高中数学线性规划考点解析及例题辅导(共8页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上简单的线性规划及实际应用高考要求 1了解二元一次不等式表示平面区域 2了解线性规划的意义并会简单的应用 知识点归纳1二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中,已知直线Ax+By+C=0,坐标平面内的点P(x0,y0)B0时,Ax0+By0+C0,则点P(x0,y0)在直线的上方;Ax0+By0+C0,则点P(x0,y0)在直线的下方对于任意的二元一次不等式Ax+By+C0(或0),无论B为正值还是负值,我们都可以把y项的系数变形为正数当B0时,Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0上方的区域;Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0下方的区域2线性规划:求
2、线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域);使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题线性规划问题一般用图解法,其步骤如下:(1)根据题意,设出变量x、y;(2)找出线性约束条件;(3)确定线性目标函数z=f(x,y);(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域);(5)利用线性目标函数作平行直线系f(x,y)=t(t为参数);(6)观察图形,找到直线f(x,y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置,以确定最优解,给出答
3、案题型讲解 例1 求不等式x1+y12表示的平面区域的面积分析:依据条件画出所表达的区域,再根据区域的特点求其面积解:x1+y12可化为或或或其平面区域如图面积S=44=8点评:画平面区域时作图要尽量准确,要注意边界例2 某人上午7时,乘摩托艇以匀速v n mile/h(4v20)从A港出发到距50 n mile的B港去,然后乘汽车以匀速w km/h(30w100)自B港向距300 km的C市驶去应该在同一天下午4至9点到达C市设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h、y h(1)作图表示满足上述条件的x、y范围;(2)如果已知所需的经费p=100+3(5x)+2(8y)(元),那么v、w分
4、别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?分析:由p=100+3(5x)+2(8y)可知影响花费的是3x+2y的取值范围解:(1)依题意得v=,w=,4v20,30w1003x10,y 由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间,即9x+y14 因此,满足的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界) (2)p=100+3(5x)+2(8y),3x+2y=131p设131p=k,那么当k最大时,p最小在通过图中的阴影部分区域(包括边界)且斜率为的直线3x+2y=k中,使k值最大的直线必通过点(10,4),即当x=10,y=4时,p最小此时,v=125,w=30,p的最小值为9
5、3元点评:线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式然后分析要求量的几何意义例3 某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车,有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元,乙型卡车每辆每天的成本费为160元问每天派出甲型车与乙型车各多少辆,车队所花成本费最低?分析:弄清题意,明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数,找出它们的约束条件,列出目标函数,用图解法求其整数最优解解:设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆,车队所花成本费为z元,那么z=252x+160y
6、,作出不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图 作出直线l0:252x+160y=0,把直线l向右上方平移,使其经过可行域上的整点,且使在y轴上的截距最小观察图形,可见当直线252x+160y=t经过点(2,5)时,满足上述要求此时,z=252x+160y取得最小值,即x=2,y=5时,zmin=2522+1605=1304答:每天派出甲型车2辆,乙型车5辆,车队所用成本费最低点评:用图解法解线性规划题时,求整数最优解是个难点,对作图精度要求较高,平行直线系f(x,y)=t的斜率要画准,可行域内的整点要找准,最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点例4 设,式中变量满足条件 求的最大值和最小值
7、解:由已知,变量满足的每个不等式都表示一个平面区域,因此所表示的区域为如图中的四边形ABCD 当过点C时,取最小值,当过点A时,取最大值即当时,当时,例5 某糖果公司得一条流水线不论生产与否每天都要支付3000元的固定费用,它生产1千克糖果的成本是10元,而销售价是每千克15元,试问:每天应生产并销售多少糖果,才能使收支平衡,即它的盈亏平衡点是多少?解:设生产千克的糖果的成本函数为,销售千克的糖果的收益函数为,在同一坐标系中画出它们的图像,交点的横坐标就是反映盈亏平衡的产销量,令,得,即每天必须生产并销售600千克糖果,这条流水线才能做到盈亏平衡,从图中可以看出,当时,表示有盈利,反之则表示亏
8、本例6 某人有楼房一幢,室内面积共180m,拟分隔成两类房间作为旅游客房,大房间每间面积为18,可住游客5名,每名游客每天住宿费为40元,小房间每间面积为15,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元,装修大房间每间需要1000元,装修小房间每间需要600元,如果他们只能筹8000元用于装修,且游客能住满客房,它应隔出大房间和小房间各多少间,能获最大利益? 解:设应隔出大房间间和小房间间,则且,目标函数为,作出约束条件可行域:根据目标函数,作出一组平行线当此线经过直线和直线的交点,此直线方程为,由于不是整数,所以经过整点(3,8)时,才是他们的最优解,同时经过整点(0,12)也是最优解即应隔大
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