小学奥数：数学题型与解题思路31-40讲.pdf

《小学奥数：数学题型与解题思路31-40讲.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数：数学题型与解题思路31-40讲.pdf（60页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992奥数题型与解题思路 60 讲 04奥数题型与解题思路 60 讲 04感谢天津站帖子奉献，由海边小升初资料组整理编辑。海边有你，分享有礼！如果您想加群：希望您可以入群时先分享一份小升初资料，通过后，您将优先获得我们的纯净版资料！我们资源来源于网络，由于优秀资源搜集难度较大，所以导致资料更新速度较慢，也希望更多的人加入我们工作小组参与搜集。31、奇数偶数与奇偶性分析31、奇数偶数与奇偶性分析【奇数和偶数】【奇数和偶数】例 1 用 l、2、3、4、5 这五个数两两相乘，可以得到 10 个不同的乘积。问乘积中是偶数多还是奇数多

2、？（全国第二届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：如果两个整数的积是奇数，那么这两个整数都必须是奇数。在这五个数中，只有三个奇数，两两相乘可以得到 3 个不同的奇数积。而偶数积共有 7个。所以，乘积中是偶数的多。例 2 有两组数，甲组：1、3、5、7、9、23；乙组：2、4、6、8、10、24， 从甲组任意选一个数与乙组任意选出一个数相加， 能得到_个不同的和。（现代小学数学邀请赛试题）讲析：甲组有 12 个奇数，乙组有 12 个偶数。甲组中任意一个数与乙组中任意一个数相加的和，必为奇数，其中最大是 47，最小是 3。从 3 到 47 不同的奇数共有 23 个。所以，能得到 23 个不同的和。本题中

3、，我们不能认为 12 个奇数与 12 个偶数任意搭配相加，会得到 1212=144（个）不同的和。因为其中有很多是相同的。【奇偶性分析】【奇偶性分析】例 1 某班同学参加学校的数学竞赛。试题共 50 道。评分标准是：答对一道给 3 分， 不答给 1 分， 答错倒扣 1 分。 请你说明： 该班同学得分总和一定是偶数。（全国第三届从小爱数学邀请赛试题）每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992讲析：如果 50 道题都答对，共可得 150 分，是一个偶数。每答错一道题，就要相差 4 分，不管答错多少道题，4 的倍数总是偶数。150 减偶数，差仍然是一个偶数。同理，每

4、不答一道题，就相差 2 分，不管有多少道题不答，2 的倍数总是偶数，偶数加偶数之和为偶数。所以，全班每个同学的分数都是偶数。则全班同学的得分之和也一定是个偶数。例 2 5 只杯子杯口全都朝上。规定每次翻转 4 只杯子，经过若干次后，能否使杯口全部朝下？（美国小学数学奥林匹克通讯赛试题）讲析：一只杯口朝上的杯子，要想使杯口朝下，必须翻转奇数次。要想 5只杯口全都朝上的杯子，杯口全都朝下，则翻动的总次数也一定是奇数次才能办得到。现在每次只翻转 4 只杯子，无论翻多少回，总次数一定是偶数。所以，不能使杯口全部朝下。例 3 某班共有 25 个同学。坐成 5 行 5 列的方阵。我们想让每个同学都坐到与他

5、相邻的座位上去。（指前、后、左、右），能否做得到？（广州市小学数学竞赛预赛试题）讲析：如图 5.44，为了方便，我们将每一格用 A 或 B 表示，也就是与 A 相邻的用 B 表示，与 B 相邻的用 A 表示。要想使每位同学都坐到相邻座位上去，也就是说坐 A 座位的同学都要坐到 B座位上去，而坐 B 座位上的同学都要坐到 A 座位上去。但是，A 座位共 13 个，而 B 座位共 12 个，所以，不管怎样坐，要想坐 A 座位的同学都坐到 B 座位上去，是办不到的。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992例 4 线段 AB 的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色。

6、在线段中间插入1991 个分点， 每个分点随意标上红色或蓝色。 这样分得 1992 条不重叠的小线段，如果把两端点颜色不同的小线段叫做标准线段， 那么标准线段的条数是奇数还是偶数？（1992 年长沙市小学数学竞赛预选赛试题）讲析：每插入一个点，无论其颜色怎样，其非标准线段的条数增加 0 条或 2条，所以插入 1991 个点后，非标准线段增加总数是一个偶数。又原非标准线段条数为 1，是一个奇数，故最后得到的非标准线段必为奇数。非标准线段条数+标准线段条数=1992 条。所以，标准线段的条数是奇数。32、其他定理或性质32、其他定理或性质【算术基本定理】任意一个大于 1 的整数，都能表示成若干个质

7、数的乘积，如果不计质因数的顺序，则这个分解式是唯一的。即任意一个大于 1 的整数a=p1p2p3pn（p1p2p3pn）其中 p1、p2、p3、np 都质数；并且若a=q1q2q3qm（q1q2q3qm）其中 q1、q2、q3、qm都是质数。那么，m=n，qi=pi（i=1，2，3，n）当这个整数是质数时是符合定理的特例。上述定理，叫做“算术基本定理”。【方程同解变形定理】方程的同解变形，有下列两个基本定理：定理一定理一 方程两边同时加上（或同时减去）同一个数或整式，所得的方程与原方程同解。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992根据这一同解定理，可把方程中

8、某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边。这种变形叫做移项。例如，解方程 3x=2x+5。解 移项，得3x-2x=5合并同类项，得x=5。定理二定理二 方程两边同时乘以（或除以）同一个不是零的数，所得的方程与原方程同解。是同解的。【一笔画的性质】为掌握“一笔画”的性质，先介绍“一笔画”的有关概念。图用若干条线 （不一定是直线段） 把一些点连接起来的图形， 如图 1.7。这些点叫图的顶点，如 A、B、C、D；这些线叫图的边，如 AB、AC、AD 等。点的次-每个点上所连接的线的条数，叫做这个点的“次”。如图 1.7 中，A 点有五条线与它相连，B 点有三条线与它相连，则 A 点的次为 5；B 点

9、有三条线与它相连，则 B 点的次为 3。奇点-点的次数为奇数，则这个点为“奇点”。如图 1.7 中的 A、B、C、D点，全部都是奇点。偶点-点的次数为偶数，则这个点叫做“偶点”。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992如图 1.8 中的 B 点（4 次）、D 点（2 次），都是偶点。一笔画问题-在图1.8 中，能否从 A 点（或其他点）出发，不重复任一边（点可随便经过若干次）而一笔画出全图的问题，叫做“一笔画问题”（也称“七桥问题”，见本书第九部分“七桥问题”词条）。能一笔画的图形，具有下面两条性质：（1）若一个图形中，奇点的个数不大于 2，则这个图形必能一

10、笔画成，否则就不能画成。例如图 1.7 中，奇点有 A、B、C、D 四个，它无论从哪一点出发，都是不可能一笔画成的。而图 1.8 中，奇点只有 A、C 两个，它是可以一笔画成的。其画法可如图 1.9 所示：从 A 点出发，经 1 到 C，经 2 到 D，经 3 到 B，经 4 到 A，又经 5 到 B，再经 6 到 A，然后经 7 到 C，完成全图。显然，此图的画法并不止于这一种，这只是多种画法中的一种画法。（2）若一个图中没有奇点，那么始点和终点必须重合；若一个图中有两个奇点，则这两个奇点必是起点和终点。例如图 1.10 中，点 A、B、C 均为偶点，没有奇点。若从 A 点出发，按图外箭头所

11、指的方向，经、，便又回到了 A 点。这样，A 点便既是始点又是终点。而图 1.8 中有 A、C 两个奇点，按性质（1）中的画法，可从 A点出发，到 C 点结束，A 是始点，C 是终点。图 1.9（也可以从 C 点出发，到 A点结束，C 为始点，A 为终点。）平移变换平移变换每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992【平移线段】【平移线段】有些几何问题，通过线段的上、下、左、右平移以后，能使问题很快地得到正确的解答。例如，下面的两个图形（图 4.17 和图 4.18）的周长是否相等？单凭眼睛观察，似乎图 4.18 的周长比图 4.17 的要长一些。但把有关线段平

12、移以后，图 4.18 就变成了图 4.19，其中的线段，有的上移，有的左移，有的右移，它可移成一个正方形。于是，不难发现两图周长是相等的。【平移空白或阴影部分】【平移空白或阴影部分】有些求阴影部分或空白部分面积的几何题，采用平移空白部分或平移阴影部分的办法，往往能化难为易，很快使问题求得解答。例如，计算图 4.20 中阴影部分的面积。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992圆面积”，然后相加，得整个阴影部分的面积。这显然是很费时费力的。但认真观察一下就会发现，图 4.20 左半左上部的空白部分，与右半左上部的阴影部分大小一样，只需将右半左上部的阴影部分，平移

13、到左半左上部的空白部分，所有的阴影部分便构成一个正方形了（如图 4.21）。所以，阴影部分的面积很快就可求得为 55=25。又如，一块长 30 米，宽 24 米的草地，中间有两条宽 2 米的走道，把草地分为四块，求草地的面积（如图 4.22）。这只要把丙向甲平移靠拢， 把丁向乙平移靠拢， 题目也就很快能解答出来了。（具体解法略）33、平面图形的计算33、平面图形的计算每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992【周长的计算】【周长的计算】例 1 有 9 个同样大小的小长方形，拼成一个大长方形（如图 5.54）的面积是 45 厘米2，求这个大长方形的周长。（第四届

14、小学生数学报邀请赛决赛试题）讲析：设每个小长方形的长是 a 厘米，宽是 b 厘米。于是有ab=4595；又有：4a=5b。可求得 b=2，a=2.5。所以大长方形的周长为 6a7b=29（厘米）。例 2 图 5.55 中图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，斜线区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多 6 厘米，问：图（1），图（2）中画斜线的区域的周长哪个大？大多少？（全国第四届“华杯赛”决赛试题）讲析：图 5.55（1）中画斜线区域的周长恰好等于大长方形的周长，图 5.55（2）中画斜线区域的周长明显比大长方形周长小。二者

15、相差 2AB。从图 5.55（2）的竖直方向看，ABaCD图 5.55（2）中大长方形的长是 a2b，宽是 2bCD，所以，（a+2b）-（2bCD）=a-CD=6（厘米）故：图 5.55（1）中画斜线区域的周长比图 5.55（2）中画斜线区域的周长大，大 12 厘米。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992【面积的计算】【面积的计算】例 1 如图 5.56，长方形 ADEF 的面积是 16，三角形 ADB 的面积是 3，三角形ACF 的面积是 4，那么三角形 ABC 的面积是_。（北京市第十届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：连结 AE（如图 5.57），

16、则三角形 AEC 的面积是 162-4=4。因为ACF 与AEC 等高，且面积相等。所以，CF=CE。同理，ABE 的面积是 162-3=5，则 BDBE=35。即BE=从而，ABC 的面积是 16-（34+2.5）=6.5。例 2 如图 558，在等边三角形 ABC 中，AF=3FB，FH 垂直于 BC，已知阴影部分的面积为 1 平方厘米，这个等边三角形的面积是多少平方厘米？（1992 年武汉市小学数学竞赛试题）讲析：如图 5.59，连接ABC 各边中点，则ABC 被分成了大小相等的四个小三角形。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992在DBG 中，再连接

17、各边中点，得出将DBG 又分成了四个很小的三角形。经观察，容易得出ABC 的面积为（12）44=32（平方厘米）。例 3 三条边长分别为 5 厘米、 12 厘米、 13 厘米的直角三角形如图 5.60 （1） ，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合如图 5.60（2）。那么，图 5.60（2）中阴影部分（即未被盖住部分）的面积是_平方厘米。（1993 年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）讲析：如图 5.60（2），设 EC 等于 a 厘米，那么 DE 也为 a 厘米。ABC 的面积等于ABE 的面积加上AEC 的面积。例 4 如图 5.61，ABCD 是一个梯形，已知三角形 ABD 的

18、面积是 12 平方厘米，三角形 AOD 的面积比三角形 BOC 的面积少 12 平方厘米， 那么梯形 ABCD 的面积是_平方厘米。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992（广州市小学数学竞赛试题）讲析：可设AOD 的面积为 S1。则，BOC 的面积为 S112。于是有：SABO=SABD-SAOD12-S1，SABC=SABO+SBOC=（12-S1）（S112）=24（平方厘米）。所以，梯形 ABCD 的面积是 24+12=36（平方厘米）。例 5 梯形 ABCD 被两条对角线分成了四个三角形 S1、S2、S3、S4。已知 S1=2厘米2，S2=6 厘米

19、2。求梯形 ABCD 的面积。（小学数学奥林匹克通讯赛决赛试题）讲析：三角形 S1和 S2都是等高三角形，它们的面积比为 26=13；则：DOOB=13。ADB 和ADC 是同底等高三角形，所以，S1=S3=2 厘米2。三角形 S4和 S3也是等高三角形，其底边之比为 13，所以 S4S3=1所以，梯形 ABCD 的面积为例 6 正方形边长为 20 厘米（如图 5.63），已知 DD=EE，CE=6 厘米。则阴影部分三角形的面积最大值是_平方厘米。（海口市小学数学竞赛试题）每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992讲析：E点在 BE 段滑动，D点在 DC 段滑

20、动。设 DD长 a 厘米。DC=20-a，EC=a6。又因为 DCEC=（20-a）（a6）=26。运用等周长的长方形面积最大原理，两个数的和一定（等于 26），要把这个和分成两个数，使这两个数的积最大，则当 20-a=a6=13 时，即a=7=84.5（平方厘米）。例 7 图 5.64 是一个正方形，图中所标数字的单位是厘米。问：阴影部分的面积是多少平方厘米？（全国第四届“华杯赛”决赛试题）讲析：如图 5.65，连接 AC，所分成的四个小三角形分别用 S1、S2、S3、S4表示。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992容易看出 S2和 S3是关于 OC 为

21、对称轴的对称图形。所以 S2=S3。从而不难得出 S1、S2、S3、S4四个小三角形面积相等，即每个小三角例 8 一个正方形（如图 5.66），被分成四个长方形，它们的面积在图中标出（单位：平方米）。图中阴影部分是一个正方形。那么，它的面积是_。（1992 年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：可将四个长方形分别用 A、B、C、D 表示（如图 5.67），阴影部分是B 中的一部分。大正方形的面积为 1 平方米，所以它的边长为 1 米。因为长方形 C 和 D 的宽相等，所以它们长的比等于面积比。于是得 C 的每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992米。例 9

22、把大的正三角形每边 8 等分，组成图 5.68 所示的三角形网。如果每个小三角形面积是 1，那么图中粗线围成的三角形面积是_。（1988 年北京市奥林匹克邀请赛试题）讲析：一般地，关于格点多边形的面积，有下面的公式：这里，格子面积等于小正方形或平行四边形面积，也就是小三角形面积的 2倍。题中，格子面积为 12=2，内部格点数为 12，边上格点数为 4。所以，粗线围成的面积是34、判断题的解答34、判断题的解答【用筛去（消倍）法判断】【用筛去（消倍）法判断】一个数能否被 3 整除，本来是不太难的问题。但当一个数比较大时，用各数位上的数相加，速度很慢，而且容易出现口算错误。若用“筛去（消倍）法”来

23、判断，情况就大不一样了。例如（1）判断 76935 能否被 3 整除。先直接筛去能被 3 整除的 6、9、3，剩下的 7 与 5， 和为 3 的倍数， 所以 3|76935 （3 能整除 76935， 或 76935 能被 3 整除） 。（2）判断 3165493 能否被 3 整除。先直接筛去 3 的倍数 3、6、9、能整除 3165493，或 3165493 不能被 3 整除。）每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992【能否被 7 整除】【能否被 7 整除】一个数能否被 7 整除，只要把这个数的末位数字截去，再从余下的数中，减去这个末位数字的 2 倍，如果

24、这时能看出所得的差能被 7 整除，则原来的数就能被 7 整除，否则就不能被 7 整除；若是仍看不出来，就要继续上述过程，直到能清楚作出判断为止。例如，判断 133 能否被 7 整除：因为差数 7 能被 7 整除，所以 7|133。这是什么原因呢？请看下面的算式：1332（13103）2132032=13（21-1）+32=13211332=1373-（13-32）显然，1373 中有约数 7，它能被 7 整除，故只要检验后面的（13-32）能否被 7 整除就可以了。（原理可见第一部分的整除性定理）如果要判断的数的位数很多，那么，将这种做法一直进行下去就是。例如，判断 62433 能否被 7 整

25、除：7|42，7|62433这样的判定方法可称作“割尾法”。一个数能否被 11、13、17 和 19 整除，也可用割尾法去判断。【能否被 11 整除】【能否被 11 整除】判断一个数能否被 11 整除，可以采用割尾法、奇偶位差法及分节求和法。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992（1）割尾法。一个数能否被 11 整除，只要把它的末尾数字截去，从余下的数里减去这个末位数，看所得的差能否被 11 整除。差能整除的，原来的数就能整除；差不能整除的，原来的数就不能整除。如一次所得的差还看不出能否被11 整除，就继续上述过程，直到能作出判断为止。例如，判断 2629

26、 能否被 11整除：因为 1122，所以 112629。之所以能这么判断，原因在于2629=2620+9=26210+9=262（11-1）+9=26211-262+9=26211-（262-9）在 26211 中有因数 11，所以只要看（262-9）的差能否被 11 整除，就可判断原来的 2629 能否被 11 整除。而（262-9）的差是 253，253=250+3=2510+3=25（11-1）+3=2511-25+3=2511-（25-3）同样，只要看（25-3）能否被 11 整除，就会知道 253 能否被 11 整除。进而便可知 2629 能否被 11 整除了。每天更新，搜集百部资料

27、，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992（2）奇偶位差法。判断一个数能否被 11 整除，可先分别求出此数的奇位数字之和及偶位数字之和，再求这两个和的差数，若这个差能被 11 整除，则原来的那个数就能被 11 整除；否则，原来的数就不能被 11 整除。例如，判断 823724能否被 11 整除：它的奇位数字之和为 4+7+2=13（数位数，从右边个位开始往左数），它的偶位数字的和为 2+3+8=13两个和的差数是 13-13=0（两数不等时用大数减小数）而 11011823724之所以能这样判断，是因为823，724=8100，000+210，000+31，000+7100+210

28、+4=8（100，001-1）+2（9，999+1）+3（1，001-1）+7（99+1）+2（11-1）+4=8100，001+29，999+31，001+799+211+（2+7+4）-（8+3+2）显然，在前几项中，因数 100，001、9，999、1，001、99、11 都是 11 的倍数，故只需检验（2+7+4）-（8+3+2）能否被 11 整除，就可以作出判断了。（3）分节求和法。把一个自然数从右向左每两位截为一节，然后把这些节加起来。若所得的和能被 11 整除，那么这个数就能被 11 整除；否则，这个数就不能被 11 整除。在这一情况下，如果仍不能作出判断，那就继续上述过程，直到

29、清楚地作出判断为止。例如，判断 762421 能否被 11 整除：这一判断方法的理由，可见下面的算式：762421=7610000+24100+21=76（9999+1）+24（99+1）+21每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992=769999+76+2499+24+21=769999+2499+（76+24+21）在前两项中，因数 9999 和 9 都能被 11 整除，所以只需要检验后面的（76+24+21） 能否被 11 整除了。 能整除的原数就能被 11 整除； 不能整除的原数，就不能被 11 整除。【能否被 13 整除】【能否被 13 整除】一个

30、数能否被 13 整除，可采用“割尾法”判断：截去末位数字，余下的数加上末位数的 4 倍。所得的和是 13 的倍数，则这个数就能被13 整除，否则，就不能被 13 整除。要是割尾一次仍不能作出判断，那就继续割尾，直到能作出判断为止。例如，判断 364 能否被 13 整除：1352，13364。这一判断的理由，可由下式看出：3644=（3610+4）4=3640+44=36（39+1）+44=3639+36+44=36133+（36+44）前面的 36133 中，有约数 13，所以作出判断时，只需要检验（36+44）是否能被 13 整除了。【能否被 17 整除】【能否被 17 整除】一个数能否被

31、17 整除，同样可用“割尾法”作巧妙而快速地判断。不过，具体地做法有所不同。例如，判断 731 能否被 17 整除，判断方法如下：1768，17731。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992这样做的理由，可见下面的算式推导：7315=（7310+1）5=7350+15=73（51-1）+15=7351-73+15=73173-（73-15）由于前面的 73173 有约数 17，故只需检验（73-15）能否被 17 整除，就知道“7315”能否被 17 整除。知道“7315”能否被 17 整除，也就是知道731 能否被 17 整除了（根据整除性定理）。若是“

32、割尾”一次仍不能作出判断，那就依法继续割尾下去，直到能作出判断为止。例如，判断 279191 能否被 17 整除， 可以作如下割尾判断：1717，17279191【能否被 19 整除】【能否被 19 整除】一个数能否被 19 整除，也是可用“割尾法”作巧妙判断的，具体做法如判断 475 能否被 19 整除：1957，19475。其中的道理，可见下面的算式推导：4752=（4710+5）2每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992=4720+52=47（19+1）+52=4719+（47+52）最后算式中的 4719 有约数 19， 故只需要检验 （47+52）

33、 能否被 19 整除，就知道“4752”及“475”能否被 19 整除了。如果一次“割尾”仍不能作出判断，那就继续“割尾”下去，直至能作出判断为止。例如，判断 14785 能否被 19 整除：排列与组合【有条件排列组合】排列与组合【有条件排列组合】例 1 用 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字能够组成_个没有重复数字的三位数。（哈尔滨市第七届小学数学竞赛试题）讲析：用这十个数字排列成一个不重复数字的三位数时，百位上不能为 0，故共有 9 种不同的取法。因为百位上已取走一个数字，所以十位上只剩下 9 个数字了，故十位上有 9种取法。同理， 百位上和个位上各取走一个数字， 所以还剩

34、下 8 个数字， 供个位上取。所以，组成没有重复数字的三位数共有998=648（个）。例 2 甲、乙、丙、丁四个同学排成一排，从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有_种。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992（1994 年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：因每个人都不排在原来的位置上，所以，当乙排在第一位时，其他几人的排法共有 3 种；同理，当丙、丁排在第一位时，其他几人的排法也各有 3种。因此，一共有 9 种排法。例 3 有一种用六位数表示日期的方法，如 890817

35、表示 1989 年 8 月 17 日，也就是从左到右第一、二位数表示年，第三、四位数表示月，第五、六位数表示日。如果用这种方法表示 1991 年的日期，那么全年中六个数字都不相同的日期共有_天。（1991 年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：第一、二位数字显然只能取 9 和 1，于是第三位只能取 0。第五位数字只能取 0、1、2 或 3，而 0 和 1 已取走，当取 3 时，第六位上只能取 0 和 1，显然不行。因此，第五位上只能取 2。于是，第四位上只能取 3、4、5、6、7、8；第六位上也只能取 3、4、5、6、7、8，且第四、六位上数字不能取同。所以，一共有 65=30（种）。【环形排

36、列】【环形排列】例 1 编号为 1、2、3、4 的四把椅子，摆成一个圆圈。现有甲、乙、丙、丁四人去坐，规定甲、乙两人必须坐在相邻座位上，一共有多少种坐法？（长沙市奥林匹克代表队集训试题）讲析：如图 5.87，四把椅子排成一个圆圈。当甲坐在号位时，乙只能坐在或号位上，则共有 4 种排法；同理，当甲分别坐在、号位上时，各有4 种排法。所以，一共有 16 种排列法。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992例 2 从 1 至 9 这九个数字中挑出六个不同的数填在图 5.88 的六个圆圈中，使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数， 那么最多能找出_种不同的挑法来。（挑出

37、的数字相同，而排列次序不同的都只算一种）（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：在 1 至 9 这九个自然数中，奇数有 1、3、5、7、9 五个，偶数有 2、4、6、8 四个。要使排列之后，每相邻两个数字之和为质数，则必须奇数与偶数间隔排列，也就是每次取 3 个奇数和 3 个偶数。从五个奇数中，取 3 个数共有 10 种方法；从四个偶数中，取 3 个数共有 4 种方法。但并不是每一种 3 个奇数和 3 个偶数都可以排成符合要求的排列。经检验，共有 26 种排法。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799235、逻辑思路35、逻辑思路“逻辑思路”，主要是指

38、遵循逻辑的四大基本规律来分析推理的思路。【同一律思路】【同一律思路】同一律的形式是：“甲是甲”，或“如果甲，那么甲”。它的基本内容是，在同一思维过程中，同一个概念或同一个思想对象，必须保持前后一致性，亦即保持确定性。这是逻辑推理的一条重要思维规律。运用这一规律来解题，我们把它叫同一律思路。例 1 某公安人员需查清甲、乙、丙三人谁先进办公室，三人口供如下：甲：丙第二个进去，乙第三个进去。乙：甲第三个进去，丙第一个进去。丙：甲第一个进去，乙第三个进去。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992三人口供每人仅对一半，究竟谁第一个进办公室？分析（用同一律思路推理）；这

39、一类问题具有非此即彼的特点。 比如甲是否是第一个进办公室只有两种可能：是或非。我们用 1 表示“是”，0 表示“非”，则可把口供列表处理。（1）若甲第一，则依据丙的口供见左表，这个表与甲的口供仅对一半相矛盾；（2）若甲非第一，则依据丙的口供，乙第三个进去，进行列表处理如右表，与“三人口供仅对一半”相符。从而可以判定，丙最先进入办公室。这个问题也可以不列表而用同一律推理。甲的话第一句对，第二句错，则丙第二，乙不是第三，又不是第二，自然乙第一，甲第二，这个结论与丙说的话“半对半错”不符。因此，有甲的第一句错，第二句对。即乙第三个进去，丙不是第二个，自然是第一个。这个结论与乙的话“半对半错”相符：甲

40、不是第三，丙是第一。并且这个结论与丙的话“半对半错”也相符：甲不是第一，乙是第三。在整个思维过程中，我们对三人的话“半对半错”进行了一一验证，直到都符合题目给定的条件为止。例 2 从前一个国家里住着两种居民，一个叫宝宝族，他们永远说真话；另一个叫毛毛族，他们永远说假话。一个外地人来到这个国家，碰见三位居民，他问第一个人：“请问你是哪个民族的人？”“匹兹乌图。”那个人回答。外地人听不懂，就问其他两个人：“他说的是什么意思？”第二个人回答：“他说他是宝宝族的。”第三个人回答：“他说他是毛毛族的。”请问， 第一个人说的话是什么意思？第二个人和第三个人各属于哪个民族？每天更新，搜集百部资料，一次打包下

41、载海边小升初资料搜集群 485427992分析（用同一律思路思考）：如果第一个人是宝宝族的，他说真话，那么他说的是“我是宝宝族的”。如果这个人是毛毛族的，他说假话，他说的还是“我是宝宝族的”。这就是说，第一个人不管是什么民族的，那句话的意思都是：“我是宝宝族的”。根据这一推理，那么第二个人回答“他说他是宝宝族的”这句话是真的，而从条件可知，说真话的是宝宝族人，因此可以判断第二个人是宝宝族人。不管第一个人是什么民族的，根据前面推理已知他说的话是“我是宝宝族的”，而第三个人回答“他说他是毛毛族的”显然是错的，而说假话的是毛毛族人，因此可以断定第三个人是毛毛族人。我们在分析本题时，始终保持了思维前后

42、的一致性，这就是同一律思路的具体运用。【不矛盾律思路】【不矛盾律思路】不矛盾律的形式是“甲不是非甲”。它的基本内容是：同一对象，在同一时间内和同一关系下，不能具有两种互相矛盾的性质，它是逻辑推理的又一重要规律，运用不矛盾律来推理、思考某些问题的解答，这种思路我们把它叫做不矛盾律思路。例 1 有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另外一个有时讲真话，有时讲假话。一天，一位智者遇到这三个和尚，他先问左边的那个和尚：“你旁边的是哪一位？”和尚回答说“讲真话的。”他又问中间的和尚：“你是哪一位？”和尚答： “我是半真半假的。”他最后问右边的和尚： “你旁边是哪一位？”答：“讲假话的。”根据他们的回答，智

43、者马上分清了他们，你能分清吗？分析（运用不矛盾律思路探讨）：两件相互矛盾对立的事情，如果一件是不正确的，另一件就是正确的，这就是不矛盾律的基本思路。我们先假设左边和尚讲的是真的，那么中间的和尚是讲真话的，但这与他的回答：“我是半真半假的”矛盾，所以左边和尚讲真话这一假设不对。从而左边和尚讲的是假话，他一定不是讲真话的和尚。中间那个和尚也一定不是讲真话的，所以右边的和尚是讲真话的和尚。根据他的话，中间是讲假话的和尚，剩下左边的和尚自然就是半真半假的。例 2 一次学校举行田径运动会，A、B、C、D、E 五个班取得了团体前五名，发奖后有人问他们的名次，回答是：A 班代表说：“B 是第三名，C 是第五

44、名。”B 班代表说：“D 是第二名，E 是第四名。”C 班代表说：“A 是第一名，E 是第四名。”每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992D 班代表说：“C 是第一名，B 是第二名。”E 班代表说：“D 是第二名，A 是第三名。”最后，他们都补充说：“我的话是半真半假的。”请你判断一下，他们各个班的名次。分析（用不矛盾律思路分析）：先简化一下记法，比如 B 班是第三名，则写成 B-3，其它类似，这样五个班代表的讲话可简记为：（1）B-3，C-5。（2）D-2，E-4。（3）A-1，E-4。（4）B-2，C-1。（5）A-3，D-2。假设（1）的前半句是真的，

45、即 B-3，那么由（4）有 C-1，由（3）知 A-1不对，有 E-4；再由（2）知 D-2 不对，从（5）知 A-3，这与假设矛盾，所以（1）中正确的应是 C-5，于是由（4）知 C-1 不对，应该是 B-2，进而知（2）D-2 不对，有 E-4，并知（5）D-2 不对，有 A-3，最后只剩下 D 及第一名，所以知道 D应为第一名。最后排出名次自然就非常简单了。上述叙述虽然简化了记号，但文字表述仍然觉得累赘，所以还可以借助图表表达上述推理过程。如图 2.21，假设 B-3，在 B 上画一个圆圈（左图），表示推理的起点，找到另一个 B，则应是不对的，画一个“”，再找与这个 B 同行的“C”，它

46、应是对的，画一个“”，找与 C 同列的“A”，它不对，画一个“”，等等。最每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992后 A-3 被画了一个“”，这与 B-3 相矛盾，故 B-3 是错的。在这个“B”上画一个“”，重新开始推理（右图）。从（1）的 C 开始，因 B-3 是错的，则 C-5 记“”，则（4）中 C-1 画“” ，B-2 记“”，由此推出（5）D-2 记“”，（2）D-2 记“”，从表中可以看出，B-2，A-3、E-4、C-5，那么谁是第一，表中虽然未表达，但明眼人一看就知道了。【排中律思路】【排中律思路】排中律的形式是“或者是甲，或者是非甲”。它的

47、基本内容是：同一对象在同一时间内和同一关系下，或者是具有某种性质。或者是不具有某种性质，二者必居其一，不能有第三种情况。它是处理肯定判断与否定判断之间的关系的一个规律。运用这一规律来推理的思路，我们把它叫排中律思路。排中律和不矛盾律的基本作用是相同的，即都是排除思想中的矛盾。但也有区别：一是适用范围不同，不矛盾律的适用范围宽，既适用于互相反对的判断，也适用于互相矛盾的判断，排中律的作用范围窄些，只适用于互相矛盾的判断，不适用互相反对的判断；二是要求不同，不矛盾律要求对互相反对的和互相矛盾的判断，不能同时断定其中每一个都是真的，因为其中至少有一个是假的。排中律则要求：对于互相矛盾的判断，必须肯定

48、其中一个是真，因为其中必有一真，不能都假。如果我们确定了某一个是正确的，根据不矛盾律，就可以得出另一个是错误的。反过来。如果我们确定了某一个是错误的，根据排中律，就可以得出另一个是正确的。从这方面来看，如果说不矛盾律提供我们逻辑否定的基础，那么排中律则主要提供我们逻辑肯定的基础；三是逻辑错误性质不同，不矛盾律要求的逻辑错误是“自相矛盾”，排中律要求的逻辑错误是“模棱两不可”。例 1 老师有一黑两白三顶帽子，给两个学生看后，让他们闭上眼睛，从中取出两顶给他们戴上，然后让他们睁开眼睛，互相看清对方戴的帽子，并立即说出自己头上戴的帽子是什么颜色，两位同学都不能立即说出，请问你知道这两位学生戴的各是什

49、么颜色的帽子吗？分析（运用排中律思路思索）：假设你是这两个学生中的一个，因为你知道只有一顶黑帽子，当你看到对方戴的是黑帽子时，你能判断自己戴的帽子颜色吗？可以的，根据排中律：“非此即彼”，你一定会推断出自己戴的是白帽子。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992现在两个学生都不能利用排中律很快地说出自己戴的是白帽子， 说明他们两人都没有看见黑帽子，由此断定，老师给两位学生戴的是两顶白帽子。例 2 曾实、张晓、毛梓青在一起，一位是工程师、一位是医师、一位是教师。现在只知道：（1）毛梓青比教师年龄大；（2）曾实和医师不同岁；（3）医师比张晓年龄小。你能确定谁是工程

50、师？谁是医师？谁是教师吗？分析（沿着排中律思路探索）：根据排中律的要求，如果我们能确定某个是错误的，就可以得出另一个是正确的。现在已知（1）曾实和医师不同岁，（2）医师比张晓年龄小，就可以判定曾实和张晓都不是医师，因此只有毛梓青是医师；若张晓是教师，则根据（1）毛梓青比教师年龄大，即毛梓青比张晓年龄大，与（3）医师比张晓年龄小，即毛梓青比张晓年龄小，这两个结论是互相矛盾的，因此张晓不可能是教师。张晓既不是医师（因为毛梓青是医师），又不是教师，所以张晓应该是工程师了。因为三个人、三个职业，已经确定了毛梓青是医师，张晓是工程师，剩下的曾实只能是教师了。该题的思路还可以用下表表示：【充足理由律思路】