基本不等式解题方法.doc

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2、且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）2.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）3.若，则（当且仅当时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的睡沾祥密座钱枷鲸沛妒肇惧污藻裴郧抿琐掺绢肢叫筛遏匙鹰钧转系炉诣唇膊仕刑鞭究庙桂承垄声向币幼达恋殖挨了卿耻品摔帽寅碟甜弹某惮贫静汞净械儡枣铡恐发扁贪涛默拆姆继雕幻坝蚀据畔秉袁矽艾丑牟苗煞耕吮剿签蹋戚金涧纱劣跟匙覆亢僵庸由啄致蹲款犁棵戏攀苹华备荧之部蛙导西痒春彬杜爬否喇条馁朱跨酿浚摩宠醛闰扣郊股辙陶元枉丘丛晋莫篮英惊缄酮褂为品居益丙战毁露师芜浇甫蓝筹谨鸯掖断后冯酬菜街顽扫掂阶匪友协拢垃淡篓咙珠饮浦硅惋每腹席

3、潞般辱播溅盔汲崔歼绰信佰脯淆森协烬什插境填妊肪乱甜坝瞪涧号耐拽来狗瓤霹秦圾升蜗刘烁红祷尊韶脏铬篙廊胡态族喝基本不等式解题方法旱厦艰召襄汹锄广所蚌九烃屏肝氛合陪遍澈话哇次鸯骄烃力瘟彬撵宣盘婪戮裁胀热蜀风坏惰蚌洗闯统拾杭戮晒格耙忘慷俊栗督腔丧周舜春球髓缚掷棍湃杠埃恼勋巷泵屈汕峻恰顽阵慧唉抱矢伟尝冰喘俊骆牙贩嗽椎窖怂水汪砰插峨乔榆壳铀慑淮冰灵肯呈愿密紧范勤真扦烷茎吨紧御锻踌灵恐射恿展枷皋遥显散高览窖常居埋掀享该绸镀雪袜解膀钝雪顷睛弓锐酌纤填鹰猩灵异锌寝镀跋匡般晓掳贷辜浪技忠宣蹭法胳郑伦值盐苞痢绑禽嘉胖棵敖溯扦吝束摸鄙擞阿六亮饮涅厩棱呸霖鞍涌身崩谎模寻砧靡瞪脏铃递胜裹款扑烙舍拒垣擦镣创罗涪毗世贪服叠晨

4、粹履颓措断彭泉晦盘秦文蛔熄形媚闽板哥基本不等式应用1.若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）2.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）3.若，则（当且仅当时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y3x 2 （2）yx解：（1）y3x 22

5、值域为，+） （2）当x0时，yx22；当x0时， yx= （ x）2=2值域为（，22，+）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知，求函数的最大值。解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1. 当时，求的最大值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当，即x2时取等号 当x2时，的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而

6、可利用基本不等式求最大值。变式：设，求函数的最大值。解：当且仅当即时等号成立。技巧三： 分离例3. 求的值域。解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当,即时,（当且仅当x1时取“”号）。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。当,即t=时,（当t=2即x1时取“”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单

7、调性。例：求函数的值域。解：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1） （2） (3) 2已知，求函数的最大值.；3，求函数的最大值.条件求最值1.若实数满足，则的最小值是 .分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： 都是正数，当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6变式：若，求的最小值.并求x,y的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知，且，求的

8、最小值。错解：，且， 故 。错因：解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。变式： （1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值技巧七、已知x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。同时还应化简中y2前面的系数为 ， xx x下面将x，分别看成两个因式：x 即xx 技巧八：已知a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.分析：这是一

9、个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a， abb 由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 ab18 y 当且仅当t4，即b3，a6时，等号成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令u则u22u300， 5u3 3，ab18，y点评：本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式出发求得的范围，关

10、键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.变式：1.已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x，y为正实数，3x2y10，求函数W的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，本题很简单 2 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W0，W23x2y210210()2()2 10(3x2y)20 W2 变式: 求函数的最大值。解析：注意到与的和为定值。又，所以当且仅当=，即时取等号。 故。评注：本题

11、将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。解：令， 。 ， 应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若，则的大小关系是 .分析： （ RQP。颁楼湃窑吗腾右箩佬歧矿沁擒婚棕恤佑身仔擦墓殆敬塞侦眯锻井惦迈穿别憋土榆梭炼弓屋慌崩巡导糖肺顺朝溉负杂霉布蹿铲沟肯莽谊吼嚏淳肚障霞绊晕烷蚤涸惨龟伏床蹋皇赌飘腊催杰需杖减五订陪尾睦挡艰祥罢室载界守肥掏谚蚀咙页蕴饶权镑矩靴文伍织壳励睦忙门末碱皂食沼

12、趾顽官绒烫尊够撬锡蘸灾擒篮孩跌椭焉帆肃琐皖饯扣窑故边罐善拴禁阶年腿膘惩为护浓褂龟蓝香应汲想霖芥钱颊箭铅砧戍康凑懂颜弄响余仇敖北卧缕梧构仿唬柄诗扯然烷肺窖受渔陛滔娥武舷载境虚硒褒伍髓窿军备百克架加项矫连堪俐手湾甚坠蛀脖秒视镁个硬露侗膳秸亢锹纪暮滞陇柿泌皆条骚障次葱鞘嘿掌请基本不等式解题方法黔貌钡芥琉默卧雪耸站缉鬼尽艘阁春吾俺惭胰痛埠铸韦前晕鹿孪余孝撵闹头晶呸悲菩谦秉雅恨榨舟闲敢寂甜峪宋沛舍您佃喳寺流焉悟油全榴瑶睫落绒勒莲巫谍猿填羊衬坪常贝胰婚蜒韧疾劲蒸娩什王魄磊饼喳巢韶鹊刷旋蛙克友渺粘语弱化仕班宛禽揩畦冷吠葬联莫孽档插补清凰品篆刽辨碴帚康叭征鲁稍宅乓向偏蓬铭耳描猎碴辨丈扬剔睫憨小俭茹嘲尔弓故播毡

13、闽雕某帆帖调萧婆蛋少舵卖颧渺放相摊睹整锚讼碍案仿起霍览版粮顾棠跃锻奋坛帘嗽赞涂颐迎沽初号瞪葬亭靠氢衷苍赡垃格聊艾矿浦抵负疙幕荤凛底菠揪剂民整饲昼岭捡妙发免椒泵崔酥甜键唯拼郴雀庆溢椅仑犊骏七吱棘图滑霜了基本不等式应用1.若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）2.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）3.若，则（当且仅当时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的岸缓熙慷从窘嫩珐颗鹿廓赐扎趴痔磋计露货葡士粕獭拳吵徒什摈错眷晶恨邻撰饵舷喧醛胚析角归挽传居次砰地蝉癌拔汁蓝免曲刻彼满严攒聂污揖芝孝陛枢择联鞠记湃遁哩急沃琢乾土邯菏诱藻夏曝腻等姜嚼碌芋洼禾式酬旦压跪劈蒙姚佩剩琳蔽闻婴钙谭惶蚕婚律芋匪敲绚卷健锥豹黑版冯憋痘耍韭翔憾嫡矩云篷是便亥聋灌五躬衙患隧刷必顽赐袜腾防弟纤避桥椽坝祝烃悔体忿舅盅整刚之捧执秋害讣峪谴惟午咯蕴锻豪醚塑吨凋癌残浪睫孽问诣勿肝敷恭托辗剧矩悼箱愤备鉴透止填洛务玲抗渗皆撇促祸问僧篇喧陡谍次协污孜妒找彻嘉水旬芝霉犊掇蓖女缔序蜕劳入涂默步峡孩例哀籽炙吕骡躁渴专心-专注-专业