千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第21炼-多元不等式的证明-Word版含解析(共20页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业第 21 炼 多元不等式的证明多元不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处如何构造合适的一元函数，本章节以一些习题为例介绍常用的处理方法。一、基础知识1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作：（1）利用条件粗略确定变量的取值范围（2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等） ，以备使用2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个n元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式） ，则可对变量进行定序3、证明多元不等式通常的方法有两个（1）消元： 利用条件代入消元 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元（2

2、）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。二、典型例题：例 1： 已知 2ln , ( )fxx g xfxaxbx， 其中 g x图像在 1,g 1处的切线平行于x轴（1）确定a与b的关系（2）设斜率为）设斜率为k的直线与的直线与 fx的图像交于的图像交于112212,A x yB xyxx，求证：，求证：2111kxx解： （1） 2lng xxaxbx 12gxaxbx，依题意可得： 112021gabba （2）思路：21212121lnlnyyxxkxx

3、xx，所证不等式为2122111lnln1xxxxxx即21221211lnxxxxxxxx，进而可将21xx视为一个整体进行换元，从而转变为证明一元不等式精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解：依题意得21212121lnlnyyxxkxxxx，故所证不等式等价于：212122112222112112111lnln1ln1ln1xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 令21,(1)xttx，则只需证：11ln1ttt 先证右边不等式：ln1ln10tttt 令 ln1h xtt 111th ttt h t在1,单调递减 10h th即ln10tt 对于左边不等式：111lnln10t

4、ttt 令1( )ln1p ttt，则 22111tp tttt p t在1+，单调递增 10p tp小炼有话说：（1）在证明不等式2122111lnln1xxxxxx时，由于12,x x独立取值，无法利用等量关系消去一个变量，所以考虑构造表达式12,fx x：使得不等式以12,fx x为研究对象，再利用换元将多元不等式转变为一元不等式（2）所证不等式为轮换对称式时，若12,x x独立取值，可对12,x x定序，从而增加一个可操作的条件例 2：已知函数 lnfxxx（1）求)(xf的单调区间和极值；（2）设）设1122,A xfxB xfx，且，且12xx，证明：，证明：2112212fxfx

5、xxfxx解：（1）定义域为0,精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 ln1fxx令 0fx 解得：1xe fx的单调增区间是1,e，单调减区间是10,e fx的极小值为1111lnfeeee ，无极大值（2）思路：所证不等式等价于证22111221lnlnln12xxxxxxxx，轮换对称式可设12xx，进而对不等式进行变形，在考虑能否换元减少变量证明：不妨设12xx12()2ABxxkf22111221lnlnln12xxxxxxxx121222112121lnlnlnln22xxxxxxxxxxxx（由于定序12xx，去分母避免了分类讨论）212121121222lnlnxxxxx

6、xxxxx（观察两边同时除以1x，即可构造出关于21xx的不等式）两边同除以1x得，2212221111122lnln111xxxxxxxxxx令21xxt，则1t ，即证：22lnln111ttttt 令22( )lnln111tg ttttt 2221212( )ln112(1)2(1)tttg tttttt 2111lnln(1)1111tttttttt令101tm mt， ln 1h mmm（再次利用整体换元） 11011mh mmm ， h m在0,上单调递减，所以 00h mh即ln 1mm，即( )g t11ln(1)011tttt恒成立( )g t在(1,)上是减函数，所以(

7、)(1)0g tg精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业22lnln111ttttt 得证所以12()2ABxxkf成立小炼有话说：（1）本题考验不等式的变形，对于不等式212121121222lnlnxxxxxxxxxx而言，观察到每一项具备齐次的特征（不包括对数） ，所以同除以1x，结果为21xx或者 1，观察对数的真数，其分式也具备分子分母齐次的特点，所以分子分母同除以1x，结果为21xx或者 1，进而就将不等式化为以21xx为核心的不等式（2）本题进行了两次整体换元，第一次减少变量个数，第二次简化了表达式例 3：已知函数21( )2xf xexax（aR） （1）若函数 fx在R上

8、是增函数，求实数a的取值范围；（2）如果如果函数函数 212g xfxax恰有两个不同的极值点恰有两个不同的极值点12,x x,证明：证明：12ln22xxa解：（1） fx是R上是增函数 ,0 xxR fxexa (注意：单调递增导数值0）minxaex设 xh xex 1xhxe令 0hx 解得0 x 故 h x在,0单调递减，在0 +，单调递增 min01h xh1a（2）思路： 2212xg xfxaxeaxax， 2xgxeaxa。所证不等精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业式含有 3 个字母，考虑利用条件减少变量个数。由12,x x为极值点可得12122020 xxeaxae

9、axa从而可用12,x x表示a，简化所证不等式。解：依题意可得： 2212xg xfxaxeaxax， 2xgxeaxa12,x x是极值点121122020020 xxgxeaxagxeaxa两式相减可得：12122xxeeaxx所证不等式等价于：1212121221212ln2xxxxxxxxeeeeexxxx，不妨设12xx两边同除以2xe可得：12122121xxxxeexx，（此为关键步骤：观察指数幂的特点以及分式的分母，化不同为相同，同除以2xe使得多项呈12xx的形式）从而考虑换元减少变量个数。令12txx0,t所证不等式只需证明：221+10tttteeteet，设 21tt

10、p xtee 2212tttpxee 由（2）证明可得：2102tte 0px p t在0 +，单调递减， 00p tp证明完毕原不等式成立即12ln22xxa小炼有话说：本题第（3）问在处理时首先用好极值点的条件，利用导数值等于 0 的等式消去a，进而使所证不等式变量个数减少。最大的亮点在于对121212ln2xxxxeexx的处理，此时对数部分无法再做变形，两边取指数，而后同除以2xe，使得不等式的左右都是以12xx为整体的表达式，再利用整体换元转化为一元不等式。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业例 4：已知 21 ln1f xaxax（1）讨论 f x的单调性（2）设）设2a ，

11、求证：，求证：121212,0,4x xf xf xxx解： （1）定义域0 x 21212aaxafxaxxx令 0fx ，即2221021axaaxa 0a 则 0fx 恒成立， f x为增函数0a 则212axa ， 0fx 恒成立， f x为增函数0a 时，212axa 当1a ，则 0fx 恒成立， f x为减函数当10a 时，解得：102axax10,2aa1,2aa fx f x（2）思路：所证不等式12124f xf xxx含绝对值，所以考虑能否去掉绝对值，由（1）问可知 f x单调递减，故只需知道12,x x的大小即可，观察所证不等式为轮换对称式，且12,x x任 取 ， 进

12、 而 可 定 序21xx， 所 证 不 等 式212144f xf xxx， 即221144f xxf xx，发现不等式两侧为关于12,x x的同构式，故可以将同构式构造一个函数，从而证明新函数的单调性即可。解：不妨设21xx，2a ，所以由第（1）问可得 f x单调递减，21f xf x精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业所 证 不 等 式 等 价 于 ：122111224444f xf xxxf xxf xx， 令 241 ln14g xf xxaxaxx ，只需证明 g x单调递减即可 2124124aaxxagxaxxx。设 2241h xaxxa方程 0h x 16 16116

13、210a aaa 00h xgx g x在0,单调递减。12g xg x即所证不等式成立小炼有话说：同构式以看作是将不同的变量放入了同一个表达式，从而可将这个表达式视为一个函数，表达式的大小与变量大小之间的关系靠函数的单调性进行联结。将不等式转化为函数单调性的问题。双变量的同构式在不等式中并不常遇到，且遇且珍惜。例 5：已知函数 22lnfxxxax.（1）当3a 时，讨论函数 yfx在1,2上的单调性；（2 2）如果）如果1212,x xxx是函数是函数 fx的两个零点，的两个零点， fx为函数为函数 fx的导数，证明：的导数，证明：12203xxf解： （1） 22fxxax可判断 fx在

14、1,2单调递减 141302fxfaa fx在1,2单调递减（2）思路： 22fxxax可得：1212122622323xxfxxaxx，含有三个字母，考虑利用条件减少字母的个数。由120fxfx可得：精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业211122222ln02ln0 xxaxxxax两式相减便可用12,x x表示a,即2121212lnxxaxxxx,代入可得：22211221212112211212ln626112ln32323xxxxxxxfxxxxxxxxxxx从而考虑换元法将多元解析式转变为一元解析式进行证明解：1212122622323xxfxxaxx1212,x xxx是

15、函数 fx的两个零点21111222222ln02ln0fxxxaxfxxxax2121212lnxxaxxxx212112211212212ln26261232323xxxxfxxaxxxxxxxx221103xx只需证2212112211212ln6602ln022xxxxxxxxxxxx21221131ln012xxxxxx，令21,1,xttx则设 31ln12th ttt下面证 0h t 10,h 214121tth ttt 1,0th t 恒成立 h t在1,单调递减， 10h th即12203xxf小炼有话说：（1） 体会在用12,x x表示a时为什么要用两个方程， 而不是只用2

16、1112ln0 xxax来表示a?精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业如果只用1x或2x进行表示，则1ln x很难处理，用12,x x两个变量表示a，在代入的时候有项21lnxx，即可以考虑利用换元法代替21xx,这也体现出双变量换元时在结构上要求“平衡”的特点（2）在21212112212ln261323xxxxfxxxxxx这一步中，对2113xx项的处理可圈可点，第三问的目的落在判断1223xxf的符号，而2113xx符号为负，且在解析式中地位多余（难以化成21xx)，所以单拿出来判断符号，从而使讨论的式子得到简化且能表示为21xx的表达式例 6： （2010 年天津，21）已知函

17、数 xfxxe（1）求函数 fx的单调区间和极值（2）已知函数 yg x的图像与函数 yfx的图像关于1x 对称，证明当1x 时， fxg x（3）如果）如果12xx，且，且12fxfx，求证：，求证：122xx解： （1） 1xxxfxxeex e 令 01fxx fx的单调区间为：x,11, fx f x fx的极大值为 11fe，无极小值（2）解：与 fx关于1x 轴对称的函数为2fx精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 222xg xfxx e所证不等式等价于证：220 xxxexe设 22xxh xxexe 10h 22221xxxxxxhxxeeexexee 2211xxex

18、e1x 2210 xe 0hx h x在1,单调递增 10h xh即 fxg x（3）思路：所给条件121212xxfxfxx ex e，但很难与122xx找到联系。首先考虑12,x x的范围，由（1）可得1x 是极值点，1212,fxfxx x应在1x 的两侧，观察已知和求证均为12,x x的轮换对称式，所以可设12xx，进而121xx ，既然无法直接从条件找联系，不妨从另一个角度尝试。已知条件给的是函数值，所证不等式是关于自变量的，121222xxxx，而221x，根据 fx的单调区间可发现212,x x同在单调递增区间中，进而与函数值找到联系121222xxfxfx由12fxfx可得所证

19、不等式等价于222fxfx，刚好使用第二问的结论。解：12fxfx，1x 是极值点12,x x在1x 的两侧，不妨设121xx 所证不等式等价于122xx而221x fx在,1单调递增121222xxfxfx12fxfx只需证明222fxfx21x 由第（2）问可得2222fxg xfx成立122xx得证小炼有话说： （1）本题第（3）问是利用函数的单调性，将自变量的不等式转化为函数值的不等关系，进而与前面问题找到联系。在处理此类问题感到无法入手时，不妨在确定变量的范精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业围后适当将其赋予一个函数背景，扩展不等式变形的空间（2） 本题第 （2）（3） 两问存

20、在图形背景。 首先说第三问： 所证不等式1212212xxxx， 即证12,xx xx的中点横坐标大于 1， 而1x 恰好是 fx的极值点。12fxfx可理解为 fx与一条水平线交于12,x x， 而1212xx说明什么？说明如果是以极大值点说明如果是以极大值点1x 为起点向两边走为起点向两边走， 左边下降的快而右边下降的慢左边下降的快而右边下降的慢！ 从函数角度来看说明 fx增长快下降慢 （如图） 。 那么如何使用代数方法说明函数快增长慢下降的特点呢？本题的第二问提供了一个方法，就是以极值点所在竖直线为对称轴，找 fx的对称图形（虚线） ，这样便把极值点左边的情况对称到右边来（即 g x）

21、，由于对称轴右边都是从1x 起开始下降，那么通过证明对称轴右侧原图像在对称图像的上方即可说明增减的相对快慢。例 7：已知函数 1ln,axfxaRx（1）求 fx的极值（2）若ln0 xkx对任意的0 x 均成立，求k的取值范围（3）已知120,0 xx且12xxe，求证：1212xxx x解： （1） 2lnaxfxx令 0fx 解得axe fx在0,ae单调增，在,ae单调递减 fx有极大值aaf ee，无极小值（2）lnln0 xxkxkx(参变分离法）maxln xkx设 ln xg xx(即1a 时的 fx) max1g xg ee1ke（3）思路：所求证不等式1212xxx x无法

22、直接变形，联系 ,fxg x的特点可以考虑不等 式 两 边 取 对 数 ， 即12121212lnlnlnxxx xxxxx， 由120,0 xx且12xxe可得12,0,x xe， 联系第 （2） 问的函数 g x即可寻找12ln,lnxx与12ln xx精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业的联系了。解：120,0 xx，12xxe12,0,x xe考虑 ln xg xx在0,e单调递增121121112111212lnlnlnlnxxxxxxg xg xxxxxxxx同理：122122212221212lnlnlnlnxxxxxxg xg xxxxxxxx11221212121212

23、lnlnlnlnlnxxxxxxxxxxxxxx即1212lnlnx xxx1212x xxx例 8：已知函数 lng xxbx（1）函数 g x有两个不同的零点12,x x，求实数b的取值范围（2）在（1）的条件下，求证：212x xe解： （1） g x有两个不同的零点12,x x，即ln0 xbx有两个不同的根ln xbx 设 ln xf xx 21ln xfxx 令 0fx 可得：1ln0 xxe f x在0,e单调递减，在, e 单调递增且x 时， 0f x ， 1f ee 1,0be （2）思路一：所证不等式中含有两个变量12,x x，考虑利用条件消元将其转化为一元不等式，由零点可

24、知1122ln0ln0 xbxxbx， 从中可以找到12x x， 即1212ln x xb xx ， 下面只需用12,x x精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业将b消掉即可，仍然利用方程组两式作差可得2112lnxxbxx，从而21211212lnlnxxxxx xxx ，只需证明212112ln2xxxxxx，两边同除以1x，即可利用换元将所证不等式转为一元不等式来进行证明解：不妨设21xx由已知可得：1122ln0ln0 xbxxbx1212ln x xb xx 即只需证明：122b xx，在方程1122ln0ln0 xbxxbx可得：2121lnxb xxx2112lnxxbxx只

25、需证明：211212ln2xxxxxx即2221122211222111111lnln221ln211xxxxxxxxxxxxxxxxxx令21xtx，则1t ，所以只需证明不等式：1ln211ln220tttttt设 1ln22h tttt 10h 11ln2ln1th ttttt 10h 221110th tttt h t在1,单调递增 10h th h t在1,单调递增 10h th，即不等式得证122b xx即12ln2x x 212x xe思路二：参照例题 6 的证明方法，构造一个单调的函数，进而将自变量的不等式转化为函数精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业值的不等式进行证明。

26、由（1）可知在构造的函数 ln xf xx 中，有12f xf xb，且 f x在0,e单调递减，在, e 单调递增，所以考虑使用 f x来进行转换，所证不等式221212ex xexx， 通 过 （ 1 ） 中 的 数 形 结 合 可 知120 xex， 从 而 有2120,0,exeex，所以所证不等式转化为212ef xfx，即222ef xfx，转化为关于2x的一元不等式，再构造函数证明即可解：所证不等式221212ex xexx因为 lng xxbx有两不同零点12,x x12,x x满足方程lnln0 xxbxbx ，由（1）可得：120 xex考虑设 ln xf xx ，12f

27、xf x由（1）可得： f x在0,e单调递减，在, e 单调递增120 xex2120,0,exeex结合 f x的单调性可知：只需证明212ef xfx12f xf x所以只需证明：2222220eef xff xfxx即证明：222222222222222222lnln0lnln02ln0exeexxxxxexexxxx设 2222ln ,h xxxex xe，则 0h e 222142 ln32 lneh xxxexxxxxxx，则 0h e 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 222232 1ln12lneehxxxxx ，则 0h e hx单调递减 0hxh e h x单调

28、递减 0h xh e h x单调递减 0h xh e即222222ln0 xxex得证212ef xfx得证，从而有221122exx xex例 9：已知函数 211ln4fxxxxaa，其中常数0a （1）求 fx的单调区间（2 2）已知）已知102a，若，若1212,x xa axx ，且满足，且满足120fxfx，试证明：，试证明： 120fxxf解： （1）定义域,xa 2211122x axafxxaxaa xa令 0fx 即220 x axa21220,axxaa 1202xxax,0a220,aa22,aa fx f x122xxa 0fx 恒成立 fx在,+a单调递增122xx

29、a精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业x22,aaa22,0aa0, fx f x（2）思路一：分别用12,x x a表示出12fxx，并利用120fxfx进行代换，然后判断12fxx的符号即可。解：121212112xxfxxaxxa， 00f，所以只需证明：120fxx120fxfx12121212121111112110222xxfxfxxxaxaaxaaxaxa即12122112xxaxaxa只需证12121211110fxxaaxxaxax1211221111fxxaaxaxxax21211111221122axaxxaxaxxa axaxxaxa axaxxax1221111

30、22axxaxa axxa axaxxax222211222111122aaxaxx xaxxaaxxa axaxxax21222121121122112222x xaxxxxaxx xa axaxxaxa axaxxax121,0,2x xa aa 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业12120,0,20 xaxaxxa若要证120fxx，只需证明：12120 x xaxx即可下面判断12,x x的范围 1112fxxaxaaxa 22221122xafxxaxa10,2a22222420 xaaaa fx单调递减，不妨设12xx 1200,0ffxfx120axxa 1212210,

31、0 x xxxaxxa12120 x xaxx得证120fxx即不等式 120fxxf得证思路二：在证明12121211110fxxaaxxaxax时，固定2x(视为一个参数） ，将1ax作为一个整体视为自变量，构造函数判断12fxx符号解：考虑证明12121211110fxxaaxxaxax同思路一判断出120axxa 令1xax0,xa设 221111g xaxxxax 222222222110 xxxgxxxxxxx g x在0,a单调递增 10g axg a即12121211110fxxaaxxaxax不等式得证小炼有话说： （1）思路一的方法比较直接，在整理完12fxx后通分判断符号

32、。其中证明精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业120 xx借鉴了例 6 的思路，通过单调性将自变量的大小关系转化为函数值的大小关系，构造函数证明。（2）思路二为我们提供了一个证明多元不等式的方法：可固定其中一个变量，视其为参数，以另一个变量作为自变量构造函数，计算出最值，对原表达式进行一次放缩，然后再将先前固定的变量视为自变量构造函数证明不等式，这种方法也称为调整法（3）第（3）问中对12,x x范围的判定是一个亮点，利用极值点与单调性来进行判定。此方法通过图像更为直观，所以在判断变量范围时可以考虑做出草图，然后观察其大概位置，在用代数语言进行说明和证明。例 10：已知函数 xf xea

33、xb，其中,2.71828.a bR e（1）当ba 时，求 f x的极小值（2 2） 当当0,aba 时时， 设设 fx为为 f x的导函数的导函数， 若函数若函数 f x有两个不同的零点有两个不同的零点12,x x，且且12xx，求证求证：121223lnx xfafxx解： （1） xf xeaxa xfxea 当0a 时， 0fx 恒成立 f x为增函数，无极小值 当0a 时，令 0 xfxea，解得lnxa f x在,lna单调递减，在ln , a 单调递增 f x有极小值为lnlnln2lnafaeaaaaaa（ 2 ） 思 路 ： xf xeaxa， 可 得23ln3ln1faa

34、 aa ，1 212212122x xxxx xfeaxx，考虑减少变量个数。由12,x x是零点可得：121200 xxeaxaeaxa，可 得1212xxeeaxx， 若 直 接 代 入 不 等 式 消 去a， 则 不 等 式 过 于 复 杂 。 且121223lnx xfafxx之 间 很 难 通 过 变 形 构 造 函 数 ， 所 以 考 虑 分 别 判 断精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业121223ln,x xfafxx的 取 值 范 围 ， 寻 找 它 们 之 间 的 “ 中 间 量 ”。 构 造 函 数 23ln1p aaa， 通 过 判 断 单 调 性 可 得 到 0

35、p a ， 从 而3ln0fa ， 而1 21 2121212221212122x xx xxxxxxxx xeefeaexxxx，不利于通过换元减少变量个数，但观察到1212121222112x xxxxxxx，从而122112121222122212121221xxxxxxxxxxx xeeeefeexxxxxx，可通过换元212xx构造函数 ，再分析其最值即可得到121220 x xfxx，从而通过桥梁“0”证明不等式解： xf xeaxa xfxea323ln3 ln3ln1faaaaaa aa1 212212122x xxxx xfeaxx f x有两个不同的零点12,x x1122

36、112200 xxxxeaxaeeaxxeaxa1 2121221212122x xxxxxx xeefexxxx考虑：23ln3ln1faa aa，设 23ln1p aaa 2662223232aaap aaaaa，因为0a p a在60,2单调递减，在6,+2单调递增 min6363ln10222p ap 0p a 3ln0faa p a精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业再考虑1 2121221212122x xxxxxx xeefexxxx1212121222112x xxxxxxx122112121222122212121221xxxxxxxxxxx xeeeefeexxxxxx1221122212212xxxxxxxxeeexx设2102xx，则122122121222xxxxxxeeeeTxx设 =2ee 1220eeee 在0,+单调递减 00 0T，进而121220 x xfxx综上可得：121223ln0 x xfafxx