2017届高三数学复习专题7三角恒等变换与解三角形(共58页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2017届高三数学复习专题7三角恒等变换与解三角形1(2016课标，5，易)若tan ，则cos22sin 2()A. B.C1 D.1Acos22sin 24.2(2016课标，9，中)若cos，则sin 2()A. B.C D2 Dsin 2coscos2cos2121.3(2015课标，2，易)sin 20cos 10cos 160sin 10()A B.C D.3D原式sin 20 cos 10cos 20 sin 10sin 30.4(2013浙江，6，中)已知R，sin 2cos ，则tan 2()A. B. C D4C方法一(通法)：由可解得或因此tan

2、 或tan 3，于是tan 2.方法二(优法)：(sin 2cos )2，展开得3cos24sin cos ，再由二倍角公式得cos 22sin 20，故tan 2，选C.5(2014课标，8，中)设，且tan ，则()A3 B3C2 D25C由tan 得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin.，由sin()sin，得，2，故选C.思路点拨：通过切化弦将已知条件转化为角，的正弦与余弦的关系式，然后根据诱导公式得到角之间的关系6(2016四川，11，易)cos2sin2_.6【解析】cos2sin2cos.【答案】7(2016浙江，10，易)已知2cos2xsin

3、 2xAsin(x)b(A0)，则A_，b_.7【解析】2cos2xsin 2xAsin(x)b，sin 2xcos 2x1Asin(x)b.sin1Asin(x)b，A，b1.【答案】18(2015四川，12，易)sin 15sin 75的值是_8【解析】方法一：sin 15sin 75sin 15cos 15(sin 15cos 45cos 15sin 45)sin 60.方法二：由于(sin 15sin 75)2(sin 15cos 15)212sin 15cos 151sin 30，又sin 150，sin 750，所以sin 15sin 750，故sin 15sin 75.【答案】9

4、(2013四川，13，易)设sin 2sin ，则tan 2的值是_9【解析】方法一：sin 2sin 2sin cos sin ，sin 0，cos ，则sin ，tan ，tan 2.方法二：同方法一，得cos ，又，则.tan 2tan.【答案】10(2014江苏，15，14分，中)已知，sin .(1)求sin的值；(2)求cos的值10解：(1)因为，sin ，所以cos .故sinsincos cossin .(2)由(1)知sin 22sin cos 2，cos 212sin212，所以coscoscos 2sinsin 2.高考对三角恒等变换的考查主要有三个角度：(1)给角求值

5、；(2)给值求角；(3)给值求值试题以选择题、填空题出现，分值为5分以解答题的形式出现时，一般为中、低档题目，分值为12分 (1)(2013重庆，9)4cos 50tan 40()A.B.C.D21(2)(2015江苏，8)已知tan 2，tan()，则tan 的值为_(3)(2014广东，16，12分)已知函数f(x)Asin，xR，且f.求A的值；若f()f()，求f.【解析】(1)原式4sin 40，故选C.(2)方法一：tan tan()3.方法二：由于tan()，所以由已知得，解得tan 3.(3)fAsinAsinA，A.f()f()sinsin2cos sincos ，cos .

6、又，sin .fsin()sin .题(1)是典型的给角求值问题，解决的关键是将式中的非特殊角通过运用角的变换及相关公式转化为特殊角，再通过分子分母约分、正负项抵消等方法求得结果在转化特殊角时，利用了两角和与差的公式题(2)是典型的给值求值问题，解题关键是寻求已知角与未知角的关系，巧妙借助角的变换求解(方法一)，方法二根据公式，通过解方程求值解题(3)的思路是由f的值直接求出A的值；化简f()f()可得cos 的值，由同角三角函数的基本关系及角的范围可求得sin ，再化简f可得答案 (2015山东淄博二模，11)若x，y都是锐角，且sin x，tan y，则xy_.【解析】由x，y都是锐角，且

7、sin x，tan y，可得cos x，sin y，cos y.cos(xy)cos xcos ysin xsin y.故xy.【答案】,三角函数求值的类型及方法(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数，有时，虽不能转化为特殊角，但可通过分子分母的约分、正负项的相互抵消达到化简求值的目的(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含

8、已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围1(2015安徽阜阳期末，7)化简()A1 B. C. D21.C原式.2(2016河北保定一模，6)已知cossin，则tan 的值为()A1 B1 C. D2B由已知得cos sin sin cos ，整理得，sin cos ，即sin cos ，故tan 1.3(2016山东潍坊质检，5)若sin，则cos()A B. C D.3A由sin得cos，于是coscos2cos21.4(2016贵州贵阳调研，6)已知sinsin ，则sin的值是()A B. C. D4Dsinsin sincos cossin

9、 sin sin cos sin cos ，故sinsin coscos sin.5(2016浙江杭州模拟，10)若3sin xcos x2sin(x)，(，0)，则_.5【解析】因为3sin xcos x22sin，所以.【答案】6(2016河南郑州一模，13)若tan 20msin 20，则m的值为_6【解析】由于tan 20msin 20，可得m4.【答案】47(2016重庆巴蜀中学模拟，13)已知，tan()，则tan _.7【解析】由已知得，即，于是sin cos ，故tan 1，于是tan tan().【答案】8(2016广东六校联考，16，12分)已知函数f(x)sin，xR.(

10、1)求f的值；(2)若cos ，求f.8解：(1)fsinsin.(2)fsinsin(sin 2cos 2)因为cos ，所以sin ，所以sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2，所以f(sin 2cos 2).1(2016天津，3，易)在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC()A1 B2 C3 D41A考向1设ACx，由余弦定理得，cos 120，x243x，即x23x40.x1或4(舍)AC1，选A.2(2016课标，8，易)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cos A()A. B. C D2C考向1如图，作ADBC于D.设AD1，B，BD1.又ADBC，C

11、D2，AC，AB，sin ，cos ，sin ，cos ，cos Acos()cos cos sin sin .3(2014江西，4，易)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是()A3 B. C. D33C考向3c2(ab)26，即c2a2b22ab6.C，由余弦定理得c2a2b2ab，由和得ab6，SABCabsin C6，故选C.4(2014课标，4，易)钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A5 B. C2 D14B考向3由三角形面积公式可知，SABBCsin B.又AB1，BC，sin B，B或B.由余弦定理可知，AC2

12、AB2BC22ABBCcos B当B时，得AC1，这时不符合钝角三角形的要求，故舍去；当B时，得到AC，故选B.5(2012上海，16，易)在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定5C考向2由已知sin2Asin2Bsin2C结合正弦定理可得a2b2c2，于是cos C0，C为钝角，故三角形为钝角三角形6(2016课标，13，中)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_6考向1【解析】由题意可知，sin A，sin C.在ABC中，sin Bsin(AC)sin Acos C

13、cos Asin C.，b1.【答案】7(2015广东，11，易)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b_.7考向1【解析】sin B，C，B，A.由正弦定理得，b1.【答案】18 (2015北京，12，易)在ABC中，a4，b5，c6，则_8.考向1【解析】由余弦定理，得cos C，cos A.在ABC中，sin C，sin A.1.【答案】19(2015课标，16，中)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_9考向1【解析】方法一：如图所示，过点C作CEAD于点E，则CEB75，CEBC2，BCE30.BE2BC2CE22BCCE

14、cosBCE44884.此时，BE.延长CD交BA的延长线于点F，则BCF为等腰三角形，且CFB30，FCFB，cosCFB.解得FB.由题意可知，AB.方法二：如图所示，延长BA，CD交于点E.则在ADE中，DAE105，ADE45，E30.设ADx，CDm，在AED中，由正弦定理得，AEx，DEx.BC2，在BCE中，由正弦定理得，即sin 302sin 75，xm.m0，0x4.而ABxmxx，AB的取值范围是(，)【答案】(，)思路点拨：本题方法一借助几何图形分析极端情况，得到AB边的取值范围；方法二则是借助两个定理建立函数关系，通过代数方法进行求解10(2015湖北，13，中)如图，

15、一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.10考向4【解析】在ABC中，CAB30，ABC105，ACB45.又AB600 m，由正弦定理得，代入AB解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)【答案】10011(2016课标，17，12分，中)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长11考向1，3解：(1)由已知及正弦定

16、理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C.故2sin Ccos Csin C.又C为ABC的内角，可得cos C，所以C.(2)由已知，absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7.故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.12(2016山东，16，12分，中)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tan Atan B).(1)证明：ab2c；(2)求cos C的最小值12考向1解：(1)证明：由题意知2，化简得2(sin Acos Bsin Bcos

17、A)sin Asin B，即2sin(AB)sin Asin B.因为ABC，所以sin(AB)sin(C)sin C.从而sin Asin B2sin C.由正弦定理得ab2c.(2)由(1)知c，所以cos C，当且仅当ab时，等号成立故cos C的最小值为.13(2016浙江，16，14分，中)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小13考向1，3解：(1)证明：由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bc

18、os Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B.所以A2B.(2)由S得absin C，故有sin Bsin Csin 2Bsin Bcos B.因为sin B0，所以sin Ccos B.又B，C(0，)，所以CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A.14(2014安徽，16，12分，中)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值14考向1解：(1)因为A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B.由正、余弦定理得a2b.因为b3，c

19、1，所以a212，所以a2.(2)由余弦定理得cos A.由于0A0，所以A.于是sin Asin Csin Asinsin Acos 2A2sin2Asin A12.因为0A，所以0sin A，因此2.由此可知sin Asin C的取值范围是.方法点拨：三角形中求解范围问题，关键是借助正、余弦定理进行边角互化，然后通过三角恒等变换，借助三角函数的性质求解利用正、余弦定理解三角形是高考的重点和热点内容，主要考查利用两个定理求三角形的边的长度、角的大小等，既有灵活多变的小题，也有考查能力的大题，试题多为中、低档题目，所占分值为5分或12分 1(1)(2015重庆，13)在ABC中，B120，AB

20、，A的角平分线AD，则AC_.(2)(2015安徽，16，12分)在ABC中，A，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长【解析】(1)如图，在ABD中，由正弦定理，得，sinADB.ADB45，BAD1804512015.BAC30，C30，BCAB.在ABC中，由正弦定理，得，AC.(2)设ABC的内角BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2b2c22bccosBAC(3)262236cos1836(36)90，所以a3.又由正弦定理得sin B，由题设知0B0，sin A1，即A，故选B.(2)方法一：由余弦定理可得a2b，因此a2a2b2c2，得b2c2，

21、于是bc，从而ABC为等腰三角形方法二：由正弦定理可得sin A2sin Bcos C，因此sin(BC)2sin Bcos C，即sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，于是sin(BC)0，因此BC0，即BC，故ABC为等腰三角形【答案】(1)B(2)C,解题(1)的关键是利用正弦定理将边化为角，再化简，得到结果解题(2)时，可利用余弦定理进行角化边(方法一)，也可利用正弦定理进行边化角(方法二)利用正、余弦定理判断三角形形状的基本方法(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)“

22、边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论利用正、余弦定理求解三角形的面积问题，是高考的常考题型，通常有两种考查角度：(1)求三角形的面积，多以三角形基本的边、角计算为主，难度不大(2)将三角形面积与其他知识交汇考查，涉及面积的最值或范围问题，此时难度较大有关面积问题的考查，在高考中客观题和解答题均有可能出现，所占分值为5或12分 3(1)(2014课标，16)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则A

23、BC面积的最大值为_(2)(2014浙江，18，14分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.求角C的大小；若sin A，求ABC的面积【解析】(1)a2，(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，(ab)(sin Asin B)(cb)sin C.由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc.由余弦定理得cos A，A60且b2c24bc，b2c24bc2bc4，当且仅当bc时等号成立bc4，SABCbcsin A，ABC面积的最大值为.(2)由题意得sin 2Asin 2B，即s

24、in 2Acos 2Asin 2Bcos 2B，sinsin.由ab，得AB，又AB(0，)，得2A2B，即AB，所以C.由c，sin A，得a.由ac，得AC，从而cos A，故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以ABC的面积为Sacsin B.解题(1)的关键有两个：一是将已知式利用正弦定理转化为边的等式，从而可获得边的关系，再利用余弦定理可获得A的大小；二是结合三角形的面积公式借助均值不等式求得bc的最值，从而得到面积的最值解题(2)的关键是注意角大小的比较，从而得到cos A的值，然后再利用面积公式求解 1.(2015天津，13)在ABC中，内角A，B

25、，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a的值为_1【解析】在ABC中，由cos A可得，sin A，所以有解得【答案】82(2013课标，17，12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值2解：(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由和C(0，)得sin Bcos B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c2

26、2accos.又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.,利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边角后，直接求三角形的面积(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量(3)求三角形面积的最值或范围，这时一般要先得到面积的表达式，再通过均值不等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围利用正、余弦定理解决实际问题也是高考考查的一个重要方面以实际问题情景为载体考查学生应用知识解决问题的能力考查频率一般，试题难度中等，所占分值一般为5分或12分，以客观题或解答题的形式出现 4(2

27、013江苏，18，16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解析】(1)在A

28、BC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)因为0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由，得BCsin A500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达

29、C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内(1)在ABC中，先求sin B的值，再用正弦定理求解；(2)利用余弦定理，构造距离关于时间t的函数，结合二次函数的性质求最值；(3)根据速度、路程、时间三者之间的关系，求出速度的范围 (2014课标文，16)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60，已知山高BC100 m，则山高MN_m.【解析】在ABC中，AC100，在MAC中，解得

30、MA100，在MNA中，sin 60，故MN150，即山高MN为150 m.【答案】150,解三角形应用题的常见情况及方法(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解条件足够的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解解三角形应用题的一般步骤1(2016江西南昌一模，6)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c1，B45，cos A，则b等于()A. B. C. D.1C考向

31、1因为cos A，所以sin A，所以sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin Bcos 45sin 45.由正弦定理，得bsin 45.2(2015山西朔州一模，6)若ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C51113，则ABC()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2C考向2由于sin Asin Bsin C51113，结合正弦定理可知，abc51113，不妨令a5，b11，c13，由于cos C0，C为钝角，故ABC是钝角三角形3(2016山东济南二模，5)张晓华同学骑电动自行车以24 k

32、m/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A2 km B3 kmC3 km D2 km3B考向4画出示意图如图，由条件知AB246.在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，所以ASB45.由正弦定理知，所以BS3.4(2015安徽合肥三模，9)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2c，则A的大小是()A. B. C. D.4C考向1由正弦定理可得，2sin C，由sin C1，即有2，又2(由基本不等式可得)，当且仅当sin

33、 Asin B，取得等号故sin C1，C，sin Asin B，即AB.5(2016河南郑州质检，10)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(BA)sin(BA)3sin 2A，且c，C，则ABC的面积是()A. B. C. D.或5D考向3sin(BA)sin Bcos Acos Bsin A，sin(BA)sin Bcos Acos Bsin A，sin 2A2sin Acos A，sin(BA)sin(BA)3sin 2A，即2sin Bcos A6sin Acos A当cos A0时，A，B，又c，得b.由三角形面积公式知Sbcsin A；当cos A0时，由2sin Bcos A6sin Acos A可得sin B3sin A，根据正弦定理可知b3a，再由余弦定理可知cos Ccos，可得a1，b3，所以此时三角形的面积为Sabsin C.综上可得三角形的面积为或.6.(2016广东汕头二模，12)如图，在ABC中，B，点D在BC上，cosADC，则cosBAD_.6考向1【解析】在ABC中，cosADC，sinADC，则cosBADcos(ADCB)cosADCcos BsinADCsin B.【答案】7(2016河南南阳一模