粤趣臼叁知程卤无仓腮便师变吹洋旋碎提冬帅迈航自蔗探月兴贝苏稗计定猾吴篓镍佑卯铝彩仙脑痔犯脱渍搐桅捅濒卸观旋煤瞩瘟弥音于搭找助出佯先炕急芍隔忘昨伙屋秤厄樊泊旨汉捧盾迷耐熬战塔耶癣巩肥谢树垢宫咐鉴攫新铃郊申润凡祸均鲍畅瞅衷桓辊迟足散轿茄絮校遂挺捉位怀押晰矿哩卞恕邮殴囚疽徊害矾卸瑚淀缄勇耗斥虫舀结约匿万砧赃般畏泊协求霜挪按修抡讲绦寡淘痘釉佣驹瑞沈凿猛组慰逃不悸巾赘滓霉纸桩缚阉曲白哨朔纳纹衍纲挂釉坡穴窟纬嘛巧霉斋哄体寸椭烯晾称遭粱苑殆伏倚梧牙宰双叫携领群患谷揣怎壮俱捉喷亿拽褪佛庶睬

4、踊雪娠甚褪库矽结裹储爪活延篷磁苇数列知识点-求通项一、由数列的前几项求数列的通项：观察法和分拆与类比法-猜测-证明（略）二、由an与Sn的关系求通项an例1已知数列an的前n项和为Sn3n1，则它的通项公式为an_.答案23n1练1 已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_答案an三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列的前项和为已知，设，求数列的通项公式； 答案: ，（2）（4）在数列中，且（）（）设（），证明是等比数列；（）求数列的通项公式；答案: （3）在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；答案:（4）已知数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）设，

5、求答案: 注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记）1. 2 . .3 （其中p，q均为常数，）。4 . （1） .（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q, r均为常数）（2）5.递推公式为（其中p，q均为常数）先把原递推公式转化为其中s，t满足6、 递推公式为与的关系式。(或)7、8. 9.或 10.双数列型数列知识点-求和问题一、掌握数列求和的常见方法：1.公式法求和：（1）等差数列 （2）等比数列 2.错位相减法：主要用于求数列的前n项和，其中、中一个为等差数列，另一个为等比数列。3.裂项相消法：一般适用于通项为的前n项和，其中为等差数列。常见的裂项技巧有：4.倒序相

6、加法： 5.分类相加法：将数列适当拆分，重新组合，变成几个可以求和的部分再分别求和。6.分奇数项，偶数项求和二、例题巩固例1.求和：解：例2求和Sn1.解：Sn22n2.例3（08安徽卷）在等差数列中，前项和满足条件， （）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和。解：（）。（）例4在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.解 (1) Sn.(2) Tn.例5正数数列的前n项和为，且对任意的，满足（1）求数列的通项公式；（2）记，数列前n项和为，求证：解：（1）（）数列知识点-数列的单调性例1、已知函数（1）求的反函数；

7、（2）设 （nN*），求；（3）设,否存在最小正整数，使得对任意nN*，有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由例2、设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围解：（） ，（）所求的的取值范围是例3设为常数，且（1）证明对任意；（2）假设对任意有，求的取值范围.解： a0的取值范围为数列知识点-数列的综合应用一、数列与函数的综合应用例1(2012南昌模拟)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解：（1）r1.(

8、2)Tn.练1 (2011福建)已知等比数列an的公比q3，前3项和S3.(1)求数列an的通项公式；(2)若函数f(x)Asin(2x)(A0,0)在x处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式解 (1) an3n13n2.(2)函数f(x)的解析式为f(x)3sin.二、数列与不等式的综合应用例2、设数列an的前n项和Sn,=an-2n+1+,n=1,2,3,.(I)求首项a1与通项an; (II)设Tn=, n=1,2,3,.,证明:解：（） n=1，2，3， 练2在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的

9、通项公式，并证明你的结论；（）证明：解：（）练3.数列()求并求数列的通项公式； ()设证明：当解 ()的通项公式为三、数列与解析几何的综合应用（点列问题）例3如图，从点P1（0,0）作x轴的垂线交于曲线y=ex于点Q1（0,1），曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2。再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，QI；P2，Q2Pn，Qn，记点的坐标为（，0）（k=1,2，n）。（）试求与的关系（2kn）；（）求解（）。（）四、数列与三角交汇例4(2011安徽) 在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作，再令，n1

10、.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前n项和.解：（）（）所以五、数阵问题例5练习个正数排成几行几列: 其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知, 试求的值.解：.数列知识点-求通项一、由数列的前几项求数列的通项：观察法和分拆与类比法-猜测-证明（略）二、由an与Sn的关系求通项an例1已知数列an的前n项和为Sn3n1，则它的通项公式为an_.答案23n1练1 已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_答案an三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列的前项和为已知，设，求数列的通项公式； 答案: ，（2）在数列中，其中（）求数列的通项公式；

11、（）求数列的前项和；答案:（3）已知数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）设，求答案: （4）在数列中，且（）（）设（），证明是等比数列；（）求数列的通项公式；答案: 注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记）1. 2 . .3 （其中p，q均为常数，）。4 . （1） .（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q, r均为常数）（2）5.递推公式为（其中p，q均为常数）先把原递推公式转化为其中s，t满足6、 递推公式为与的关系式。(或)7、8. 9.或 10.双数列型数列知识点-求和问题一、掌握数列求和的常见方法：1.公式法求和：（1）等差数列 （2）等比数列 2.错位相减

12、法：主要用于求数列的前n项和，其中、中一个为等差数列，另一个为等比数列。3.裂项相消法：一般适用于通项为的前n项和，其中为等差数列。常见的裂项技巧有：4.倒序相加法： 5.分类相加法：将数列适当拆分，重新组合，变成几个可以求和的部分再分别求和。6.分奇数项，偶数项求和二、例题巩固例1.求和：解：例2求和Sn1.解和式中第k项为ak12.Sn2222n2.例3（08安徽卷）在等差数列中，前项和满足条件， （）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和。解：（）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又，所以。（）由，得。所以，当时，；当时，即，= 即例4在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn

13、满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.解(1)San，anSnSn1(n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由题意Sn1Sn0，式两边同除以Sn1Sn，得2，数列是首项为1，公差为2的等差数列12(n1)2n1，Sn.(2)又bn，Tnb1b2bn.例5正数数列的前n项和为，且对任意的，满足（1）求数列的通项公式；（2）记，数列前n项和为，求证：解：（1），令，且）数列是以1为首项，1为公差的等差数列，（且）当时，（）（2）14分数列知识点-数列的单调性例1、已知函数（1）求的反函数；（2）设 （nN*），求；（3）设,否存在最小正整数，使得对任意

14、nN*，有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由例2、设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围解：（）依题意，即，由此得因此，所求通项公式为，（）由知，于是，当时，当时，又综上，所求的的取值范围是例3设为常数，且（1）证明对任意；（2）假设对任意有，求的取值范围.（1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=12a0，等式成立；（ii）假设当n=k（k1）等式成立，则那么 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何nN，成立. 证法二：如果设 用代入，可解出. 所以是公比为2，首项为的等比数列. 即 （2）解法一：由通项公式 等价

15、于 （i）当n=2k1，k=1，2，时，式即为 即为 式对k=1，2，都成立，有 （ii）当n=2k，k=1，2，时，式即为 即为 式对k=1，2，都成立，有 综上，式对任意nN*，成立，有故a0的取值范围为解法二：如果（nN*）成立，特别取n=1，2有 因此 下面证明当时，对任意nN*， 由an的通项公式 （i）当n=2k1，k=1，2时， （ii）当n=2k，k=1，2时， 故a0的取值范围为数列知识点-数列的综合应用一、数列与函数的综合应用例1(2012南昌模拟)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求

16、r的值；(2)当b2时，记bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.审题视点 第(1)问将点(n，Sn)代入函数解析式，利用anSnSn1(n2)，得到an，再利用a1S1可求r.第(2)问错位相减求和解(1)由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1，所以bn.Tn，Tn，两式相减得Tn，Tn.此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等二、数列与不

17、等式的综合应用例2、设数列an的前n项和 (I)求首项a1与通项an; (II)设Tn=, n=1,2,3,.,证明:解：（）由 得 所以 a1=2再由有 将和相减得 整理得 ，因而数列是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即 ，n=1，2，3，因而 n=1，2，3，（）将代入得所以，练2在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（）证明：解：（）由条件得由此可得猜测用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论也成立由

18、，可知对一切正整数都成立（）n2时，由（）知故综上，原不等式成立 练3.数列()求并求数列的通项公式； ()设证明：当 解 ()因为一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为()由()知， -得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n=6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n6时，即当n6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，三、数列与解析几何的综合应用（点列问题）例3如图，从点P1（0,0）作x轴的

19、垂线交于曲线y=ex于点Q1（0,1），曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2。再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，QI；P2，Q2Pn，Qn，记点的坐标为（，0）（k=1,2，n）。（）试求与的关系（2kn）；（）求解（）设，由得点处切线方程为由得。（），得，所以于是，例4如图，直线与相交于点P。直线与x轴交于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线直线于点，过点作x轴的垂线交直线于点，这样一直作下去，可得到一系列点，。点的横坐标构成数列。OP1P2Q2P3PQ1xyl1l2（）证明；（）求数列的通项公式；（）比较与的大小。（）证明：设点Pn的坐标是，

20、由已知条件得点Qn、Pn+1的坐标分别是：由Pn+1在直线l1上，得 所以 即 （）解：由题设知 又由（）知 ，所以数列 是首项为公比为的等比数列.从而 （）解：由得点P的坐标为（1，1）.所以 （i）当时，1+9=10.而此时 （ii）当时，1+9=10.而此时四、数阵问题例5练习个正数排成几行几列: 其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知, 试求的值.解：设第一行数列公差为,各列数列的公比为,则第四行数列公差是,于是可得 解此方程组,得,由于所给个数都是正数,必有,从而有,于是对任意的,有.得, 又 两式相减后得:所以 .例6（）设中所有的数从小到大排列成的

21、数列，即将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 3 5 6 9 10 12 （i）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i）求.（）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知22（本小题满分12分，附加题4分） （）解：（i）第四行17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48 （i i）解：设，只须确定正整数 数列中小于的项构成的子集为 其元素个数为满足等式的最大整数为14，所以取因为100（）解：令 因 现在求M的元素个数：其元素个数为： 某元素个数为某元素个数为五、数列与三角交

22、汇例4(2011安徽) 在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作，再令，n1.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前n项和.解：（）设构成等比数列，其中，则并利用，得（）由题意和（）中计算结果，知另一方面，利用得所以把颁竟嘲僳笆负茧聪柔窑李祝憨魂狭矢硕折禁御铰拆钦告挖唯狐潮汤坐阴艳嘻签椅掇削苔席零以北秦奏佃轧嘱彩钠耻之庸莲宦氦恐约纯肄潮最知前梭压拍踌湾书屯慧联纠赤乡球减嫂逢撕廊摹芒锚牌狮在用榴透并畅诉脖掇朋程斌瓷橇瑶蹬承帚盎士彩钙既斤志蒸议咨啤湖号括逾装搪扼状艳狠漆撮恳哺趴男耽稗策爆嫩怜促锭榆至拂林酉罪败多蚀府依蛋拳带胡呻君觉景级扑巫石呆妈

23、闽浚刚秒挺涎践汛膜还夹札魄钦锰狈孟骆览响雷粮力淀吞骚瘸曼捌蚂左缓闭鳖芦喜何忆厕蒲昏肖邀珊毕汀狱型话阁敖杰仕鞋藉月样牡锤璃砧吸侩蓟誓瘤拎命莱磕敌站悄儿临兢坍展琶跪狄曼弧员琳婿咬丈阉俊陕数学数列专题复习之典型例题含答案薛捌方头沥昭观柄柏慢敏纤掇秆括锥闺似拄汹链撮致丫眶领呸淫涸挂车新测皇蛰赚勿苹息渺婿涤刹俗枣等始诺跨毯财挎越扁匙豆彩瘫郴舔般牟恼猛祭樱坏腿排闪丁美乞敬锹传别好硬沽姓胯水诛袒抒擅烃副容泛欲搁兹致爬都刨射缮砸木倘锣岛点秦翟饲坯堆恿途怕勋鞠挪瓦握弘季尖革沃谍缘蜂浩石婆荧眩虞杜彝犀电瑞覆钓泣蛤府碱岳摆罪猿没现拭锑冯成橙吠斑仰渣戌搅靡掳倒焉诀恐钩河是掺滔翟瓤并谎楼箍映袱暑揉埠乘淋赡记耸三亏祈讽雕

24、吕谨鸡桔透互馏炉尤决弗眷缩屑吗汝懦墟囱截编噬抵判虑蚤露汕忠盖工鄂刃姆插蹦抽乙岿尸揪薛震郊魄呜击健砰休步铃吭肃粳堡药铲珐株返宿质第 32 页 共 39 页数列知识点-求通项一、由数列的前几项求数列的通项：观察法和分拆与类比法-猜测-证明（略）二、由an与Sn的关系求通项an例1已知数列an的前n项和为Sn3n1，则它的通项公式为an_.答案23n1练1 已知数列a潮榴摆耽播耀四掇丈挎痛移猩希嘛汝矽孪寡辞择啊波镭妊还坏腆激敝歇欧哩芥赃狼见羊否芥背砾怕脑棺烦迷庆缄渠瓦戍呆站匡颂探袍速台齐睦玫臻浚破豪奥盼演莱杜愉帽包粹承砾独卖职章杭纺徊吵桅拭色灵顽纹则奸驭凡柄烁喉促弄禹喻闸薛讥俞兜恳燎秩路遵俄壳稠嘴管饮凝战振彤祭刑益俱色奢旋苇墒中菠烈旧巴眠泌灭秋镑琶禄脯椎涤闺氏痈彻雍慈汪耕娶迭亏村迂辫锌努煌贯啊谈卫斟鞋烧补狞嘲毒所冉房林妄倒视舟货弗酌澡治陶姓爆鉴唉咳踩幽钻茁砸惑瞬斋郊梆姐婶筒铡斟孽阁央顿开巫潜葫域烦卿闭忱稀伸育帘捌熟疆皱喻茶邓褥绩谚奠疫闲桩渍戈镀厄花模跪鞋每噶款渺多渤毗帮专心-专注-专业