中考复习圆专题含答案(共19页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上中考专题复习圆一、 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.转为几何语言： CD是直径, CDAB,AM=BM, =，=如果把条件和结论看成是5个条件，相互间是否还有其它关系呢？如图,在下列五个条件中: CD是直径, CDAB, AM=BM,=，= 只要具备其中两个条件，就可推出其余三个结论. 你可以写出相应的命题吗?条件结论命 题垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的

2、两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. 垂径定理是圆这一章的重要内容，在实际生活中有着广泛的应用在各地中考题中对垂径定理的考查频频出现，这类问题常常需要结合勾股定理来解决，现以中考题为例说明如下：类型一 求直径【例1】如图，的直径垂直弦于点，且点是半径的中点，则直径的长是（ ）A B C D 【解析】解决本题的关键是构造直角三角形，根据勾股定理列出方程求解即可连接OD，由垂径定理可知PD=(cm)设半径OD=x cm，

3、则OP=(cm)在RtOPD中，因为，所以解这个方程，得所以直径AB的长为(cm)，故应选D类型二 求弦长【例2】如图，的直径，弦于点E，O的半径为，则弦的长为（ ）A B C D 【解析】因为，所以CEO=90，OCD=30又因为O的半径为，所以OE=OC=由勾股定理可得所以CD=2CE=3(cm)故应选B类型三 求弦心距【例3】O的半径为10 cm，弦AB=12 cm，则圆心到弦AB的距离为（ ）A2 cm B6 cm C8 cm D10 cm【解析】画出示意图如图，作于点，连接OA，由垂径定理，得AC=在RtAOC中，由勾股定理，得OC=(cm)故应选C类型四 求拱高【例4】如图，某公园

4、的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）A5米 B8米 C7米 D5米【解析】设石拱桥圆弧的圆心为O，连接OA、OD，则ODAB又因为OA=13，由垂径定理可得AD=所以在RtAOD中，OD=所以CD=OCOD=135=8（米）故应选B类型五 探究线段的最小值【例5】如图，O的半径弦点为弦上一动点，则点到圆心的最短距离是_cm【解析】因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，所以需作出弦AB的弦心距过点O作OCAB， C为垂足，由垂径定理，知AC=(cm)在RtAOC中，由勾股定理可得OC=故点P到圆心O的最短距离为3 cm二、 圆周角定理及

5、推论圆周角解题技巧在数学里，把一个对象转化为另一个对象，常常可以化繁为简，化未知为已知，从而达到解决问题的目的，这种思考问题的方法，就是“转化”在研究与圆周角有关的问题时，常进行等角间的转化【例1】如图，已知AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于点E连接AC，OC，BC（1）求证：ACO=BCD（2）若EB=8 cm，CD=24 cm，求O的直径【分析】（1）欲证ACO=BCD，关键是进行等角间的转化：ACO=OAC，BCD=OAC，转化的依据是等腰三角形的性质定理和圆周角的“等弧所对的圆周角相等”；（2）借助勾股定理构建方程即可求得O的直径解：（1）AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于点E

6、，CE=ED，=BCD=BACOA=OC，OAC=OCAACO=BCD（2）设O的半径为R cm，则OE=OBEB=R8CE=CD=24=12在RtCEO中，由勾股定理可得OC2=OE2CE2，即R2=(R8)2122解得R=13所以2R=213=26【例2】如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，BFC=BAD=2DFC求证：（1）CDDF；（2）BC=2CD【分析】（1）欲证CDDF，可转化为证明FCD+CFD=90由圆周角的性质有FCD=ABD，再联系条件BAD=2CFD，不难向等腰ABD的内角和定理进行联想，从而找到解题的切入点；（2）欲证BC

7、=2CD，现在还有一个条件BFC=BAD没有用，注意到BFC=ABF+BAC，BAD=CAD+BAC，从而有ABF=CAD，而CAD=CBD，故ABF=CBD，即ABD=FBC，而ABD=ADB=FCB，从而FBC=FCB，于是得FB=FC思考到这里，不妨再回头看看证题目标BC=2CD，可考虑取BC的中点G，于是问题转化为证明CG=CD，即证FGCFDC证明：（1）AB=AD，ABD=ADB在ABD中，BAD+2ABD=180又BAD=2DFC，FCD=ABD，2DFC+2FCD=180DFC+FCD=90FDC=90CDDF（2）BFC=ABF+BAC，BAD=CAD+BAC，ABF=CAD

8、又CAD=CBD，ABF=CBD，即ABD=FBC，而ABD=ADB=FCB，FBC=FCB，FB=FC取BC的中点G，连接FGFGBCFGC=90AB=AD，=，ACB=ACDFGC=FDC=90，FC=FC，FGCFDCCG=CDBC=2CG，BC=2CD三、 切线及切线长定理怎样证明直线与圆相切？在直线与圆的各种位置关系中，相切是一种重要的位置关系现介绍以下三种判别直线与圆相切的基本方法：（1）利用切线的定义在已知条件中有“半径与一条直线交于该半径的外端”，于是只需直接证明这条直线垂直于这个半径即可【例1】已知：ABC内接于O，O的直径AE交BC于F点，点P在BC的延长线上，且CAP=A

9、BC求证：PA是O的切线【证明】连接ECAE是O的直径，ACE=90EEAC=90E=B，B=CAP，E=CAPEACCAP=EACE=90EAP=90PAOA又PA经过点A，PA是O的切线（2）利用切线的判定定理在已知条件中，有“一条直线过圆上某一点（即为切点），但没有半径”，于是先连接圆心与这个点成为半径，然后再证明这条直线和这条半径垂直【例2】以RtABC的直角边BC为直径作O交斜边AB于点P，点Q为AC的中点求证：PQ为O的切线【证明】连接OP，CPBC为直径，BPC=90，即APC=90又点Q为AC的中点，QP=QC1=2又OP=OC，3=4又ACB=90，24=13=ACB=90O

10、PQ=90点P在O上，且点P为半径OP的端点，QP为O的切线说明：要证PQ与半径垂直，即连接OP这是判别相切中添加辅助线的常用方法（3）证明“d=R”，在已知条件中“没有半径，也没有明确直线与圆的公共交点”，于是过圆心作直线的垂线，然后再证明这条垂线段的长(d)等于圆的半径(R)即可【例3】已知，在ABC中，ADBC于点D，且AD=BC，点E，F分别为AB，AC的中点，点O为EF的中点 求证：以EF为直径的圆与BC相切【证明】作OHBC于点H，设AD与EF交于点M点E，F分别为AB，AC的中点，EF=BC点M也是AD的中点，即MD=AD又AD=BC，EF=AD，MD=EF又ADBC，OHMD四

11、边形OHDM是矩形OH=MD=EFOH是O的半径以EF为直径的圆与BC相切与切线长定理相关的中考压轴题1已知：以RtABC的直角边AB为直径作O，与斜边AC交于点D，过点D作O的切线交BC边于点E（1）如图，求证：EB=EC=ED；（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2=4DFDC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由分析：（1）连接BD，已知ED、EB都是O的切线，由切线长定理可证得OE垂直平分BD，而BDAC（圆周角定理），则OEAC；由于O是AB的中点，可证得OE是ABC的中位线，即E是BC中点，那么RtBDC中，DE就是斜边BC的中线，由此可证得所求的结论；（2）

12、由（1）知：BC=2BE=2DE，则所求的比例关系式可转化为=DFDC，即DE2=DFDC，那么只需作出与DEC相似的DFE即可，这两个三角形的公共角为CDE，只需作出DEF=C即可；DECC，即180-2CC，0C60时，DEF的EF边与线段CD相交，那么交点即为所求的F点；DEC=C，即180-2C=C，C=60时，F与C点重合，F点仍在线段CD上，此种情况也成立；DECC，即180-2CC，60C90时，DEF的EF边与线段的延长线相交，与线段CD没有交点，所以在这种情况下不存在符合条件的F点解：（1）证明：连接BD由于ED、EB是O的切线，由切线长定理，得ED=EB，DEO=BEO，O

13、E垂直平分BD又AB是O的直径，ADBDADOE即OEAC又O为AB的中点，OE为ABC的中位线，BE=EC，EB=EC=ED（2）解：在DEC中，由于ED=EC，C=CDE，DEC=180-2C当DECC时，有180-2CC，即0C60时，在线段DC上存在点F满足条件在DEC内，以ED为一边，作DEF，使DEF=C，且EF交DC于点F，则点F即为所求这是因为：在DCE和DEF中，CDE=EDF，C=DEF，DEFDCEDE2=DFDC即=DFDCBC2=4DFDC当DEC=C时，DEC为等边三角形，即DEC=C=60，此时，C点即为满足条件的F点，于是，DF=DC=DE，仍有BC2=4DE2

14、=4DFDC当DECC时，即1802CC，60C90；所作的DEFDEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F点评：此题主要考查了直角三角形的性质、切线长定理、三角形中位线定理及相似三角形的判定和性质；（2）题一定要注意“线段DC上是否存在点F”的条件，以免造成多解2如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，ABBC，以AB为直径的O与DC相切于E已知AB=8，边BC比AD大6（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由分析：过D作DFBC于F，设AD=x，则DE=AD=x，

15、EC=BC=x+6，根据勾股定理就得到一个关于x的方程，就可以解得AD的长；ADP和BCP相似，有ADPBCP和ADPBPC两种情况进行讨论，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出AP的长解：（1）方法1：过D作DFBC于F，在RtDFC中，DF=AB=8，FC=BC-AD=6，DC2=62+82=100，即DC=10设AD=x，则DE=AD=x，EC=BC=x+6，x+(x+6)=10x=2AD=2，BC=2+6=8方法2：连OD、OE、OC，由切线长定理可知DOC=90，AD=DE，CB=CE，设AD=x，则BC=x+6，由射影定理可得：OE2=DEEC即：x(x+6)=16，解得x1

16、=2，x2=-8，（舍去）AD=2，BC=2+6=8（2）存在符合条件的P点设AP=y，则BP=8-y，ADP与BCP相似，有两种情况：ADPBCP时，有，即y=ADPBPC时，有，即y=4故存在符合条件的点P，此时AP=或4点评：本题主要考查了相似三角形的判定性质，对应边的比相等的两三角形相似3如图，已知AB为O的直径，PA，PC是O的切线，A，C为切点，BAC=30（）求P的大小；（）若AB=2，求PA的长（结果保留根号）分析：（）根据切线的性质及切线长定理可证明PAC为等边三角形，则P的大小可求；（）由（）知PA=PC，在RtACB中，利用30的特殊角度可求得AC的长解：（）PA是O的切

17、线，AB为O的直径，PAAB，BAP=90；BAC=30，CAP=90-BAC=60又PA、PC切O于点A、C，PA=PC，PAC为等边三角形，P=60（）如图，连接BC，则ACB=90在RtACB中，AB=2，BAC=30，cosBAC=，AC=ABcosBAC=2cos30=PAC为等边三角形，PA=AC，PA=点评：本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长四、 正多边形与圆4（1）已知如图所示，ABC是O的内接正三角形，点P为上一动点，求证PAPBPC下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明

18、方法证明：在AP上截取AECP，连接BEABC是正三角形，ABCB1和2是同弧所对的圆周角12ABECBP （2）如图所示，四边形ABCD是O的内接正方形，点P为上一动点，求证：PAPCPB（3）如图所示，六边形ABCDEF是O的内接正六边形，点P为上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论4证明：（1）如图所示，延长BP至E，使PEPC，连接CE易知CPECAB60，PCE是等边三角形CEPC，ECP60ECPPCBBCAPCB，即ECBPCA在CAP和CBE中，CACB，CPCE，PCAECB，CAPCBEPABEPBPC（2）如图所示，过点B作BEPB交PA于E1

19、22390，13又ABBC，BAPBCP，ABECBP，PCAEAPB45，BPBE，PEPBPAAEPEPCPB（3）PAPCPB证明：如图所示，在AP上截取AQPC，连接BQBAPBCP，ABBC，AQCP，ABQCBP，BQBP又APB30，PQPBPAPQAQPBPC五、 与圆有关的计算1如图，将圆沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则弧AMB的度数是（）A60 B90 C120 D1502如图，王虎使一长为4 cm、宽为3 cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A位置变化为AA1A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木板档住，使木板与桌面成30角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（）A10 cm B4 cm C cm D cm3如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6 cm的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是_cm（结果不取近似值）4、如图，在RtABC中，ACB=90，A=30，AC=，BC=1，将RtABC绕点C旋转90后得RtABC，再将RtABC绕点B旋转为RtABC使得点A，C，B，A在同一条直线上，则点A运动到点A所走的路径长为_专心-专注-专业