一曲面方程的概念.ppt

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1、1xyzS 0 z ,y,xFO平面曲线、平面曲线、曲面曲面 S 与三元方程与三元方程 (1) 0 z ,y,xF则方程则方程(1)(1)就叫做曲面就叫做曲面S S的方程的方程, ,而曲面而曲面S S就叫做方程就叫做方程(1)(1)的图形。的图形。 有下述关系：有下述关系：(1) 曲面曲面S S上任一点的坐标都满足方程上任一点的坐标都满足方程(1);(2) 不在曲面不在曲面S S上的点的坐标都不满足方程上的点的坐标都不满足方程(1),(1),空间曲面是点的几何轨迹。空间曲面是点的几何轨迹。（纯粹性纯粹性）（完备性完备性） 21 1、球面方程、球面方程 （2）解：解：SzyxM,2020200z

2、zyyxxMM,202020Rzzyyxx2202020Rzzyyxx或或RMM0Rxyz 0000z ,y,xM o z ,y,xM 在空间解析几何中关于曲面的研究在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列有下列两个基本问题两个基本问题:(2) 已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。(1) 已知曲面点的几何轨迹，求曲面的方程；已知曲面点的几何轨迹，求曲面的方程； ,z ,y,xM0000半径为半径为 R 的球面的球面 S 的方程的方程. 建立球心在建立球心在 例例1 1 3 .2222Rzyx若球心在原点，则若球心在原点，则 , 0000zyx从

3、而球面的方程为从而球面的方程为 半径为半径为 R 的球面方程的球面方程. 方程方程(2) 就是以就是以 0000,zyxM球心球心 , (3)为所求平面上的点的坐标所满足的方程。为所求平面上的点的坐标所满足的方程。 ABM ,MBMA . 07262zyx222321zyx222422zyx 已知已知 求线段求线段AB的垂直平分面的方程的垂直平分面的方程. ,4 , 1, 2,3 , 2 , 1BA 例例2 2解：解：设设点点是是垂垂直直平平分分面面上上任任意意一一),(zyxM4配方得配方得 .zyx521222半径为半径为 的球面的球面. 5 R解解: ,M0210 原方程表示球心在点原方

4、程表示球心在点 一般地，设有三元二次方程一般地，设有三元二次方程 0222 GFzEyDxAzAyAx通过配方可以化成（通过配方可以化成（2）的形式，）的形式， 那么它的图形就是一个球面。那么它的图形就是一个球面。 例例3 方程方程 042222 yxzyx表示怎样的曲面表示怎样的曲面? 5这条这条定直线定直线叫做旋转曲面的叫做旋转曲面的轴轴. . 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面 叫做叫做旋转曲面旋转曲面， 就是所求旋转曲面的方程。就是所求旋转曲面的方程。 通常多考虑以坐标轴为旋转轴的旋转曲面通常多考虑以坐标轴为旋转轴的

5、旋转曲面.:C设设,0,yozzyf,SzyxM过过 M 点做点做 z 轴的垂面，与轴的垂面，与 z 轴交于轴交于P（0,0,z）点，交曲线点，交曲线 C 于于M1（0, y1 , z）, ,显然显然 1PMPM ,22yxPM,11yPM.221yxy022z,yxf(4)因为，因为，M1在曲线在曲线C上，其坐标应满足上，其坐标应满足 0z ,yf即：即：Cz ,y,M110MxyzoP（x,y,z)6面面yozzyf 0,:C设设绕绕 z轴旋转所成的旋转曲面的方程为轴旋转所成的旋转曲面的方程为 0,22zyxf0,22zxyf绕绕 y轴旋转所成的旋转曲面的方程为轴旋转所成的旋转曲面的方程为

6、 xoyyxf 0,:C设设0,22yzxf绕绕 y轴旋转所成的旋转曲面的方程为轴旋转所成的旋转曲面的方程为 0,22zyxf绕绕 x轴旋转所成的旋转曲面的方程为轴旋转所成的旋转曲面的方程为 zoxzxf 0,:C设设0,22zyxf绕绕 x轴旋转所成的旋转曲面的方程为轴旋转所成的旋转曲面的方程为 0,22zyxf绕绕 z轴旋转所成的旋转曲面的方程为轴旋转所成的旋转曲面的方程为 7旋转轴为旋转轴为 z 轴轴, 半顶角为半顶角为 的圆锥面的方程的圆锥面的方程. 试建立顶点在坐标原点试建立顶点在坐标原点 O, 解解: 在在 yOz坐标面上，坐标面上， tan:yzL cot22yxz或或,2222

7、yxaz(7) cota这就是圆锥面的方程。这就是圆锥面的方程。 Lzyxo111, 0zyMP例例4 4 直线直线L 绕另一条与绕另一条与L相交的直线旋转一周相交的直线旋转一周,所得旋转曲所得旋转曲 两直线的交点叫做圆锥面的两直线的交点叫做圆锥面的顶点顶点， 面叫面叫圆锥面圆锥面， 两直线的夹角两直线的夹角 20 叫做圆锥面的叫做圆锥面的半顶角半顶角。 zyxM,让让L绕绕z轴旋转轴旋转 8解：解：. 1:22222czyaxx 轴轴绕绕. 1:22222czayxz 轴轴绕绕这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面.,czax1 2222 例例5 5 xoz面上的双曲线面上的双

8、曲线 分别绕分别绕 轴和轴和 轴一周轴一周, 求所生成的旋转曲面的方程求所生成的旋转曲面的方程. xz将将xyzOxyzOx O z y 9平行于平行于 z 轴的直线轴的直线 l 叫做它的叫做它的母线母线。 222Ryx xOy面上的圆面上的圆 叫做它的叫做它的准线准线， lMyxzO例例6 6 方程方程 表示怎样的曲面表示怎样的曲面? 222Ryx 圆圆 222Ryx xOy在在 面：面： 解：解： 这曲面叫做这曲面叫做圆柱面圆柱面. 这曲面可以看作是由平行于这曲面可以看作是由平行于 z 轴轴 222Ryx 的直线的直线 l沿沿 xOy面上的圆面上的圆 平行移动而成平行移动而成, 在三维空间

9、直角坐标系中在三维空间直角坐标系中 R其实在其实在 yOz面内的一条直线面内的一条直线: ,Ry 绕绕z轴旋转而成的旋转轴旋转而成的旋转 曲面就是该圆柱面曲面就是该圆柱面, ,则圆柱面方程为则圆柱面方程为: : .22Ryx即即 .222Ryx10yxy22 Ozxxy22 表示母线平行于表示母线平行于 z 轴轴, 准线是准线是 xOy 面上的抛物线面上的抛物线 的的抛物柱面抛物柱面。 xy22 0 yx表示母线平行于表示母线平行于 z轴轴, 准线是准线是 xOy面上的直线面上的直线 0 yx 过过 Z 轴的轴的平面平面。 动直线动直线叫做柱面的叫做柱面的母线母线。 叫做叫做柱面柱面， 定曲线

10、定曲线 C 叫做柱面的叫做柱面的准线准线， l形成的轨迹形成的轨迹 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C平行移动的直线平行移动的直线 xyzo0 yx11. 0,:yxFC ,y,xF0 方程方程 在空间在空间 直角坐标系中表示：直角坐标系中表示： 母线平行于母线平行于 z轴的柱面轴的柱面, 其准线是其准线是 xOy面上的曲线面上的曲线 xyzoC ,y, xF0 . 0,:zxGC ,z , xG0 方程方程 在空间在空间 直角坐标系中表示：直角坐标系中表示： 母线平行于母线平行于 y轴的柱面轴的柱面, 其准线是其准线是 xOz面上的曲线面上的曲线 . 0,:zyHC ,z , y

11、H0 方程方程 在空间直角坐标系中表示：在空间直角坐标系中表示： 母线平行于母线平行于 x轴的柱面轴的柱面, 其准线是其准线是 yOz面上的曲线面上的曲线 方程中缺哪个字母，母线方程中缺哪个字母，母线平行于相应的轴。平行于相应的轴。12.zx:C0 ,zx0 方程方程 在空间直角坐标系中表示：在空间直角坐标系中表示： 其准线是其准线是 xOz面上的曲面上的曲(直直)线线: 母线平行于母线平行于 y轴的柱面轴的柱面, xyo0 zxz13小小 结：结： 1.曲面的概念曲面的概念2.球面方程球面方程 2202020Rzzyyxx 3.平面方程平面方程0 DCzByAx4.旋转曲面旋转曲面 5.锥面

12、的方程锥面的方程 ,yxaz2222 cota6. 6.柱面方程柱面方程 面面yozzyf 0,:C设设绕绕 z轴旋转所成的旋转曲面的方程为轴旋转所成的旋转曲面的方程为 0,22zyxf0,22zxyf绕绕 y轴旋转所成的旋转曲面的方程为轴旋转所成的旋转曲面的方程为 . 0,:zyHC ,z , yH0 方程方程 在空间直角坐标系中表示：在空间直角坐标系中表示：母线平行于母线平行于 x轴的柱面轴的柱面, 其准线是其准线是 yOz面上的曲线面上的曲线 14空间曲线可以看作两个曲面的交线空间曲线可以看作两个曲面的交线. . 0,:, 0,:21zyxGSzyxFS(1) . 0, 0,:zyxGz

13、yxFC方程组方程组(1)叫做叫做空间曲线空间曲线 C 的一般方程的一般方程.Ozyx1S2SC15所以曲线所以曲线C是圆柱面与平面的交线。是圆柱面与平面的交线。 1221 yx:S解：解：表示母线平行于表示母线平行于 z 轴的轴的圆柱面圆柱面, 其准线是其准线是 xOy面上的圆面上的圆 , 在原点在原点, 半径为半径为1.圆心圆心 6322 zx:S表示母线平行于表示母线平行于 y 轴的柱面轴的柱面, 面上的直线，面上的直线， 其准线是其准线是 xOz它是一平面它是一平面. 例例1 1 方程组方程组 632122zxyx:C表示怎样的曲线表示怎样的曲线?xyzoC16方程组就表示上述半球面与

14、圆柱面的交线。方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线。 解：解： 方程组中第一个方程表示球心方程组中第一个方程表示球心 在坐标原点，半径为在坐标原点，半径为 a的上半球面；的上半球面； 第二个方程表示母线平行于第二个方程表示母线平行于 z轴的圆柱面，轴的圆柱面， 它的准线是它的准线是 xOy面上的圆，面上的圆， ,a 02 圆心在点圆心在点 半径为半径为 .a2xyzo例例2 2 方程组方程组 22222222ayaxyxaz表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 17 tzztyytxx叫做叫做空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程。zyxzO z , y,xM18当当 2t 时，时， bvz 22叫

15、做螺旋线的叫做螺旋线的螺距螺距。 取时间取时间 t 为参数，为参数， 设当设当0 t时，时， 00,aA动点位于动点位于 x轴上的一点轴上的一点 处，处， A ,z , y,xM经过时间经过时间 t ， 动点由动点由 运动到运动到 MxOy, M记记 在在 面上的投影为面上的投影为 所以所以 tax cosvtz tay sin解解: 例例3 3 构成的图形叫做构成的图形叫做螺旋线螺旋线，试建立其参数方程。，试建立其参数方程。MM222ayx z 如果空间一点如果空间一点 在圆柱面在圆柱面 上以角速度上以角速度 绕绕 z轴旋转，同时又以线速度轴旋转，同时又以线速度 沿平行于沿平行于 轴的正方向

16、上升，轴的正方向上升， 那么点那么点 v则则 M的坐标为的坐标为: : 0 , yxMxyzo zyxM, v2A t 0 ,yxM P21 P21 19 设空间曲线设空间曲线 的一般方程为的一般方程为C0,0,zyxGzyxF（1） 消去变量消去变量 z 得方程得方程 0 y,xH（2） 它必定包含它必定包含 方程（方程（2）表示一个母线平行于）表示一个母线平行于 轴的柱面，轴的柱面， zC以曲线以曲线 为准线、母线平行于为准线、母线平行于 z轴的柱面叫做轴的柱面叫做曲线曲线 C关于关于 xOy面的投影柱面面的投影柱面。 ,C曲线曲线 投影柱面与投影柱面与 xOy面的交线面的交线叫做叫做空间

17、曲线空间曲线 投影曲线投影曲线， 或简称或简称投影投影。 C在在 xOy面上的面上的 OCzyx投影柱面投影柱面投影曲线投影曲线 曲线曲线 C 和其投影都在其投影柱面内。和其投影都在其投影柱面内。 20方程（方程（2）即）即 00zy,xH而方程而方程所表示的曲线为空间曲线所表示的曲线为空间曲线 C在在面上的投影。面上的投影。 xOy所所表示的柱面表示的柱面即即空间空间曲线曲线 0 y,xHC关于关于 xOy面的投影柱面面的投影柱面。 OCzyx面的投影柱面面的投影柱面? C在在 zOxyOz、面上的投影面上的投影? 空间曲线空间曲线 C关于关于 zOxyOz、空间曲线空间曲线 问题：问题：

18、21螺旋线螺旋线在三个坐标平面上的投影（用直角坐标方程表示）在三个坐标平面上的投影（用直角坐标方程表示）？tax cosvtz tay sin（1）关于）关于 面的投影柱面面的投影柱面 ： xOy则在则在 面上的投影为：面上的投影为： xOy222ayx 222ayx 0 z yOz（2）关于）关于面的投影柱面：面的投影柱面： zvay sin则在则在面上的投影为：面上的投影为： yOzzvay sin0 x zvax coszOx（3）关于）关于面的投影柱面：面的投影柱面： 0y zvax coszOx则在则在面上的投影为：面上的投影为： P18 P18 2202222 yyx0 z于是两球

19、面的交线在于是两球面的交线在 面上的面上的投影投影方程为方程为 xOy 解：解：1 zy从（从（1）式减去（）式减去（2）式并化简得：）式并化简得： 方程为方程为 02222 yyxyz 1再以再以代入（代入（1），）， 柱面柱面， C的关于的关于 xOy面的面的投影投影 得交线得交线 例例4 已知两球面的方程为已知两球面的方程为 1222 zyx（1） 111222 zyx（2）求它们的交线求它们的交线 C在在 面上的投影方程。面上的投影方程。 xOy23xyzo例例5 5 设一个立体由上半球面设一个立体由上半球面 224yxz 和锥面和锥面 223yxz所围成，所围成， 面上的投影。面上的

20、投影。 xOy求它在求它在消去消去z得得 122 yx122 yx0 z因此交线因此交线 C 在在 面上的投影曲线为面上的投影曲线为 xOy122 yx于是所求立体在于是所求立体在 xOy面上的投影，面上的投影， 所围的部分：所围的部分： xOy面上面上 就是该圆在就是该圆在 解：解：C：224yxz 223yxz半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 24小小 结：结： 1.空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 .z , y,xG,z , y,xF:C002.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 tzztyytxx3.空间曲线的投影柱面及在坐标平面上的投影空间曲线的投影柱面及在坐标平面上的投影 25交线交线C：122 yx3 z224yxz 223yxz 上半部分上半部分球缺球缺224yxz 3 z面上的投影面上的投影yOz在在24yz 3 z0 x下半部分下半部分锥体锥体223yxz30 z24yz yz3 yz3 0 x 所围成的部分。所围成的部分。xyzo面上的投影面上的投影?yOz它在它在*. 0; 1 ,32xyyz面上的投影面上的投影yOz在在001,310,3xyyyyz即即: