人教版九年级数学上册第21章一元二次方程PPT课件.pptx

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1、21.3 实际问题与一元二次方程第二十一章 一元二次方程第1课时 传播问题与一元二次方程 九年级数学上（RJ） 教学课件学习目标1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.（重点）2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.（难点）3.会找出实际问题（传播问题等）中的相等关系并建模解决问题.视频引入导入新课导入新课导入新课导入新课图片引入传染病，一传十, 十传百 讲授新课讲授新课传播问题与一元二次方程一引例：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析 ：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源记作小明，其传染示意图如下： 合

2、作探究第第2 2轮轮小明小明1 12 2x第第1 1轮轮第第1轮传染后人数轮传染后人数x+1小明小明第第2轮传染后人数轮传染后人数x(x+1)+x+1注意：不要忽视小明的二次传染x1= , x2= .根据示意图，列表如下： 10-12(不合题意,舍去)10解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.(1+x)2=121注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验.传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数 11+x=(1+x)11+x+x(1+x)=(1+x)2想一想：如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?第2种做法 以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后

3、就是:121(1+x)=121(1+10)=1331人.第一轮传染后的人数第二轮传染后的人数第三轮传染后的人数 (1+x)1 (1+x)2 分析 第1种做法 以1人为传染源,3轮传染后的人数是:(1+x)3=(1+10)3=1331人.(1+x)3传染源传染源 新增患者人数新增患者人数 本轮结束患者总人数本轮结束患者总人数第一轮第一轮 1 1x=x 1+x第二轮第二轮 1+x (1+x)x 1+x+(1+x)x=第三轮第三轮 第第n轮轮思考：思考：如果按这样的传染速度，如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多轮后传染后有多少人患了流感？少人患了流感？(1+x)2(1+x)n(1+x)3经过经过n

4、轮传染后共有轮传染后共有 (1+x)n 人患流感人患流感.(1+x)2(1+x)2x(1+x)2+(1+x)2x=例1：某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?主主干干支干支干支干支干小小分分支支小小分分支支小小分分支支小小分分支支xxx1解:设每个支干长出x个小分支,则 1+x+x2=91即0902xx解得, x1=9,x2=10(不合题意,舍去)答:每个支干长出9个小分支.交流讨论1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染. .

5、2.解决这类传播问题有什么经验和方法？（1 1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2 2）可利用表格梳理数量关系；）可利用表格梳理数量关系；（3 3）关注起始值、新增数量，找出变化规律）关注起始值、新增数量，找出变化规律. .方法归纳建立一元二次方程模型实际问题分析数量关系设未知数实际问题的解解一元二次方程一元二次方程的根检 验运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？例2：某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控

6、制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则 1xx(1x)100，即，即(1x)2100. 解得 x19，x211(舍去)x9.4轮感染后，被感染的电脑数为(1x)41047000.答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台 1.电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？练一练解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑； 第三轮感染中，被感染的电脑台

7、数不会超过700台.解得x1=19 或 x2=-21 (舍去) 依题意 60+60 x+60 x (1+x) =240060 (1+x)2 =2400 2.某种细胞细胞分裂时，每个细胞在每轮分裂中分成两个细胞.（1）经过三轮分裂后细胞的个数是 .（2）n轮分裂后，细胞的个数共是 .82n起始值 新增细胞本轮结束细胞总数第一轮 第二轮 第三轮 第n轮122244488=22=23=212n1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ ） A.x2=1980 B. x(x+1)=1980 C. x(x-1)=1

8、980 D.x(x-1)=19802.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（ ） A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73 C.1+x2 =73 D.(1+x)2=73当堂练习当堂练习DB3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（ ）？A.10 B.9 C.8 D.7D4.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再

9、邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=_.105.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了之间共比赛了6场，求初三有几个班？场，求初三有几个班？解：初三有解：初三有x个班，根据题意列方程，得个班，根据题意列方程，得化简，得化简，得 x2-x-12=0 解方程，得解方程，得 x1=4， x2=-3（舍去）（舍去）答：初三有答：初三有4个班个班.1(1)62xx 传染源传染源本轮分裂成有本轮分裂成有益菌数目益菌数目本轮结束有益本

10、轮结束有益菌总数菌总数第一轮第二轮第三轮分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌个有益菌6060 x60(1+x)60(1+x)60(1+x)x2)1 (60 x2)1 (60 xxx2)1 (60 3)1 (60 x6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，个活体样本，经过两轮培植后，总和达经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？每轮分裂中平均每

11、个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？有益菌？解：设每个有益菌一次分裂出解：设每个有益菌一次分裂出x个有益菌个有益菌60+60 x+60(1+x)x=24000 x1=19，x2=-21（舍去）（舍去）每个有益菌一次分裂出每个有益菌一次分裂出19个有益菌个有益菌.6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，个活体样本，经过两轮培植后，总和达经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌一次可分裂出若

12、干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？有益菌？三轮后有益菌总数为三轮后有益菌总数为 24000(1+19)=480000.7.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？解：设每天平均一个人传染了x人，解得 x1=-4 (舍去），x2=2.答：每天平均

13、一个人传染了2人，这个地区一共将会有2187人患甲型流感.1+x+x(1+x)=9， 即（1+x）2=9.9(1+x)5=9(1+2)5=2187，(1+x)7= (1+2)7=2187.课堂小结课堂小结列一元二次方程解应题与列一元一次方程解决实际问题基本相同.不同的地方是要检验根的合理性.传 播 问 题数量关系：第一轮传播后的量=传播前的量 （1+传播速度）第二轮传播后的量=第一轮传播后的量 （1+传播速度）=传播前的量 （1+传播速度）2数 字 问 题握 手 问 题送照片问题关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数.甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2.甲送乙照片与乙送甲照

14、片是要两张照片，故总数不要除以2.步 骤类 型21.2.1 配方法第二十一章 一元二次方程第1课时 直接开平方法九年级数学上（RJ） 教学课件学习目标1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p0)的方程.(重点）1.如果 x2=a,则x叫做a的 .导入新课导入新课复习引入平方根2.如果 x2=a(a 0),则x= .3.如果 x2=64 ,则x= .a84.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.讲授新课讲授新课直接开平方法一 问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的

15、盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可，可列出方程106x2=1500，由此可得 x2=25开平方得即x1=5，x2=5.因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dmx=5，试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1) x2=4(2) x2=0(3) x2+1=0解:根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得 x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0；(3)当p0 时，根据平方根的意

16、义，方程(I)有两个不等的实数根 ， ；1px 2px12xx 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳 例1 利用直接开平方法解下列方程:(1) x2=6；(2) x2900=0.解： （1） x2=6，直接开平方，得（2）移项，得 x2=900.直接开平方，得x= 30，x1=30, x2=30.典例精析6,x1266xx， 在解方程(I)时，由方程x2=25得x=5.由此想到:（x+3)2=5 ， 得得对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5探究交流35,x 3535 .xx ， 或123535xx ， 或于是，方程（x+3）2=5的两个根为 上面的解

17、法中 ，由方程得到，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.解题归纳例2 解下列方程： （x1）2= 2 ； 解析：第1小题中只要将（x1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.22.即x1=-1+，x2=-1- 解：（1）x+1是2的平方根，2.x+1=解析：第2小题先将4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.例2 解下列方程：（2）（x1）24 = 0；即x1=3，x2=-1.解：解：（2）移项，得（x-1）2=4.x-1是4的平方根，x-1=2. x1= ，547.4 x2=(3) 12（32x）23 = 0.解析：第3小题先

18、将3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可. 解：(3)移项，得12（3-2x）2=3，两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.3-2x是0.25的平方根，3-2x=0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5 21445xx 229614xx 解：解：225,x25,x 25,25,xx 方程的两根为方程的两根为125x 225.x 解：解：2314,x312,x 312312,xx ，方程的两根为方程的两根为21.x 例3 解下列方程：113x 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或（xn）2=

19、p（p0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流当堂练习当堂练习 (C) 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= 3, x1= ; 4741x2=(D) (2x+3)2=25,解方程，得解方程，得2x+3=5, x1= 1;x2=-4 1.下列解方程的过程中，正确的是（ ）(A) x2=-2,解方程，得x=2(B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 D(1)方程x2=0.25的根是 . (2)方程2x2=18的根是 . (3)方程(2x-1)2=9的根是 .3. 解下列方程： (1)x2-810； (2)

20、2x250； (3)(x1)2=4 . x1=0.5,x2=-0.5x13,x2-3x12,x21解：x19, x29；解：x15, x25；解：x11, x23.4.4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.21150,3y2115,3y115,3y 115,3y 3 51,y 解：解：不对，从开始错，应改为115,3y 123 53,3 53.yy 解方程解方程: :22(2)(25)xx挑战自我挑战自我解：解：22225,xx2(25),xx 方程的两根为方程的两根为17x 21x 225,225xxxx 课堂

21、小结课堂小结直接开平方法概念步骤基本思路利用平方根的定义求方程的根的方法关键要把方程化成 x2=p(p 0)或(x+n)2=p (p 0).一元二次方程两个一元一次方程降次直接开平方法21.2.1 配方法第二十一章 一元二次方程第2课时 配方法学习目标1.了解配方的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点）3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）导入新课导入新课复习引入(1) 9x2=1 ；(2) (x-2)2=2.1.用直接开平方法解下列方程:(1) x2+6x+9 =5；(2)x2+6x+4=0.把两题转化成(x+n)2=p(p0)的形式，再利用开平方讲授新

22、课讲授新课配方的方法一问题问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1) a2+2ab+b2=( )2；(2) a2-2ab+b2=( )2.a+ba-b探究交流问题问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.（1）x2+4x+ = ( x + )2（2）x2-6x+ = ( x- )2（3）x2+8x+ = ( x+ )2（4）43x2- x+ = ( x- )2你发现了什么规律？22232342422( )323二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结想一想：x2+px+( )2=(x+ )22p2p配方的方法用配方法解方程二合作探究怎样解方程: x2+6x

23、+4=0 (1)问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？解： x2+6x+4=0 x2+6x=-4移项 x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.方法归纳在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.方程配方的方法：要点归纳 像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定义配方法解方程的基本思路把方程化为（x+n)2=p

24、的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解45,x 例1 解下列方程： 21810 xx ；12415,415.xx解：（1）移项，得x28x=1,配方，得x28x+42=1+42 ,( x4)2=15由此可得即配方，得2223313,2424xx 231,416x31,44x 由此可得2111,.2xx二次项系数化为1，得231,22xx 2 2213 xx ；解：移项，得 2x23x=1,即移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?配方，得2224211,3xx 211.3x 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根解：移项，得2364

25、,xx 二次项系数化为1，得242,3xx 2 33640.xx为什么方程两边都加12？即即思考思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？注意些什么？思考思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤用配方法解一元二次方程的一般步骤.移项时需注意改变符号移项时需注意改变符号.移项，二次项系数化为移项，二次项系数化为1；左边配成完全平方式；左边配成完全平方式；左边写成完全平方形式；左边写成完全平方形式；降次；降次；解一次方程解一次方程.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.当当p0时时,则

26、则 ,方程的两个根为方程的两个根为当当p=0时时,则则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两开平方得方程的两个根为个根为 x1=x2=-n.当当p0，当b2-4ac 0时，a 0,4a20， 当b2-4ac 0时，22240.24bbacxaa 而x取任何实数都不能使上式成立.因此，方程无实数根. 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的根由方程的系数a，b，c确定因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a0) ，当b2-4ac 0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫

27、做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.2.42bbacxa 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a0); 2.b2-4ac0.注意 公式法解方程二 例1 用公式法解方程程 5x2-4x-12=0解：a=5,b=-4,c=-12，b2-4ac=(-4)2-45(-12)=2560.242bbacxa 242bbacxa典例精析( 4)25641628=25105 1262,5xx 242bbacxa 例2 解方程：232 3xx化简为一般式：22330 xx 1-2 33.abc、解：Q（），2242 34 1 30bac

28、 即 ：123.xx 这里的a、b、c的值是什么？（-2 3）2 303.2 12x 例3 解方程： （精确到0.001）.210 xx1,1,1,abc 22414 1 ( 1)50bac 152x 120.618,1.618.xx 解：用计算器求得：52.2361例4 解方程：4x2-3x+2=0224,3,2.4( 3)4 4 2932230.abcbac Q因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.解：要点归纳公式法解方程的步骤1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac 0，则利用求根公式

29、求出; 若b2-4ac 0 = 0 0时,方程有两个不相等的实数根.b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根.b2 - 4ac -1 B.k-1且k0 C.k1 D.k0，同时要求二次项系数不为0，即 ，k0.解得k-1且k0，故选B.B2( 2)40k例7:不解方程，判断下列方程的根的情况（1）3x2+4x3=0；（2）4x2=12x9; (3) 7y=5(y2+1).解：（1）3x2+4x3=0，a=3,b=4,c=3, b24ac=3243(3)=520. 方程有两个不相等的实数根 （2）方程化为：4x212x+9=0, b24ac=(12)2449=0. 方程有两个相等的实数

30、根例7:不解方程，判断下列方程的根的情况 (3) 7y=5(y2+1).解：（3）方程化为：5y27y+5=0, b24ac=(7)2455=510. 方程有两个相等的实数根1.解方程：x2 +7x 18 = 0.解：这里 a=1, b= 7, c= -18. b 2 - 4ac =7 2 4 1 (-18 ) =1210, 即 x1 = -9, x2 = 2 .7121711.2 12x 当堂练习当堂练习2. 解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6.解：去括号 ，得 x 2 - 3x2 + 6x = 6, 化简为一般式 3x2 - 7x + 8 = 0, 这里 a = 3, b =

31、-7 , c = 8. b2 - 4ac=(-7 )2 4 3 8 = 4996 = - 47 0 , 即 x1= x2=33.4333x333.234.关于x的一元二次方程 有两个实根，则m的取值范围是 . 注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.04414)2(422mmacb解：1m022mxx1m 5.不解方程，判断下列方程的根的情况（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+ =0; (3) x2-x+1=0.解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4, b2-4ac=32-42(-4)=410. 方程有两个不相等的实数根 （2）x2

32、-x+ =0,a=1,b=-1,c= . b2-4ac=(-1)2-41 =0. 方程有两个相等的实数根14141414（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1. b2-4ac=(-1)2-411=-3 0, 填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.拓展提升一元二次方程的解法适用的方程类型直接开平方法配方法公式法因式分解x2 + px + q = 0 （p2 - 4q 0）(x+m)2n（n 0）ax2 + bx +c = 0(a0 , b2 - 4ac0)(x + m) （x + n）01.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；2.若常数项为

33、0（ ax2+bx=0），），应选用因式分解法；3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.要点归纳解法选择基本思路 x2-3x+1=0 ； 3x2-1=0 ； -3t2+t=0 ； x2-4x=2 ； 2x2-x=0； 5(m+2)2=8； 3y2-y-1=0； 2x2+4x-1=0； (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . 当堂练习当堂练习1

34、.填空 2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.解方程 (x-5)(x+2)=18. 解: 原方程化为： (x-5)(x+2)=18 . 由x-5=3, 得x=8; 由x+2=6, 得x=4; 所以原方程的解为x1=8或x2=4.解: 原方程化为： x2 3x 28= 0， (x7)(x+4)=0， x1=7，x2=4.3.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为 ；再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1= , x2= . x2+x2=021 221363241210.xxx ； 解：化为一般式为因式分解，得x22x+1 = 0.( x1 )( x1 ) = 0.有 x 1

35、 = 0 或 x 1 = 0，x1=x2=1.解：因式分解，得( 2x + 11 )( 2x 11 ) = 0.有 2x + 11 = 0 或 2x 11= 0，4.解方程：5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径解：设小圆形场地的半径为r，根据题意 ( r + 5 )2=2r2.因式分解，得于是得2 +50250.rrrr或答：小圆形场地的半径是5m.21课堂小结课堂小结因式分解法概 念步 骤简记歌诀：右化零 左分解两因式 各求解如果a b=0，那么，那么a=0或或b=0.原 理将方程左边因式分解，右边=0.因式分解的方法有因式分解的方法有ma+m

36、b+mc=m(a+b+c);a2 2ab+b2=(a b)2；a2 -b2=(a +b)(a -b).21.2 解一元二次方程第二十一章 一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）导入新课导入新课复习引入1.一元二次方程的求根公式是什么？224(40)2bbacxbaca 想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a0) b2 - 4ac

37、 0 时,方程有两个不相等的实数根.b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.b2 - 4ac 0. 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.（2）2x2 - - 3x - - 2 = 0.解：这里 a = 2 , b = - -3 , c = - -2. = b2 - - 4ac = （- - 3）2 4 2 (- -2) = 25 0, 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = - -1 .23例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求

38、它的另一个根及k的值. 解：设方程程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以：x1 x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=7.答：方程的另一个根是 ，k=7.,5k3.53()5356,5变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1x2=15= 得：m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.,3m例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.121231,.22xxxx 解：根据根与系数的关系可知

39、： 22212112212,xxxx xx2221212122xxxxx x231132;224 121212113123.22xxxxx x 设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:（1）x1+x2= , (2)x1x2= , (3) , (4)(4) .411412221)(xx2221xx练一练例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得= 4（k - - 1）2 - - 4k2 0 即 - -8k + 4 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - -1) ,

40、 x1 x2 =k 2. x12 + x22 = (x1 + x2)2 - - 2x1x2 = 4(k - -1)2 - -2k2 = 2k2 - -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.21 ku 总结常见的求值:12111.xx1212;xxx x124 .(1)(1)xx1212()1;x xxx12213.xxxx221212xxx x2121212()2;xxx xx x125. xx212()xx21212()4.xxx x2221212122.()

41、2;xxxxx x 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.归纳当堂练习当堂练习1.如果-1是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是_，m =_.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= .1-232-33.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 x1 = x1 =16.3ca16.34.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且

42、（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7； 12,xxk1 21.2kx x1() 1 4,2kk （2）因为k=-7,所以 则：1 24.xx 127,x x22212121 2()()474 ( 4) 65.xxxxxx 5.设x1,x2是方程3x2 + 4x 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2).2112xxxx解:根据根与系数的关系得：（1）(x1 + 1)(x2 +

43、1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=（2）12124,1.3bcxxxxaa 44(-1) 1;33 .)(934221212212122212112xxxxxxxxxxxxxx6. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1拓展提升由根与系数的关系，得,221kxx,2121 xx, 121422k, 322k. 32k7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0 （1）若方程有实数根,求实数m的取值范围. （2）若方程两根x1,x2满足 x1

44、-x2 = 1 求m的值.解：(1)方程有实数根0884424242222mmmmmmmacbm的取值范围为m0(2)方程有实数根x1,x2.2, 22121mmxxxx (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1. 12422mm解得m=8.经检验m=8是原方程的解课堂小结课堂小结根与系数的关系（韦达定理）内 容如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、 x2，那么应 用222121212()2xxxxx x22121212()()4xxxxx x12121211xxxxxx12bxxa 12cx xag21.3 实际问题与一元二次方程第二十一章 一元二次方程

45、第1课时 传播问题与一元二次方程 学习目标1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.（重点）2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.（难点）3.会找出实际问题（传播问题等）中的相等关系并建模解决问题.视频引入导入新课导入新课导入新课导入新课图片引入传染病，一传十, 十传百 讲授新课讲授新课传播问题与一元二次方程一引例：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析 ：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源记作小明，其传染示意图如下： 合作探究第第2 2轮轮小明小明1 12 2x第第1 1轮轮第第1轮传染后人数轮传染后人数

46、x+1小明小明第第2轮传染后人数轮传染后人数x(x+1)+x+1注意：不要忽视小明的二次传染x1= , x2= .根据示意图，列表如下： 10-12(不合题意,舍去)10解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.(1+x)2=121注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验.传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数 11+x=(1+x)11+x+x(1+x)=(1+x)2想一想：如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?第2种做法 以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331人.第一轮传染后的人数第二轮传染后

47、的人数第三轮传染后的人数 (1+x)1 (1+x)2 分析 第1种做法 以1人为传染源,3轮传染后的人数是:(1+x)3=(1+10)3=1331人.(1+x)3传染源传染源 新增患者人数新增患者人数 本轮结束患者总人数本轮结束患者总人数第一轮第一轮 1 1x=x 1+x第二轮第二轮 1+x (1+x)x 1+x+(1+x)x=第三轮第三轮 第第n轮轮思考：思考：如果按这样的传染速度，如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多轮后传染后有多少人患了流感？少人患了流感？(1+x)2(1+x)n(1+x)3经过经过n轮传染后共有轮传染后共有 (1+x)n 人患流感人患流感.(1+x)2(1+x)2x(

48、1+x)2+(1+x)2x=例1：某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?主主干干支干支干支干支干小小分分支支小小分分支支小小分分支支小小分分支支xxx1解:设每个支干长出x个小分支,则 1+x+x2=91即0902xx解得, x1=9,x2=10(不合题意,舍去)答:每个支干长出9个小分支.交流讨论1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染. .2.解决这类传播问题有什么经验和方法？（1 1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答

49、；）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2 2）可利用表格梳理数量关系；）可利用表格梳理数量关系；（3 3）关注起始值、新增数量，找出变化规律）关注起始值、新增数量，找出变化规律. .方法归纳建立一元二次方程模型实际问题分析数量关系设未知数实际问题的解解一元二次方程一元二次方程的根检 验运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？例2：某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？解：设每轮感染中平均一台电脑会

50、感染 x 台电脑，则 1xx(1x)100，即，即(1x)2100. 解得 x19，x211(舍去)x9.4轮感染后，被感染的电脑数为(1x)41047000.答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台 1.电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？练一练解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑； 第三轮感染中，被感染的电脑台数不会超过700台.解得x1=19 或 x2=-21 (舍去) 依题意 60+60 x