考研数学高数习题—微分中值定理(共5页).docx

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2、，证明：，使得。5、假设在上连续，在上可导，且，证明：，使得。6、假设在上连续，在上可导，证明：，使得。7、不用求出函数的导数，说明方程的实根个数并指明它们所在的区间。提示：次多项式至多有个不同的实根。8、设为定义在上的可导函数，且满足，证明：至多有一个实根。9、若函数在上具有二阶导数，并且，其中，证明：，使得。10、（1）假设，证明：；（2）证明：。11、证明恒等式：。参考答案1、（1）在区间上不满足罗尔定理的条件，也不满足拉格朗日中值定理的条件。因为在处不可导。（2）在区间上不满足罗尔定理的条件，也不满足拉格朗日中值定理的条件。在处非左连续。（3）在区间上不满足罗尔定理的条件，但满足拉格朗

3、日中值定理的条件。因为在上连续，在上可导，但。（4）在区间上同时满足拉格朗日中值定理及罗尔定理的条件。因为在区间上连续，在区间上可导，并且。2、 （1）在区间上不一定满足罗尔定理的条件，也不一定满足拉格朗日中值定理的条件。因为在处不一定可导。（2）在区间上同时满足拉格朗日中值定理及罗尔定理的条件。因为在区间上连续，在区间上可导，并且。（3）在区间上不一定满足罗尔定理的条件，但一定满足拉格朗日中值定理的条件。因为在区间上连续，在区间上可导，但和不一定相等。（4）在区间上同时满足拉格朗日中值定理及罗尔定理的条件。因为在区间上连续，在区间上可导，并且。3、反证法假设，使得有，有有，由此可知不是的极值

4、点，与题中已知矛盾，同理可证的情况，综上可知4、罗尔定理的证明；运用费马引理证明。5、提示：对运用罗尔定理。证明：在上连续，在上可导，由拉格朗日中值定理可知，必，使得。6、拉格朗日中值定理的证明，运用罗尔定理。7、有三个实根，分别在区间、及。8、提示：反证，假设有两个不同实根，再对运用罗尔定理。证明：假设有两个不同实根，则有，又由为定义在上的可导函数知在上连续，故由罗尔中值定理可知，必存在一点使得，与矛盾，故假设不成立，即至多有一个实根。9、提示：分别在区间和上运用一次罗尔定理，然后再上再运用一次罗尔中值定理。证明：由函数在上具有二阶导数，可知在上连续、上可导，且，由罗尔中值定理可知，至少存在

5、一个使得，至少存在一个使得，故，再由罗尔中值定理可知至少存在一个使得，综上可知：，使得。10、（1）提示：对运用拉格朗日中值定理；证明：构建辅助函数，由在上连续，在上可导，通过拉格朗日中值定理可知，必存在一个使得，又为单调增函数，有，故有。（2）提示：对运用拉格朗日中值定理。证明：构造辅助函数，在上连续，在上可导，必存在一个使得，又，故，则有，即。11、提示：先验证的导数恒为以说明该函数恒为常数，再将取特殊值进一步说明该常数等于。证明：记，则，由此可知为常数，取特殊点有，即。在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持之以恒，最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。专心-专注-专业