《数学思维拓展》资源包——盈亏问题ppt课件.pptx

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1、在此输入您的封面副标题数学思维拓展资源包盈亏问题 高等师范院校数学教材教学资源包高等师范院校数学教材教学资源包课题解析核心提示典型例题教学策略 【课题解析】 盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况分配不足时，称之为盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况分配不足时，称之为“亏亏”，分配有余称之为，分配有余称之为“盈盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足，如果每人多分，则物品就不足(

2、也就是亏也就是亏)，凡，凡研究这一类算法的应用题叫做研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题盈亏问题” 【核心提示】盈亏问题的基本关系式：盈亏问题的基本关系式：(盈盈 亏亏) 两次分得之差两次分得之差 人数或单位数人数或单位数(盈盈 盈盈) 两次分得之差两次分得之差 人数或单位数人数或单位数(亏亏 亏亏) 两次分得之差两次分得之差 人数或单位数人数或单位数物品数可由其中一种分法和人数求出物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题盈亏问题”.

3、注意注意1.条件转换条件转换 2.关系互换关系互换【典型例题】例例1 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动如果每人搬三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动如果每人搬4块砖，还剩块砖，还剩7块；如果每人搬块；如果每人搬5块，则少块，则少2块砖这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？块砖这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？ 比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块这两次搬砖，每人相差 （块）第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数： （块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员 （人）共有砖： （块）72991991949743

4、【举一反三】明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了元，就多出了8元；每人出元；每人出7元，就多出了元，就多出了4元元那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？解析解析“多8元”与“多4元”两者相差8-4=4 （元），每个人要多出 8-7=1（元），因此就知道，共有 41=4（人），蛋糕价钱是 84-8=24（元）【典型例题】猴王带领一群猴子去摘桃下午收工后，猴王开始分配若大猴分猴王带领一群猴子去摘桃下午收工后，猴王开始分配若大猴分 个，小猴分个，小猴分 个，猴王可个，猴王可留留 个

5、若大、小猴都分个若大、小猴都分 个，猴王能留下个，猴王能留下 个在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多个在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多 只只【解析】当大猴分 5个，小猴分3 个时，猴王可留 10个若大、小猴都分 4个，猴王能留下 20个也就是说在大猴分5 个，小猴分3 个后，每只大猴都拿出 1个，分给每只小猴 1个后，还剩下20-10=10 个，所以大猴比小猴多10 只【举一反三】学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差本，还差9本，每人发本，每人发9本，还差本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？本，

6、请问有多少老师？多少本书？解析：“差9本”和“差2本”两者相差9-2=7 （本），每个人要多发 10-9=1（本），因此就知道，共有老师 71=7（人），书有 710-9=61（本）【典型例题】某校安排学生宿舍，如果每间住某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有人则有14人没有床位；如果每间住人没有床位；如果每间住7人，则多出人，则多出4个床位，个床位，问宿舍几间问宿舍几间?住宿生几人住宿生几人?由已知条件 每间5人 少14个床位 每间7人 多4个床位比较两次分配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住7-5=2 人，一共要多出 14+4=18个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差，

7、可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数【举一反三】学校有学校有30间宿舍，大宿舍每间住间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住人，小宿舍每间住4人已知这些宿舍中共住了人已知这些宿舍中共住了168人，那么其中人，那么其中有多少间大宿舍？有多少间大宿舍？解析：如果30间都是小宿舍，那么只能住 430=120（人），而实际上住了168人大宿舍比小宿舍每间多住 6-4=2（人），所以大宿舍有(168-120) 2=24（间）（这是一个鸡兔同笼，放在这里做对比）【典型例题】猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分条鱼，每只小猫分11

8、条鱼则正好分完，那条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？ 猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是 （条），由盈亏问题公式得，有小猫： （只），猫妈妈有 （条）鱼.11 101818 8 10888【举一反三】学而思学校三年级基础班的一部分同学分小玩具，如果每人分学而思学校三年级基础班的一部分同学分小玩具，如果每人分4个就少个就少9个，如果每人分个，如果每人分3个正好个正好分完，问：有多少位同学分多少个小玩具？分完，问：有多少位同学分多少个小玩具？解析：第一种分配方案亏9个小玩具，第二种方

9、案不盈不亏，所以盈亏总和是9个，两次分配之差是： （个），由盈亏问题公式得，参与分玩具的同学有： （人），有小玩具 （个）4319199327【典型例题】甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信纸，乙每封信用张信纸，乙每封信用3 张张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下张信纸，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则个信封，则他们每人各买了多少张信纸？他们每人各买了多少张信纸？由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 张信纸这是盈亏问

10、题，盈亏总额为(2030)张信纸， 两次分配的差为(32)张信纸，所以有信封(2030)(32)50(个)，有信纸25020120(张)【举一反三】实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐人上不了车；如果每辆车多坐5人，恰好多人，恰好多出一辆车出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？问一共有几辆车，多少个学生？解析解析：没辆车坐60人，则多余15人，每辆车坐60+5=65人，则多出一辆车，也就是差65人.因此车辆数目为：（65+15）5=805=16（辆）. 学生人数为：60（16-1）+15=6015+15=90

11、0+15=915（人）.【典型例题】例例6 幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下个，则余下10个个。如全部分给小班的小朋友，每人分到。如全部分给小班的小朋友，每人分到8个，则缺个，则缺2个。已知大班比小班多个。已知大班比小班多3人，问：这筐苹人，问：这筐苹果共有多少个？果共有多少个？先把大班人数和小班人数转化为一样。大班减少3人，则苹果又收回 个苹果，人数一样，根据盈亏问题公式，小班人数为： 人，苹果总数是 个。3 515(15102)(85)989270【举一反三】明明过生日，同学们去给他买蛋糕，

12、如果每人出明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了元，就多出了8元；每人出元；每人出7元，就多出了元，就多出了4元元那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？解析解析“多8元”与“多4元”两者相差8-4=4 （元），每个人要多出 8-7=1（元），因此就知道，共有 41=4（人），蛋糕价钱是 84-8=24（元）【典型例题】有一些糖，每人分有一些糖，每人分 块则多块则多 块，如果现有人数增加到原有人数的块，如果现有人数增加到原有人数的 倍，那么每人倍，那么每人 块就少两块就少两块，这些糖共有多少块？块，这些糖共有多少块？【解

13、析】第一次每人分 块，第二次每人分 块，可以认为原有的人每人拿出 块糖分给新增加的人，而新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分到 块糖果，这些人每人还差 块，一共差了 块，所以新增加了 人，原有 人糖果数为： (块)54541242210212122662121251070【举一反三】卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5个还多余个还多余10棵竹子，如果大棵竹子，如果大熊猫数增加到熊猫数增加到3倍还少倍还少5只，那么每只大熊猫分只，那么每只大熊猫分2棵竹子还缺少棵竹子还缺少8棵竹子，问有大熊猫多少只

14、，竹子棵竹子，问有大熊猫多少只，竹子多少棵？多少棵？解析：使同学们感到困难的是条件“3倍还少5只大熊猫”先要转化这一条件，假设还有 10棵竹子， ，就可以多有 5个大熊猫，把“少5只大熊猫”这一条件暂时搁置一边，只考虑3倍大熊猫数，也相当于按原大熊猫数每只大熊猫给 (棵)竹子，每只大熊猫给5棵与给6棵，总数相差 (棵)，所以原有大熊猫数 (只)，竹子总数是 (棵)236101082828(65)2852810150【典型例题】王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍倍.桔子每人分桔子每人分3个，多个，多4个；苹果每人个；苹果每人分分7个，少个

15、，少5个个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个.又已知苹果每人分7个少5个，所以应有（8+5）（6-5）=13（人）.苹果个数为137-5=86（个）.桔子数为133+4=43（个）.【举一反三】学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，副，余乒乓球拍余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍副，每组分羽毛球拍14副，则差副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各

16、副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？多少副？解析：因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍52=10（副），最后应余下152=30（副），因为14-52=4（副），分到最后还差30副，所以比每次分10副总共差30+30=60（副），所以有小组：604=15（组），乒乓球拍有：515+15=90（副），羽毛球拍902=180（副）【典型例题】用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子米；如果绳子3折时，差折时，差4米米.求绳子长度和求绳子长度和井深井深.井的深度为：（52+43）（3-2）=221=22（米）.绳子长度

17、为：（22+5）2=272=54（米），或者（22-4）3=183=54（米）.【举一反三】乐乐有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中乐乐有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比分币比5分币多分币多22个；按钱数算，个；按钱数算，5分币却比分币却比2分币多分币多4角；另外，还有角；另外，还有36个个1分币乐乐共存了多少钱？分币乐乐共存了多少钱？ 假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比一个2分币多3分，所以5分币有： （个）；2分币有： （个）所以乐乐共存钱： （分） 845228（）2822505282501 3614010036276 【典型例题】阳光小学学

18、生乘汽车到香山春游如果每车坐阳光小学学生乘汽车到香山春游如果每车坐65人，则有人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐人不能乘上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？每车多坐5人，实际是每车可坐 (人)，恰好多余了一辆车，也就是还差一辆汽车的人，即70人因而原问题转化为：如果每车坐65人，则多出5人无车乘坐；如果每车坐70人，还少70人， 求有多少人和多少辆车？车数是 (辆)，人数是 (人)或 (人)5565515（）65 155980565151980（）（）【举一反三】幸福小学少先队的同学到会议室开会，若每条长椅上

19、坐幸福小学少先队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出人则多出7人，若每条长椅上多坐人，若每条长椅上多坐4人则人则多出多出3条长椅问：到会议室开会的少先队员有多少人？条长椅问：到会议室开会的少先队员有多少人？解析：第二个条件可转化为：“每条长椅上坐7个人，则少21个人”，“多7人”与“少21人”两者相差 (人)，每条长椅要多坐 (人)，因此就知道，共有 (条)长椅，人数是 (人)72128734284773728【典型例题】例例11 学校为新生分配宿舍每个房间住学校为新生分配宿舍每个房间住3人，则多出人，则多出23人；每个房间住人；每个房间住5人，则空出人，则空出3个房个房间问宿舍有多少

20、间？新生有多少人？间问宿舍有多少间？新生有多少人？每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房间，这3个房间如果住满人应该是 (人)，由此可见，每一个房间增加 (人)两次安排人数总共相差 (人)，因此，房间总数是：38219(间)，学生总数是： (人)，或者 (人)531 55322315383 1923805 195380【举一反三】学校为新生分配宿舍每个房间住学校为新生分配宿舍每个房间住3人，则多出人，则多出22人；每个房间多住人；每个房间多住5人，则空人，则空1个房间问宿舍有个房间问宿舍有多少间？新生有多少人？多少间？新生有多少人？解析：每个房间住3人，则多出22人，每个房

21、间多住5人，意味着就是每个房间住8个人,则空出1个房间，这1个房间如果住满人应该是 (人)，由此可见，每一个房间增加 (人)两次安排人数总共相差 (人)，因此，房间总数是： (间)，学生总数是： 188835228303056362240【典型例题】国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆如果每人摆国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆如果每人摆5盆花，还有盆花，还有3盆没人摆盆没人摆；如果其中；如果其中2人各摆人各摆4盆，其余的人各摆盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完问有多少少先队员参加摆花盆，这些花盆正好摆完问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？盆活动，一共摆多少花盆？

22、【解析】这是一道有难度的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完，这组条件中包含着两种摆花盆的情况2人各摆4盆，其余的人各摆6盆如果我们把它统一成一种情况，让每人都摆6盆，那么，就可以多摆 (盆)因此，原问题就转化为：如果每人各摆5盆花，还有3盆没人摆；如果每人摆6盆花，还缺4盆问有多少少先队员，一共摆多少花盆？人数： (人)，盆数： (盆)或 (盆)6424（） 3642657（）（）5733867438【举一反三】妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分个，其余人每人分

23、2个，则多出个，则多出4个；如果其中个；如果其中一人分一人分6个，其余人每人分个，其余人每人分4个，则缺少个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个个，妈妈买来橘子多少个?全家共有多少人全家共有多少人?解析：由“其中两人分4个，其余每人分2个，则多出4个”转化为全家每人都分2个，这分4个的两人每人都拿出2个，共拿出4个，结果就多了 个；由“一人分6个，其余每人分4个，则缺少12个”转化为全家每人都分4个，分6个的人拿出2个，结果就少了 个，转变成了盈亏问题的一般类型，则： 全家的人数： (人) 橘子的个数： (个) 44812210422(122)(42)182929826【典型例题】四班举行四班举

24、行“六一六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果如果买芒果联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果如果买芒果 13千克，千克，还差还差4 元；如果买奶糖元；如果买奶糖 15千克，则还剩千克，则还剩 2元已知每千克芒果比奶糖贵元已知每千克芒果比奶糖贵 2元，那么，辅导员老师元，那么，辅导员老师带了带了 元钱元钱这笔钱买 千克芒果还差 元，若把这 千克芒果换成奶糖就会多出 元，所以这笔钱买13千克奶糖会多出 元而这笔钱买 15千克奶糖会多出2 元，所以每千克奶糖的价格为： （元）辅导老师共带了 元134132261326422(222)(1513)1010 152152【举一反三】小明妈妈带着一

25、笔钱去买肉，若买小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差千克牛肉则还差6元，若买元，若买12千克猪肉则还剩千克猪肉则还剩4元已知每千元已知每千克牛肉比猪肉贵克牛肉比猪肉贵3元，问：小明妈妈带了多少钱？元，问：小明妈妈带了多少钱？解析：解析：因为“每千克牛肉比猪肉贵3元”，所以同样买10千克猪肉的话，就剩了310624（元），这样化成普通的盈亏问题，猪肉的价钱是：（244）（1210）10（元），所以小明妈妈带的钱数是：12104124（元）【典型例题】小强由家里到学校，如果每分钟走小强由家里到学校，如果每分钟走 50米，上课就要迟到米，上课就要迟到 3分钟；如果每分钟走分钟；如果每分钟

26、走 60米，就可米，就可以比上课时间提前以比上课时间提前 2分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？迟到3 分钟转化成米数： （米），提前2 分钟到校转化成米数： （米），距离上课时间为： （分钟），家到学校的路程为： （米）503150602120(150120)(6050)2750(273)1500【举一反三】东东从家去学校，如果每分走东东从家去学校，如果每分走80米，结果比上课提前米，结果比上课提前6分到校，如果每分走分到校，如果每分走50米，则要迟到米，则要迟到3分，那分，那么东东家到学校的路程是么东东家到学校的路程是_米米解析：这道题看似行程问题，

27、实质却可以用盈亏问题来解.先求出东东从家到学校路上要用多长时间，根据已知 ， (分钟)，然后可求东东家离校的路程为： (米)(806503)(8050)630302180(216)1200【典型例题】“六一六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等花球原价儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等花球原价1元钱元钱2个，白球原价个，白球原价1元钱元钱3个因节日商店优惠销售，两种球的售价都是个因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱元钱5个，结果小明少花个，结果小明少花了了4元钱，那么小明共买了多少个球？元钱，那么小明共买了多少个球？花球原价1元钱

28、2个，白球原价1元钱3个即花球原价10元钱20个，白球原价10元钱30个那么，同样买花球和白球各30个，花球要比白球多花 （元），共需要 （元）现在两种球的售价都是2元钱5个，花球和白球各买30个需要 （元），说明花球和白球各买30个能省下 （元）现在共省了4元，说明花球和白球各有 （个），共买了 （个）102530230325(305)2224 252413041201202240【举一反三】幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖她发给每个小朋友幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖她发给每个小朋友2块巧克力，块巧克力，7块奶糖和块奶糖和8块水块水果糖发完后清点一下，水果糖还剩果糖发

29、完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的块，而巧克力恰好是奶糖的3倍那么共有倍那么共有几几个小朋友个小朋友 8?份 7?份 2?份 15?水果糖?奶糖?巧克力解析解析：画线段图分析，由题意知：从奶糖的7份中取2份，那么剩下的5份就和上面的2小段相等如图： 2?小段 5?份 15?水果糖?奶糖?巧克力那么2小段和5份都看成10份量，那么总量就相当于19份量，水果糖中原有的8份就是现在的16份，则剩下的15块水果糖就占有3份，则1份就是5块，给小朋友们分出去的水果糖数量是： （块），小朋友的人数是： （人）1658080810 【教学策略】 本节课的教学,由于平时数学新课教学时讲授时间偏长,学生自主学习时间较少，课堂生活单调，学生难以体验到学习的快乐。而盈亏问题我们利用典型例题，采用先让学生实际用数字试一试，感受一下得出的结果,使他们充分体验生活中数学的应用与价值,感受数学与自己生活的密切联系.这样他们自己就有了学习的愿望,变被动为主动,这也正是每节数学课希望达到的目标。