2011年安徽高考理科数学真题及答案.doc

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1、2011年安徽高考理科数学真题及答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A2B2CD【解答】解：复数=，它是纯虚数，所以a=2，故选A2（5分）双曲线2x2y2=8的实轴长是（）A2BC4D【解答】解：2x2y2=8即为a2=4a=2故实轴长为4故选C3（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x2x，则f（1）=（）A3B1C1D3【解答】解：当x0时，f（x）=2x2x，f（1）=2（1）2（1）=3，又f（x）是定义在R上的奇函数f（1）=f（1）=3故选A4（5分）设变量x，y满足|x|+|y|1，则

2、x+2y的最大值和最小值分别为（）A1，1B2，2C1，2D2，1【解答】解：约束条件|x|+|y|1可化为：其表示的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1时x+2y取最大值2当x=0，y=1时x+2y取最小值2故选B5（5分）在极坐标系中，点（2，）到圆=2cos的圆心的距离为（）A2BCD【解答】解：在直角坐标系中，点即（1，），圆即 x2+y2=2x，即 （x1）2+y2=1，故圆心为（1，0），故点（2，）到圆=2cos的圆心的距离为 =，故选 D6（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A48B32+8C48+8D80【解答】解：如图所示的三视图是以左视

3、图所示等腰梯形为底的直四棱柱，其底面上底长为2，下底长为4，高为4，故底面积S底=（2+4）4=12腰长为：=则底面周长为：2+4+2=6+2则其侧面积S侧=4（6+2）=24+8则该几何体的表面积为S=2S底+S侧=212+24+8=48+8故选C7（5分）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（）A所有不能被2整除的整数都是偶数B所有能被2整除的整数都不是偶数C存在一个不能被2整除的整数是偶数D存在一个能被2整除的整数不是偶数【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题其否定一定是一个特称命题，故排除A，B结合全称命题的否定方法，我们易得命题“所有能被2整除的数都是偶数

4、”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”故选：D8（5分）设集合A=1，2，3，4，5，6，B=4，5，6，7，8，则满足SA且SB的集合S的个数是（）A57B56C49D8【解答】解：集合A的子集有：，1，2，3，4，5，6，1，2，1，3，1，4，1，5，1，2，3，4，5，6，共1+=64个；又SB，B=4，5，6，7，8，所以S不能为：，1，2，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3共8个，则满足SA且SB的集合S的个数是648=56故选：B9（5分）已知函数f（x）=sin（2x+），其中为实数，若f（x）|f（）|对xR恒成立，且f（）f（），则f（x）的单调递增区间是（）

5、Ak，k+（kZ）Bk，k+（kZ）Ck+，k+（kZ）Dk，k（kZ）【解答】解：若对xR恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值即2+=k+，kZ则=k+，kZ又即sin0令k=1，此时=，满足条件令2x2k，2k+，kZ解得x故选C10（5分）函数f（x）=axm（1x）n在区间0，1上的图象如图所示，则m，n的值可能是（）Am=1，n=1Bm=1，n=2Cm=2，n=1Dm=3，n=1【解答】解：由于本题是选择题，可以用代入法来作，由图得，原函数的极大值点小于0.5当m=1，n=1时，f（x）=ax（1x）=a+在x=处有最值，故A错误；当m=1，n=2时，f（x）=axm（1x）n=

6、ax（1x）2=a（x32x2+x），所以f（x）=a（3x1）（x1），令f（x）=0x=，x=1，即函数在x=处有最值，故B正确；当m=2，n=1时，f（x）=axm（1x）n=ax2（1x）=a（x2x3），有f（x）=a（2x3x2）=ax（23x），令f（x）=0x=0，x=，即函数在x=处有最值，故C错误；当m=3，n=1时，f（x）=axm（1x）n=ax3（1x）=a（x3x4），有f（x）=ax2（34x），令f（x）=0，x=0，x=，即函数在x=处有最值，故D错误故选：B二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11（3分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是

7、15【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： k I 是否继续循环循环前 0 0 是第一圈 1 1 是第二圈 2 1+2 是第三圈 3 1+2+3 是第四圈 4 1+2+3+4 是依此类推第十六圈 15 1+2+3+15105 否故最后输出的k值为：15，故答案为：1512（3分）设（x1）21=a0+a1x+a2x2+a21x21，则a10+a11=0【解答】解：根据题意，（x1）21的通项公式为Tr+1=C21r（x）21r（1）r，则有T11=C2110（x）11（1）10，T12=C2111（x）10（1）11，则a10=C2110，a11=C2111，故a10+a11=C21

8、10C2111=0；故答案为：013（3分）已知向量，满足（+2）（）=6，|=1，|=2，则与的夹角为60【解答】解：（+2）（）=222+=18+=6=1cos=又090=60故答案为60或者14（3分）已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为15【解答】解：设三角形的三边分别为x4，x，x+4，则cos120=，化简得：x16=4x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则ABC的面积S=610sin120=15故答案为：1515（3分）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命

9、题的编号）存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数存在恰经过一个整点的直线【解答】解：令y=x+，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确；若k=，b=，则直线y=x+经过（1，0），所以本命题错误；设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入直线l方程得：y1=kx1，y2=kx2，两式相减得：y1y2=k（x1x2），则（x1x2，y1y2）也在直线y=kx上

10、且为整点，通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，则正确；当k，b都为有理数时，y=kx+b可能不经过整点，例如k=，b=，故不正确；令直线y=x恰经过整点（0，0），所以本命题正确综上，命题正确的序号有：故答案为：三、解答题（共6小题，满分75分）16（12分）设，其中a为正实数（）当a=时，求f（x）的极值点；（）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式的解法【专题】计算题【分析】（）首先对f（x）求导，将a=代入，令f（x）=0，解出后判断根的两侧导函数的符号即可（）因为a0，所以f（x）为R上为增函数，f（x）0

11、在R上恒成立，转化为二次函数恒成立问题，只要0即可【解答】解：对f（x）求导得f（x）=ex （）当a=时，若f（x）=0，则4x28x+3=0，解得结合，可知 x（，） （，）（，+） f（x）+00+f（x）增极大值减极小值增所以，是极小值点，是极大值点（）若f（x）为R上的单调函数，则f（x）在R上不变号，结合与条件a0知ax22ax+10在R上恒成立，因此=4a24a=4a（a1）0，由此并结合a0，知0a1【点评】本题考查求函数的极值问题、已知函数的单调性求参数范围问题，转化为不等式恒成立问题求解17（12分）如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD

12、上，OA=1，OD=2，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形（I）证明直线BCEF；（II）求棱锥FOBED的体积【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】综合题【分析】（I）利用同位角相等，两直线平行得到OBDE；OB=，得到B是GE的中点；同理C是FG的中点；利用三角形的中位线平行于底边，得证（II）利用三角形的面积公式求出底面分成的两个三角形的面积，求出底面的面积；利用两个平面垂直的性质找到高，求出高的值；利用棱锥的体积公式求出四棱锥的体积【解答】解：（I）证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点，由于OAB与ODE都是正三角形，所以OBDE，OB=同

13、理，设G是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG=OD=2，又由于G与G都在线段DA的延长线上，所以G与G重合，在GED和GFD中，由和可知B，C分别是GE，GF的中点，所以BC是GFE的中位线，故BCEF（II）解：由OB=1，OE=2，EOB=60，知而OED是边长为2的正三角形，故所以过点F作FQAD，交AD于点Q由平面ABED平面ACFD，FQ就是四棱锥FOBED的高，且FQ=，所以另外本题还可以用向量法解答，同学们可参考图片，自行解一下，解法略【点评】本题考查证明两条直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行、三角形的中位线平行于底边、考查平面垂直的性质定理、棱锥的体积公式18（13分

14、）在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作Tn，再令an=lgTn，n1（）求数列an的通项公式；（）设bn=tanantanan+1，求数列bn的前n项和Sn【考点】等比数列的通项公式；数列与三角函数的综合【专题】计算题；压轴题【分析】（I）根据在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，我们易得这n+2项的几何平均数为10，故Tn=10n+2，进而根据对数的运算性质我们易计算出数列an的通项公式；（II）根据（I）的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列bn的每一项拆成的形式，进而得到结论【解答】解：（I）在

15、数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，又这n+2个数的乘积计作Tn，Tn=10n+2又an=lgTn，an=lg10n+2=n+2，n1（II）bn=tanantanan+1=tan（n+2）tan（n+3）=，Sn=b1+b2+bn=+=【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这n+2项的几何平均数为10，是解答本题的关键19（12分）（）设x1，y1，证明x+y+xy；（）1abc，证明logab+logbc+logcalogba+logcb+logac【考点】不等式的证明【专题】证明题；转化思想【分析】（）根据题意

16、，首先对原不等式进行变形有x+y+xyxy（x+y）+1x+y+（xy）2；再用做差法，让右式左式，通过变形、整理化简可得右式左式=（xy1）（x1）（y1），又由题意中x1，y1，判断可得右式左式0，从而不等式得到证明（）首先换元，设logab=x，logbc=y，由换底公式可得：logba=，logcb=，logac=，logac=xy，将其代入要求证明的不等式可得：x+y+xy；又有logab=x1，logbc=y1，借助（）的结论，可得证明【解答】证明：（）由于x1，y1；则x+y+xyxy（x+y）+1x+y+（xy）2；用作差法，右式左式=（x+y+（xy）2）（xy（x+y）+1

17、）=（xy）21）（xy（x+y）（x+y）=（xy+1）（xy1）（x+y）（xy1）=（xy1）（xyxy+1）=（xy1）（x1）（y1）；又由x1，y1，则xy1；即右式左式0，从而不等式得到证明（）设logab=x，logbc=y，由换底公式可得：logba=，logcb=，logca=，logac=xy，于是要证明的不等式可转化为x+y+xy；其中logab=x1，logbc=y1，由（）的结论可得，要证明的不等式成立【点评】本题考查不等式的证明，要掌握不等式证明常见的方法，如做差法、放缩法；其次注意（）证明在变形后用到（）的结论，这个高考命题考查转化思想的一个方向20（13分）工

18、作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p1，p2，p3，假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立（）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数

19、学期望）EX；（）假定lp1p2p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式【专题】计算题；应用题；压轴题【分析】（）可先考虑任务不能被完成的概率为（1p1）（1p2）（1p3）为定值，故任务能被完成的概率为定值，通过对立事件求概率即可（）X的取值为1，2，3，利用独立事件的概率分别求出概率，再求期望即可（）由（）中得到的关系式，考虑交换顺序后EX的变化情况即可【解答】解：（）任务不能被完成的概率为（1p1）（1p2）（1p3）为定值，所以任务能被完成的概率与三个人被排除的顺序无关任务能被完

20、成的概率为1（1p1）（1p2）（1p3）（）X的取值为1，2，3P（X=1）=q1P（X=2）=（1q1）q2P（X=3）=（1q1）（1q2）EX=q1+2（1q1）q2+3（1q1）（1q2）=32q1q2+q1q2（）EX=3（q1+q2）+q1q2q1，若交换前两个人的派出顺序，则变为3（q1+q2）+q1q2q2，由此可见，当q1q2时，交换前两个人的派出顺序可增大均值；若保持第一人派出的人选不变，交换后个人的派出顺序，EX可写为32q1（1q1）q2，交换后个人的派出顺序则变为32q1（1q1）q3，当q2q3时交换后个人的派出顺序可增大均值故完成任务概率大的人先派出，可使所需派

21、出的人员数目的均值（数学期望）达到最小【点评】本题考查对立事件、独立事件的概率、离散型随机变量的分布列和方差等知识，以及利用概率知识解决实际问题的能力21（13分）设0，点A的坐标为（1，1），点B在抛物线y=x2上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足，求点P的轨迹方程【考点】抛物线的应用；轨迹方程【专题】综合题；压轴题【分析】设出点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量的坐标，代入已知条件中的向量关系得到各点的坐标关系；表示出B点的坐标；将B的坐标代入抛物线方程求出p的轨迹方程【解答】解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P（x，y），Q（x，y0），M（x，x2）则x2y0=（yx2）即y0=（1+）x2y再设B（x1，y1）由得将代入式得又点B在抛物线y=x2将代入得（1+）2x2（1+）y=（1+）x）2整理得2（1+）x（1+）y（1+）=0因为0所以2xy1=0故所求的点P的轨迹方程：y=2x1【点评】本题考查题中的向量关系提供点的坐标关系、求轨迹方程的重要方法：相关点法，即求出相关点的坐标，将相关点的坐标代入其满足的方程，求出动点的轨迹方程