13年高考真题——理科数学(湖南卷)(共7页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南）卷数学（理科）一选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限2某学校有男、女学生各500名，为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）（A）抽签法 （B）随机数法 （C）系统抽样法 （D）分层抽样法3锐角中，角所对边长分别为，若，则角等于（ ） （A） （B） （C） （D）4若变

2、量满足约束条件，则的最大值是（ ）（A） （B）0 （C） （D）5函数的图像与函数的图像的交点个数为（ ）（A）3 （B）2 （C）1 （D）0 6已知是单位向量，。若满足，则的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 7已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ） （A）1 （B） （C） （D）8在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）。若光线经过的中心，则等（ ）（A）2 （B）1 （C） （D）二填空题（本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分）（一）选做题（请考生在第9、10、1

3、1三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分） 9在平面直角坐标系中，若（为参数）过椭圆（为参数）的右顶点，则常数_。 10已知，则的最小值为_。 11如图2，在半径为的中，弦相交于点，则圆心到弦的距离为 。（二）必做题（12-16题） 12若，则常数的值为_。 13执行如图3所示的程序框图，如果输入，则输出的的值为_。 14设是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为_。 15设为数列的前项和，则_；_。 16设函数，记集合不能构成一个三角形的三条边长，且，则所对应的的零点的取值集合为_；若是的三条边长，则下列结论正确的是_（写出所有正确结论的序号）：；，使不能构成一个

4、三角形的三条边长；若为钝角三角形，则，使。三解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分12分）已知，。若是第一象限角，且，求的值；求使成立的的取值集合。123451484542 18（本小题满分12分）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量（单位：）与它的“相近”作物株数之间的关系如右表所示。这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好 “相近”的概率；从

5、所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。 19（本小题满分12分）在直棱柱中（如图5），。证明:；求直线与平面所成角的正弦值。 20（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，将从点出发沿纵、横方向到达点的任一路径成为到的一条“路径”。如图6所示的路径与路径都是到的一条“路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面内三点，处。现计划在轴上方区域（包含轴）内的某一点处修建一个文化中心。写出点到居民区的“路径”长度最小值的表达式（不要求证明) ；若以原点为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“路径”不能进入保护区，请确定点的位置，使其到三个居民区的“路径”长度值和最小。 21（本小题满

6、分13分）过抛物线焦点作斜率分别为的两条不同直线，且，相交于点，相交于点。以为直径的圆、圆（、为圆心）的公共弦所在的直线记为。若，证明：；若点到直线的距离的最小值为，求抛物线的方程。22（本小题满分13分）已知，函数。记在上的最大值为，求的表达式；是否存在，使函数在内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。2013年普通高校招生全国统考数学试卷（湖南卷）解答一BDDCB ACD二93；1012；11；123；139；14；15，；16， 17解：由题，。 由得，又，故。从而； 由，故集合为。 18解：所种作物的总株数，其中三角形内部的株数为3，边界

7、上的作物株数为12 。从三角形内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有种。故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好 “相近” 的概率为； 记为与其“相近”作物恰有株的作物株数，则， ，。由得，51484542；，。故所求分布列如右表所示，期望。 19解：如图，因为平面，平面，所以。又，所以平面。而平面，故；因，故直线与平面所成角等于直线与平面所成角（记为）。连结，因棱柱是直棱柱，且，故平面，从而。又，故四边形为正方形，于是，知平面，于是。由可知，故平面，知。在直角梯形中，因为，所以，从而，故，即，从而易得，即。连，在中，得。即直线所成

8、角的正弦值为。 20解：设。记点到点的“路径”的最短距离为，则易得； 由题点到三外居民区的“路径”长度之和的最小值为点分别到三个居民区的“路径”长度最小值之和（记为）的最小值。当时，。因，当且仅当时取等号。又，当且仅当时取等号。所以，当且仅当时取等号。类似可得，当且仅当时取等号。故当点位于时，到三个居民区的“路径”长度之和最小，且最小值为45；当时，由于“路径”不能进入保护区，故，由知，故。综上所述，在点处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“路径”长度之和最小。 21解：由题，设，。又，与的方程联立得，故，从而，因此。同理，知，因此。因为，所以，得，故，得证。设圆半径分别为，则，同理可得。因，故直线：，即，化简得。故到的距离，故，从而抛物线的方程为。 22解：当时，；当时，。故时，在单减；时，在单调递增。 若，则在单调递减，； 若，则在单减，在单增。所以。而，故当时，；当时，。综上所述，； 由知，若，则在单减，故不满足要求。若，则在单减，在单增，若存在，使在，两点处的切线互相垂直，则，且即，亦即 （*）。由，得，故（*）成立等价于与的交集非空。因为，所以当且仅当，即时，。综上所述，存在使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直，且的取值范围是。专心-专注-专业