2013高考数学必考题型解答策略：函数与导数(共22页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上函数与导数解答策略命题趋势函数与导数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在近几年的高考中, 函数类试题在试题中所占分值一般为22-35分.一般为2个选择题或2个填空题,1个解答题 ,而且常考常新。 在选择题和填空题中通常考查反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。 在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要表现在: 1.通过选择题和填空题,全面考查函数的基本概念,性质和图象。2.在解答题的考查中,与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。3

2、.从数学具有高度抽象性的特点出发,没有忽视对抽象函数的考查。4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。5.涌现了一些函数新题型。6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题,而且对于数列,不等式,解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。8.求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合，预计2012年基本上还是这个考查趋势，具体为：(1)以选择题或者填空题的形式考查集合的基本关系和基本运算，考查中涉及函数的定义域、不等式的解、方程的解等问题，要特别注意一些新定义试题 (2)以选择题或

3、者填空题的方式考查逻辑用语的知识，其中重点是充要条件的判断和含有一个量词的命题的否定 (3)以选择题或者填空题的方式考查基本初等函数及其应用，重点是函数定义域、值域，函数的单调性和奇偶性的应用，指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的应用，函数的零点判断，简单的函数建模，导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应用(4)以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模备考建议基本初等函数和函数的应用：在掌握好基本知识的前提下重点解决函数性质在解决问题中的综合应

4、用、函数性质在判断函数零点中的应用，指数函数、对数函数的图象和性质的应用，数形结合思想的应用导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点解答策略1讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对

5、定义域的影响.2运用函数的性质解题时，注意数形结合，扬长避短.3对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对二次项含参数的二次函数问题，应分a0和a0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a1和0a1分两种情况讨论.4解答函数性质有关的综合问题时，注意等价转化思想的运用.5在理解极值概念时要注意以下几点：极值点是区间内部的点，不会是端点；若在（a，b）内有极值，那么在（a，b）绝不是单调函数；极大值与极小值没有必然的大小关系；一般的情况，当函数在a，b上连续且有有限个极值点时，函数在a，b内的极大值点和极小值点是交替出现的；导数为0的点是该点为极值点

6、的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.6求函数的最值可分为以下几步：求出可疑点，即0的解x0；用极值的方法确定极值；将（a，b）内的极值与，比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处有极大（小）值，则可以确定在该点处了取到最大（小）值.7利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：0是递增的充分条件而非必要条件（0亦是如此）；求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据0（或0）解出在定义域内相应的x的范围；在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.8函数、导数的综合问题往往

7、以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化； (3)不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.典型例题考点一. 函数的解析式、定义域、值域求法例函数的定义域为ABCD解：由.故选C【名师点睛】：函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.例用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值，设=min, x+2,10-x (x 0),则的最大值为

8、（A）4 （B）5 （C）6 （D）7【解析】：利用数形结合，画出函数的大致图象，如图所示，很容易的得到函数的最大值是当时，的最大值为6【名师点睛】：解决本题的最好方法是数形结合，本题考查学生对函数知识的灵活运用和对新定义问题的快速处理考点二. 函数的零点例函数的零点个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3解:当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。【名师点睛】：求函数的零点：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点例设a为常数，试讨论方程的实根的个数。解：原方程等价于即构造函数和，作出它们的图像

9、，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：当或时，原方程有一解；当时，原方程有两解；当或时，原方程无解。【名师点睛】：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。例已知a是实数，函数，如果函数在区间-1，1上有零点，求实数a的取值范围。解：当a=0时，函数为=2x -3，其零点x=不在区间-1，1上。当a0时，函数在区间-1，1分为两种情况：函数在区间1，1上只有一个零点，此时或解得1a5或a= 函数在区间1，1上有两个零点，此时 或解得a5或a0恒成立；f(x)0)在区间上有四个不同

10、的根,则解：因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程=m(m0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以答案:-8【名师点睛】：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题例已知函数若则实数的取值范围是 A B C D 解：由已知，函数在整个定义遇上单调递增的故 ，等价于，解得答案C【名师点睛】：在处理函数单调性时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，

11、显得更加简单、方便例已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ） ABCD解：的图象为椭圆上半部分，的图象为两条线段根据的周期T=4可知其图象，由方程恰有5个实数解，则有两解 即 有两解，所以解得； 无解即无解，所以解得。故【名师点睛】：函数的图象从直观上很好地反映出了函数的性质，所以在研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用，但要注意，利用图象求交点个数或解的个数问题时，作图要十分准确，否则容易出错.考点四.函数的图象例单位圆中弧长为，表示弧与弦所围成弓形面积的2倍。则函数的图像是（ ）C解：法一：定量分析。可列出，知时，图像在

12、下方；时，图像在上方。选D法二：定性分析。当从增至时，变化经历了从慢到快，从快到慢的过程，选D法三：观察满足：，故图像以为对称中心。选D【名师点睛】：函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.考点五.函数综合问题例设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值；(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.解：（1）若，则（2）当时， 当时，

13、综上（3）时，得，当时，；当时，0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.【名师点睛】：函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.例设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.证明：由题意可知.， ， 当时，.又， ，综上可知，所给问题获证. 【名师点睛】：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式.例已知函数x-1，1，函数g(x)=f（x）2-2af(x)+3的最小值为h(a). （1）求h(a); (2)是否存在实数m，n,同时满足以下条件： mn3;当h(a)的定义域为n,m时，值域

14、为？若存在，求出m，n的值，否则，说明理由.解：（1）因为-1x1, （2）因为mn3,故h(a)=12-6a,且h(a)在(3,+)上单调递减，假设h(a)定义域为n，m，值域为，则有 两式相减得6（m-n)=(m-n)(m+n), 又mn3,所以m+n=6. 这与“mn3m+n6”矛盾，故满足条件的实数m,n不存在.【名师点睛】：（1）复合函数.可设t=f(x)并求出t的范围， 将g(x)化为关于新元t的二次函数，再求h(a). （2）探索性问题，往往先假设成立，并依此探求，如能求出合适的值m,n，说明“假设成立”是正确的，否则，不成立. 例设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最

15、小值解：（1）当时，函数，此时为偶函数；当时， 此时函数既不是奇函数，也不是偶函数；（）当时，函数若，则函数在上单调递减，从而，函数在上的最小值为；若，则函数在上的最小值为，且；当时，函数；若，则函数在上的最小值为，且若，则函数在上单调递增，从而，函数在上的最小值为综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是【名师点睛】：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为xR，=|a|+10，由此排除是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a=0时，是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。考点六 抽象函数

16、例：已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 A.0 B. C.1 D. 解：当时有，即 又是偶函数 当时有，当时有，又当时有， ，故选（ A ）【名师点睛】：所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。例：定义在R上的单调函数满足=log3且对任意x，yR都有= +(1)求证为奇函数；(2)若f(k3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围解：(1)：= + (x，yR)，令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0

17、)，即 f(0)=0令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数(2)：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数f(k3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k3-3+9+2，3-(1+k)3+20对任意xR成立令t=30，问题等价于t-(1+k)t+20对任意t0恒成立R恒成立【名师点睛】：利用抽象条件，通过合理赋值(赋具体值或代数式)、整体思考、找一个具体函数原型等方法去探究函数的性

18、质。如奇偶性、周期性、单调性、对称性等，再运用相关性质去解决有关问题，是求解抽象函数问题的常规思路。其中合理赋值起关键性的作用。对抽象函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加数量的趋势。考点七：利用导数研究曲线的切线例：曲线在点处的切线方程为（ ）（A） （B） （C） （D）解 ：因为 ，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A.【名师点睛】求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。注：当曲线在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为；当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标

19、，再求解。考点八：利用导数研究导数的单调性例：已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.解（1） 当所以 因此,即曲线又所以曲线（2）因为,所以 ,令当时，所以 当时，0，此时，函数单调递减；当时，0，此时，函数单调递增.当时，由，即，解得. 当时， ， 恒成立，此时，函数在（0，+）上单调递减; 当时， ，时，,此时,函数单调递减时，0,此时,函数单调递增时，此时，函数单调递减 当时，由于,时，,此时,函数单调递减：时，0，即又对任意的成立.特别地，取时，成立，得m0.则又所以函数在的最大值为0.于是当m1时，f(x)g(x) ()如果且证明【解析】（）解：f令f

20、(x)=0,解得x=1当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表X()1()f(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=（）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x1时，2x-20,从而(x)0,从而函数F（x）在1,+)是增函数。又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).)证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（）可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由（）可知函数f(x)在区间（-，1）内事增函数，所以,即2.14、已知函

21、数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求的单调区间；（）证明：对任意的在区间内均存在零点 （）解：当时，所以曲线在点处的切线方程为 （）解：，令，解得因为，以下分两种情况讨论： （1）若变化时，的变化情况如下表：+-+所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。 （2）若，当变化时，的变化情况如下表：+-+所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 （）证明：由（）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论： 当时，在（0，1）内单调递减， 所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。 当时，在内单调递减，在内单调递增，若所以内存在零点。若所以内存在零点。所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。15、已知，函数（的图像连续不断）（）求的单调区间；（）当时，证明：存在，使；（）若存在均属于区间的，且，使，证明（）解:,令,解得.当变化时, 的变化情况如下表:+0-极大值所以的单调递增区间是;的单调递减区间是.（）证明: 当时，.由（）知在(0,2)内单调递增,在内单调递减.令,由在(0,2)内单调递增,故,即,取,则,所以存在，使.（）证明:由及（）的结论知,从而在上的最小值为.又由,知.故,即,从而.专心-专注-专业