《圆锥曲线新题型及定点问题分析》(共11页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上高三冲刺讲义：圆锥曲线新题型及定点问题分析圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容合热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力、计算能力要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化思想与划归思想的应用。定点问题与定值问题是这类题目的典型代表，下面我们就着重研究这些2类问题；在圆锥曲线中，有一类曲线系方程，对其参数取值不同时，曲线本身的性质不变，或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值定点问题。圆锥曲线中的几何量，有些与参数无关，这就构成了定值定点问题，她涵盖两类问题，一是懂曲线景观定点问题；二是动曲线的某些几何

2、量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题。在几何问题中，有些几何量与参变数无关，即定值问题，这类问题求解策略是通过应有赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形。所以在圆锥曲线的综合性问题里，定点定值问题往往是我们学习的一个难点.对于这类问题的学习，通常有两种处理方法:从特殊人手，求出定点或定值，再证明这个点(值)与变量无关.直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而得到定点(定值).而第二个方法又是我们深入且归纳的重点方法，其中又包括：1、通过定义代入化简；2、通过平面几何知识或三角知识代入；3、通过韦达定理化简；下面我们就来介绍这些题型：题型一：通过代入化简得定值

3、例1：已知为椭圆上的一点，其中为椭圆的左右焦点；求证：。证明：同理得证：题型二：通过平面几何知识化简得到例2：已知椭圆的方程为，右焦点为，直线与圆相切于点，且在轴的右侧，设直线交椭圆于不同两点.（1）若直线的倾斜角为，求直线的方程；xyFQABlO（2）求证：.提示：用代入法转化AF，AQ=；从而化简出是一个常值。解（1）设直线的方程为，则有，得又切点在轴的右侧，所以，所以直线的方程为 （2）因为为直角三角形，所以来K又得 又得 所以，同理可得 所以 题型三：通过定义化简得到：例3：某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，点为轴上一点，记，

4、其中为锐角（1）求抛物线方程；（2）求证：（3）如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求的大小？第(3)问提示：，；想想BF和DF如何参加他们也可以写出来。之后面积问题就转化为三角求最值问题了。解析:（1） 由抛物线焦点得,抛物线方程为 （2） 设，则点所以，既解得 ；（3）同理： ， ， “蝴蝶形图案”的面积令, 则, 时,即“蝴蝶形图案”的面积为8 题型四：通过韦达化简得到例4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，是上的动点（1）求的最大值；（2）若平行于的直线在轴上的截距为，直线交椭圆于两个不同点，求证：直线与直线的倾斜角互补解（1）设椭圆的方程为将代入椭圆的方程，得 2分解

5、得，所以椭圆的方程为 2分设点的坐标为，则又是上的动点，所以，得，代入上式得，故时，的最大值为（2）因为直线平行于，且在轴上的截距为，又，所以直线的方程为由 得 设、，则又 故又，所以上式分子 故所以直线与直线的倾斜角互补题型五、通过类比结论得到例5：椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点. 若的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为. （1）求椭圆的方程； （2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且.若直线的斜率之和为0，求证：为定值.解：（1）设椭圆的方程为，由题意知：左焦点为所以， 解得， 故椭圆的方程为 （方法2、待定系数法）（2）设，由：， 两式相减，得到所以，即， 同理，所以，

6、又因为直线的斜率之和为0，所以 方法2、(可参照方法1给分)设直线：，代入椭圆，得到，化简得 (以下略) 题型六：其他综合问题例6：已知抛物线：，直线交此抛物线于不同的两个点、（1）当直线过点时，证明为定值；（2）当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）如果直线过点，过点再作一条与直线垂直的直线交抛物线于两个不同点、设线段的中点为，线段的中点为，记线段的中点为问是否存在一条直线和一个定点，使得点到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由答案：（1）；（2）（3）存在直线，点，点到它们的距离相等例7：在平面直角坐标系中，方向向量为的

7、直线经过椭圆的右焦点，:与椭圆相交于、两点（1）若点在轴的上方，且，求直线的方程；（2）若，且的面积为，求的值；（3）当（）变化时，是否存在一点，使得直线和的斜率之和为,若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）；（2）；（3）存在一点。例8：动圆过定点且与直线相切，其中.设圆心的轨迹的方程为.（1） 求；（2） 曲线上的一定点方向向量的直线（不过点）与曲线交于、两点，设直线、斜率分别为、，计算；（3）曲线上的两个定点、分别过点、做倾斜角互补的两条直线、分别与曲线交于、两点，求证直线的斜率为定值.答案：（1）；（2）= =0. （3） 例:9： 已知椭圆的方程为，其焦点在轴上，点为椭

8、圆上一点（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点满足，其中、是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值；（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点，使得为定值？ 若存在，给出证明；若不存在，请说明理由答案：（1） ；（2） （定值） （3） 存在点A()、B（），使得=（定值）例10：设抛物线的焦点为，经过点的动直线交抛物线于点，且（1）求抛物线的方程；（2）若（为坐标原点），且点在抛物线上，求直线倾斜角；（3）若点是抛物线的准线上的一点，直线的斜率分别为求证：当为定值时，也为定值答案：（1）（2）直线的倾斜角为或（3），可得， 由（2）知又， ，又为定值，所以也为定值例11：已知双曲线的

9、中心在原点，是它的一个顶点，是它的一条渐近线的一个方向向量.(1) 求双曲线的方程；(2) 若过点()任意作一条直线与双曲线交于两点 (都不同于点)，求证：为定值；(3) 对于双曲线G:，为它的右顶点，为双曲线G上的两点(都不同于点)，且，那么直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）.情形一：双曲线及它的左顶点； 情形二：抛物线及它的顶点；情形三：椭圆及它的顶点.答案：（1）；（2）=0为定值；（3）过定点(,0). 情形一：在双曲线G ：中，若为它的左顶点，为双曲线G上的两点(都不同于点)，且，则直线过

10、定点(,0). 情形二：在抛物线中，若为抛物线上的两点(都不同于原点)，且，则直线过定点. 情形三：（1）在椭圆中，若为它的右顶点，为椭圆上的两点(都不同于点), 且，则直线过定点(,0)；（2）在椭圆中，若为它的左顶点，为椭圆上的两点(都不同于点)，且，则直线过定点(,0) ；（3）在椭圆中，若为它的上顶点，为椭圆上的两点(都不同于点), 且，则直线过定点(0,)； （4）在椭圆中，若为它的下顶点，为椭圆上的两点(都不同于点), 且，则直线过定点(0,). 【课后作业】1.A、B是抛物线（p0）上的两点，且OAOB，求证：（1）A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；（2）直线AB经

11、过一个定点。证明：（1）设A（）、B（），则，。=，为定值，也为定值。（2），直线AB的方程为：，直线AB过定点（2p，0）。2.已知抛物线方程为，点A、B及点P(2，4)都在抛物线上，直线PA与PB的倾斜角互补。（1）试证明直线AB的斜率为定值；解析：（1）证明：把P(2，4)代入，得h=6。所以抛物线方程为：y4=k(x2)，由，消去y，得。所以，因为PA和PB的倾角互补，所以，用k代k，得，所以=。3、设抛物线（p0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴，证明：直线AC经过原点。方法1：设直线方程为，A，B，C，又，即k也是直线OA的斜率，所以

12、AC经过原点O。当k不存在时，ABx轴，同理可证。xyFBACDO图3NE方法2：如图2过A作ADl，D为垂足，则：ADEFBC连结AC与EF相交于点N，则，由抛物线的定义知：|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，.4、已知点，、是平面直角坐标系上的三点，且、成等差数列，公差为，（1）若坐标为，点在直线上时，求点的坐标；（2）已知圆的方程是，过点的直线交圆于两点，是圆上另外一点，求实数的取值范围；（3）若、都在抛物线上，点的横坐标为，求证：线段的垂直平分线与轴的交点为一定点，并求该定点的坐标答案：（1）的坐标为或 （2） 当时， 或 ；当时，或（3） 直线与轴的交点为定点 5、已知椭圆的中心

13、在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标答案：（1）（2）：直线过定点，定点坐标为6、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，且 （）求椭圆的方程； （）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由答案：（1）；（2）所以；7、已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，且，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。 （I）求椭圆的标准方程； （）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围； （）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。答案：（1）；（2）当时，有成立。（3）在轴上存在定点，使得三点共线。专心-专注-专业