高中数学-双曲线-经典例题-分类指导.docx
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1、精选优质文档-倾情为你奉上例题定义类1,已知,一曲线上的动点到距离之差为6,则双曲线的方程为 点拨:一要注意是否满足,二要注意是一支还是两支 ,的轨迹是双曲线的右支.其方程为2双曲线的渐近线为,则离心率为 点拨:当焦点在x轴上时,;当焦点在y轴上时,3 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差,到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的解
2、析如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(1020,0),B(1020,0),C(0,1020)设P(x,y)为巨响为生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB| |PA|=3404=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,ABCPOxy依题意得a=680, c=1020,用y=x代入上式,得,|PB|PA|,答:巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型
3、”4 设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2,则PF1F2的面积为( )AB12CD24解析: 又由、解得直角三角形,故选B。5如图2所示,为双曲线的左焦点,双曲线上的点与关于轴对称,则的值是( )A9 B16 C18 D27 解析 ,选C6. P是双曲线左支上的一点,F1、F2分别是左、右焦点,且焦距为2c,则的内切圆的圆心的横坐标为( )(A)(B)(C)(D)解析设的内切圆的圆心的横坐标为,由圆的切线性质知,7,若椭圆与双曲线有相同的焦点F1,F2,P是两条曲线的一个交点,则|PF1|PF2|的值是 ( )A. B. C. D. 【解析】椭圆
4、的长半轴为双曲线的实半轴为,故选A.求双曲线的标准方程1已知双曲线C与双曲线=1有公共焦点,且过点(3,2).求双曲线C的方程【解题思路】运用方程思想,列关于的方程组解析 解法一:设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点(3,2),=1.又a2+b2=(2)2,a2=12,b2=8.故所求双曲线的方程为=1.解法二:设双曲线方程为1,将点(3,2)代入得k=4,所以双曲线方程为1.2.已知双曲线的渐近线方程是,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为 ; 解析设双曲线方程为,当时,化为,当时,化为,综上,双曲线方程为或3.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为_.
5、解析 抛物线的焦点为,设双曲线方程为,双曲线方程为4.已知点,动圆与直线切于点,过、与圆相切的两直线相交于点,则点的轨迹方程为A BC(x 0) D解析,点的轨迹是以、为焦点,实轴长为2的双曲线的右支,选B与渐近线有关的问题1若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则双曲线的离心率为 ( )A. B. C. D.【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素,沟通的关系解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长,故,,所以【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程2. 双曲线的渐近线方程是 ( )A. B. C. D. 解析选C3.焦点为(0,6),且与双
6、曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 ( )A B C D解析从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑,选B4,过点(1,3)且渐近线为的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为点(1,3)代入:.代入(1):即为所求.【评注】在双曲线中,令即为其渐近线.根据这一点,可以简洁地设待求双曲线为,而无须考虑其实、虚轴的位置.5 设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦,求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.【证明】如图设等轴双曲线方程为,直线CD:y=m.代入(1):.故有:.取双曲线右顶点.那么:.即CBD=90.同理可证:CAD=90.几何1设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,若,则的面
7、积为( )A B C. D【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是:.设;于是,故知PF1F2是直角三角形,F1P F2=90.选B.求弦1双曲线的一弦中点为(2,1),则此弦所在的直线方程为 ( )A. B. C. D. 【解析】设弦的两端分别为.则有:.弦中点为(2,1),.故直线的斜率.则所求直线方程为:,故选C.“设而不求”具体含义是:在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤,只要有可能,可以用虚设代替而不必真地去求它.但是,“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用,也会出漏子.请看:2 在双曲线上,是否存在被点M(1,1)平分的弦?如果存在,求弦所在的直线方程;如不存
8、在,请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段,会有如下解法:【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由这里,故方程(2)无实根,也就是所求直线不合条件.此外,上述解法还疏忽了一点:只有当时才可能求出k=2.若.说明这时直线与双曲线只有一个公共点,仍不符合题设条件.结论;不存在符合题设条件的直线.换远(压轴题)1如图,点为双曲线的左焦点,左准线交轴于点,点P是上的一点,已知,且线段PF的中点在双曲线的左支上.()求双曲线的标准方程;()若过点的直线与双曲线的左右两支分别交于、两点,设,当时,求直线的斜率的取值范围. 【分析】第()问中,线段PF的中点M的坐标是主要变量,其它都是辅助变量.
9、注意到点M是直角三角形斜边的中点,所以利用中点公式是设参消参的主攻方向 第()中,直线的斜率是主要变量,其它包括都是辅助变量. 斜率的几何意义是有关直线倾斜角的正切,所以设置直线的参数方程,而后将参数用的三角式表示,是一个不错的选择.【解析】()设所求双曲线为:.其左焦点为F(-c。0);左准线:.由,得P(,1);由FP的中点为.代入双曲线方程: 根据(1)与(2).所求双曲线方程为. ()设直线的参数方程为:.代入得:当,方程(3)总有相异二实根,设为. 已知直线与双曲线的左右两支分别交于、两点,.于是:.注意到在上是增函数,(4)代入(5): 双曲线的渐近线斜率为,故直线与双曲线的左右两
10、支分别交必须.综合得直线的斜率的取值范围是.练习题1已知中心在原点,顶点A1、A2在x轴上,离心率e=的双曲线过点P(6,6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l经过A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N,问 是否存在直线l,使G平分线段MN,证明你的结论 解 (1)如图,设双曲线方程为=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求双曲线方程为=1 (2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(3,0),其重心G的坐标为(2,2)假设存在直线l,使G(2,2)平分线段MN,设M(x1,y1),N(x2,y2) 则有,kl=l的方程为y= (x2)+2,由,消去y,整理
11、得x24x+28=0 =164280,所求直线l不存在 2已知双曲线,问过点A(1,1)能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点,并且A为线段PQ的中点?若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由。 错解 设符合题意的直线存在,并设、 则 (1)得 因为A(1,1)为线段PQ的中点, 所以 将(4)、(5)代入(3)得 若,则直线的斜率 所以符合题设条件的直线存在。 其方程为 剖析 在(3)式成立的前提下,由(4)、(5)两式可推出(6)式,但由(6)式不能推出(4)(5)两式,故应对所求直线进行检验,上述错解没有做到这一点,故是错误的。 应在上述解题的基础上,再由 得 根据,说明所求直线不存在。
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