数字逻辑 2：逻辑代数基础ppt课件.ppt

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1、在此输入您的封面副标题数字逻辑 2：逻辑代数基础武汉纺织大学朱勇数字逻辑 第二章逻辑代数基础2/82逻辑代数基本规则逻辑代数基本规则 l逻辑变量取值只能是逻辑变量取值只能是0和和1，且，且0和和1不不表示具体数量的大小，只表示两种不表示具体数量的大小，只表示两种不同的逻辑状态。同的逻辑状态。l逻辑代数中基本运算只有逻辑代数中基本运算只有“与与”、“或或”、“非非”三种。三种。数字逻辑 第二章逻辑代数基础3/82逻辑代数公理逻辑代数公理 数字逻辑 第二章逻辑代数基础4/82逻辑代数定理逻辑代数定理 数字逻辑 第二章逻辑代数基础5/82代入规则代入规则（Substitution Rule）l已知已

2、知 如果用如果用h替换等式两边的替换等式两边的Xi，则等式，则等式仍然成立。即仍然成立。即数字逻辑 第二章逻辑代数基础6/82反演规则反演规则（Inversion Rule） l若若则则 l变量和常量（变量和常量（0和和1）取反，并将运算）取反，并将运算符符“+”变为变为“”、“”变为变为“+” 。数字逻辑 第二章逻辑代数基础7/82反演实例反演实例数字逻辑 第二章逻辑代数基础8/82对偶规则对偶规则（Duality Rule） l若若 则则 l所有的所有的“+”变为变为“”、“”变为变为“+”，“0”变为变为1”、“1”变为变为“0”，而逻辑，而逻辑变量保持不变变量保持不变 。数字逻辑 第二

3、章逻辑代数基础9/82对偶实例对偶实例数字逻辑 第二章逻辑代数基础10/82逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法l逻辑函数的常见表示方法有逻辑表达逻辑函数的常见表示方法有逻辑表达式、真值表、卡诺图和逻辑图四种，式、真值表、卡诺图和逻辑图四种，各种表示方法之间可以相互转换。各种表示方法之间可以相互转换。 数字逻辑 第二章逻辑代数基础11/82逻辑表达式逻辑表达式（Logic Expression）l逻辑表达式由逻辑变量及逻辑表达式由逻辑变量及“与与”、“或或”、“非非”三种运算符构成的式三种运算符构成的式子。例如子。例如 数字逻辑 第二章逻辑代数基础12/82真值表真值表（Truth Table

4、） l真值表是一种表格表示法。真值表实真值表是一种表格表示法。真值表实际上是利用穷举法描述逻辑函数。际上是利用穷举法描述逻辑函数。 ln个变量有个变量有2n个最小项。个最小项。数字逻辑 第二章逻辑代数基础13/82真值表实例真值表实例数字逻辑 第二章逻辑代数基础14/82逻辑图逻辑图（Logic Diagram） l逻辑函数表示的逻辑关系可以用逻辑逻辑函数表示的逻辑关系可以用逻辑电路来实现。用逻辑符号画出的电路电路来实现。用逻辑符号画出的电路图称为逻辑图图称为逻辑图 。数字逻辑 第二章逻辑代数基础15/82逻辑函数表达形式逻辑函数表达形式 l函数函数 可以表达为可以表达为 数字逻辑 第二章逻辑

5、代数基础16/82积之和积之和（SOP，Sum of Products）l所谓所谓“积之和积之和” 也叫也叫“与或与或”表达式，表达式，是指一个函数表达式由若干个积项的是指一个函数表达式由若干个积项的和组成，即若干个与项（和组成，即若干个与项（AND term）进行或运算形成的表达式。例如：进行或运算形成的表达式。例如：式中，式中，都是积项（与项）。都是积项（与项）。 数字逻辑 第二章逻辑代数基础17/82和之积和之积（POS，Product of Sums）l所谓所谓“和之积和之积” 也叫也叫“或与或与”表达式，表达式，是指一个函数表达式由若干个和项的是指一个函数表达式由若干个和项的积组成，

6、即若干个或项（积组成，即若干个或项（OR term）进行与运算形成的表达式。例如：进行与运算形成的表达式。例如：式中，式中， 都是和项（或项）。都是和项（或项）。数字逻辑 第二章逻辑代数基础18/82最小项最小项（Minterm） l设有设有n个逻辑变量，它们组成的与项中个逻辑变量，它们组成的与项中每个变量或以原变量形式或以反变量每个变量或以原变量形式或以反变量形式出现一次，且仅出现一次，此与形式出现一次，且仅出现一次，此与项称之为项称之为n个变量的最小项。个变量的最小项。数字逻辑 第二章逻辑代数基础19/82三变量最小项三变量最小项 数字逻辑 第二章逻辑代数基础20/82最小项性质最小项性质

7、 l任意一个最小项，相应变量有且只有任意一个最小项，相应变量有且只有一组取值使这个最小项的值为一组取值使这个最小项的值为1。 l任意两个最小项之积必为任意两个最小项之积必为0，记为，记为 ln个变量的全部最小项之和为个变量的全部最小项之和为1，记为，记为 数字逻辑 第二章逻辑代数基础21/82函数的最小项标准形式函数的最小项标准形式 l如果构成函数的积之和表达式中每一如果构成函数的积之和表达式中每一个乘积项（与项）均为最小项，则称个乘积项（与项）均为最小项，则称之为最小项之和标准式。之为最小项之和标准式。 l如：如： 是一个最小项之和标准式，为了书写是一个最小项之和标准式，为了书写方便，上式可

8、记为：方便，上式可记为：数字逻辑 第二章逻辑代数基础22/82与或式转换成与或式转换成最小项标准式最小项标准式 数字逻辑 第二章逻辑代数基础23/82由真值表导出由真值表导出最小项标准式最小项标准式 数字逻辑 第二章逻辑代数基础24/82逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法 l逻辑函数的化简方法有三种：逻辑函数的化简方法有三种：u代数法代数法u卡诺图法卡诺图法u蕴涵法蕴涵法 数字逻辑 第二章逻辑代数基础25/82与或式化简常用公式与或式化简常用公式 数字逻辑 第二章逻辑代数基础26/82吸收法吸收法 l利用公式利用公式 消去多余变量。消去多余变量。数字逻辑 第二章逻辑代数基础27/82并项法并

9、项法l利用公式利用公式 两项合并为一项且消去一个变量。两项合并为一项且消去一个变量。数字逻辑 第二章逻辑代数基础28/82消去法消去法l利用多余项定理利用多余项定理 消去多余项。消去多余项。数字逻辑 第二章逻辑代数基础29/82或与式化简常用公式或与式化简常用公式数字逻辑 第二章逻辑代数基础30/82或与式化简方法或与式化简方法l二次对偶法：利用对偶规则，先求出二次对偶法：利用对偶规则，先求出对偶式，再将对偶式化简为最简与或对偶式，再将对偶式化简为最简与或式，最后再求一次对偶，则得到最简式，最后再求一次对偶，则得到最简或与式。或与式。l二次求反法：利用反演规则，先求出二次求反法：利用反演规则，

10、先求出反函数，再将反函数化简成最简与或反函数，再将反函数化简成最简与或式，再求一次反，则得到最简或与式。式，再求一次反，则得到最简或与式。数字逻辑 第二章逻辑代数基础31/82卡诺图卡诺图（Karnaugh Map） l卡诺图是逻辑函数真值表的一种图形卡诺图是逻辑函数真值表的一种图形表示。利用卡诺图可以有规律地化简表示。利用卡诺图可以有规律地化简逻辑函数表达式，并能直观地写出逻逻辑函数表达式，并能直观地写出逻辑函数的最简式。辑函数的最简式。 数字逻辑 第二章逻辑代数基础32/82二变量卡诺图构成二变量卡诺图构成 数字逻辑 第二章逻辑代数基础33/82三、四变量卡诺图的三、四变量卡诺图的构成构成

11、 数字逻辑 第二章逻辑代数基础34/82相邻最小项相邻最小项 l把彼此只有一个变量不同，且这个不把彼此只有一个变量不同，且这个不同变量互为反变量的两个最小项称为同变量互为反变量的两个最小项称为相邻最小项。相邻最小项。数字逻辑 第二章逻辑代数基础35/82相邻关系相邻关系 l几何相邻：即几何位置上相邻的最小几何相邻：即几何位置上相邻的最小项，如四变量卡诺图中项，如四变量卡诺图中m0的相邻最的相邻最小项小项m1和和m4，这些最小项对应的小，这些最小项对应的小方格与方格与m0对应的小方格分别相连。对应的小方格分别相连。l相对相邻：如四变量卡诺图中相对相邻：如四变量卡诺图中m0的的相邻最小项中的相邻最

12、小项中的m2和和m8。m0和和m2处处在同一列的两端，在同一列的两端，m0和和m8处在同一处在同一行的两端，它们之间的位置都是行的两端，它们之间的位置都是“相相对的对的”。数字逻辑 第二章逻辑代数基础36/82卡诺圈卡诺圈l把用来覆盖那些能由一个简单把用来覆盖那些能由一个简单“与与”项代替的若干最小项的项代替的若干最小项的“圈圈”称为卡称为卡诺圈。诺圈。 数字逻辑 第二章逻辑代数基础37/82两变量卡诺圈两变量卡诺圈 l只有一个最小项只有一个最小项m0 。数字逻辑 第二章逻辑代数基础38/82两变量卡诺圈两变量卡诺圈l最小项最小项m1和和m3几何相邻，可以画圈合几何相邻，可以画圈合并。并。 数

13、字逻辑 第二章逻辑代数基础39/82两变量卡诺圈两变量卡诺圈l最小项最小项m0和和m1几何相邻，可以画圈合几何相邻，可以画圈合并。并。数字逻辑 第二章逻辑代数基础40/82两变量卡诺圈两变量卡诺圈l最小项最小项m1和和m0几何相邻，可以画圈几何相邻，可以画圈合并，同时最小项合并，同时最小项m1和和m3几何相邻，几何相邻，也可以画圈合并。也可以画圈合并。数字逻辑 第二章逻辑代数基础41/82两变量卡诺圈两变量卡诺圈l所有所有4个最小项都相邻，可以画圈合个最小项都相邻，可以画圈合并。并。数字逻辑 第二章逻辑代数基础42/82三变量卡诺圈三变量卡诺圈l最小项最小项m0和和m4相对相邻，可以画圈相对相

14、邻，可以画圈合并。合并。数字逻辑 第二章逻辑代数基础43/82三变量卡诺圈三变量卡诺圈l最小项最小项m0和和m1几何相邻又与几何相邻又与 m4、m5相对相邻，可以画圈合并。相对相邻，可以画圈合并。数字逻辑 第二章逻辑代数基础44/82三变量卡诺圈三变量卡诺圈l最小项最小项m0、m2、m6和和m4处于一行为处于一行为几何相邻，可以画圈合并。几何相邻，可以画圈合并。数字逻辑 第二章逻辑代数基础45/82三变量卡诺圈三变量卡诺圈l最小项最小项m0、m2、m6和和m4处于一行为处于一行为几何相邻，可以画圈合并。同时几何相邻，可以画圈合并。同时m2和和m3几何相邻，可以画圈合并。几何相邻，可以画圈合并。

15、数字逻辑 第二章逻辑代数基础46/82三变量卡诺圈三变量卡诺圈l最小项最小项m0、m2、m6和和m4处于一行为处于一行为几何相邻，可以画圈合并。同时几何相邻，可以画圈合并。同时m2、m3、m6和和m7都相邻，可以画圈合并。都相邻，可以画圈合并。数字逻辑 第二章逻辑代数基础47/82三变量卡诺圈三变量卡诺圈l最小项最小项m0、m2、m6和和m4处于一行为处于一行为几何相邻，可以画圈合并。同时几何相邻，可以画圈合并。同时m0、m1、m2和和m3及及m2、m3、m6和和m7都都分别相邻，可以画圈合并。分别相邻，可以画圈合并。数字逻辑 第二章逻辑代数基础48/82三变量卡诺圈三变量卡诺圈l最小项最小项

16、m1、m3、 m5 和和m7处于一行为处于一行为几何相邻，可以画圈合并。同时几何相邻，可以画圈合并。同时m0和和m1几何相邻又与几何相邻又与 m4 、m5相对相邻相对相邻，可以画圈合并。可以画圈合并。数字逻辑 第二章逻辑代数基础49/82三变量卡诺圈三变量卡诺圈l最小项最小项m0和和m4相对相邻，可以画圈合相对相邻，可以画圈合并。同时并。同时m3和和m7几何相邻，可以画圈几何相邻，可以画圈合并。合并。数字逻辑 第二章逻辑代数基础50/82三变量卡诺圈三变量卡诺圈l所有所有8个最小项都相邻，可以画圈合并。个最小项都相邻，可以画圈合并。数字逻辑 第二章逻辑代数基础51/82四变量卡诺圈四变量卡诺圈

17、l最小项最小项m0、m1、m3和和m2几何相邻又几何相邻又与与m8、m9、m11和和m10相对相邻，可以相对相邻，可以画圈合并。画圈合并。数字逻辑 第二章逻辑代数基础52/82四变量卡诺圈四变量卡诺圈l最小项最小项m0、m4、m12和和m8几何相邻几何相邻又与又与m2、m6、m14和和m10相对相邻，相对相邻，可以画圈合并。可以画圈合并。数字逻辑 第二章逻辑代数基础53/82四变量卡诺圈四变量卡诺圈l最小项最小项m0和和m2相对相邻又与相对相邻又与m8、m10相对相邻，可以画圈合并。同时相对相邻，可以画圈合并。同时m5、m7、m13和和m15几何相邻，可以画圈合几何相邻，可以画圈合并。并。数字

18、逻辑 第二章逻辑代数基础54/82四变量卡诺圈四变量卡诺圈l最小项最小项m0、m1、m4、m5、m12、m13、m8和和m9几何相邻，可画圈合并。同时几何相邻，可画圈合并。同时m4、m5、m7和和m6几何相邻，可画圈几何相邻，可画圈合并。合并。数字逻辑 第二章逻辑代数基础55/82四变量卡诺圈四变量卡诺圈l最小项最小项 m1、m3、m5、m7、m13、m15、m9和和m11几何相邻，可画圈合并。同时几何相邻，可画圈合并。同时m4、m12、m5、m13、m7、m15、m6和和m14几何相邻，可画圈合并。几何相邻，可画圈合并。数字逻辑 第二章逻辑代数基础56/82四变量卡诺圈四变量卡诺圈l最小项最

19、小项m1、m3几何相邻又与几何相邻又与m9、m11相对相邻，可画圈合并。同时相对相邻，可画圈合并。同时m4、m12几何相邻又与几何相邻又与m6、m14相对相邻，可画相对相邻，可画圈合并。圈合并。数字逻辑 第二章逻辑代数基础57/82四变量卡诺圈四变量卡诺圈l最小项最小项m0、m1、m3、m2、m4、m5、m7和和m6几何相邻，可以画圈合并。同几何相邻，可以画圈合并。同时时m4、m12、m5、m13、m7、m15、m6和和m14几何相邻，可以画圈合并。几何相邻，可以画圈合并。数字逻辑 第二章逻辑代数基础58/82四变量卡诺圈四变量卡诺圈l最小项最小项m0、m1、m3、m2、m4、m5、m7和和m

20、6几何相邻，可以画圈合并。几何相邻，可以画圈合并。同时同时m0、m1几何相邻又与几何相邻又与m8、m9相相对相邻，可以画圈合并。对相邻，可以画圈合并。数字逻辑 第二章逻辑代数基础59/82四变量卡诺圈四变量卡诺圈l所有所有16个最小项都相邻，可以画圈合个最小项都相邻，可以画圈合并。并。数字逻辑 第二章逻辑代数基础60/82卡诺图法化简逻辑函数卡诺图法化简逻辑函数实例实例数字逻辑 第二章逻辑代数基础61/82卡诺图法化简逻辑函数卡诺图法化简逻辑函数实例实例数字逻辑 第二章逻辑代数基础62/82无关项无关项 l无关项，又称任意项或约束项。这里无关项，又称任意项或约束项。这里的的“无关无关”有两个含

21、义：（有两个含义：（1）这些输）这些输入组合在正常操作中不会出现；（入组合在正常操作中不会出现；（2）即使这些输入组合可能出现，但输出即使这些输入组合可能出现，但输出实质上与它们无关。换句话说，就是实质上与它们无关。换句话说，就是当输入出现这些组合时，其所对应的当输入出现这些组合时，其所对应的输出值可以为输出值可以为0，也可以为，也可以为1。 l约束条件或称约束方程表示为约束条件或称约束方程表示为N = di = 0。 数字逻辑 第二章逻辑代数基础63/82无关项化简实例无关项化简实例数字逻辑 第二章逻辑代数基础64/82知识点知识点l逻辑代数公理逻辑代数公理 数字逻辑 第二章逻辑代数基础65

22、/82知识点知识点l逻辑代数定理逻辑代数定理 数字逻辑 第二章逻辑代数基础66/82知识点知识点l逻辑代数规则逻辑代数规则u代入规则：任何一个含有变量代入规则：任何一个含有变量XiXi的等式，的等式，若将所有出现若将所有出现XiXi的位置都代之以统一逻辑的位置都代之以统一逻辑函数函数h h，等式仍然成立。，等式仍然成立。u反演规则：从原函数求反函数得过程称为反演规则：从原函数求反函数得过程称为反演。求任何函数得反函数时，可将该函反演。求任何函数得反函数时，可将该函数得所有变量和常量（数得所有变量和常量（0 0和和1 1）取反，并将）取反，并将运算符运算符“+”+”变为变为“”、“”变为变为“+

23、”+”，即可得反函数。，即可得反函数。数字逻辑 第二章逻辑代数基础67/82知识点知识点(续续) )l逻辑代数规则逻辑代数规则u对偶函数的定义是：将逻辑函数表达式对偶函数的定义是：将逻辑函数表达式f f中所有的中所有的“+”+”变为变为“”、“”变为变为“+”+”，“0”0”变为变为“1”1”、“1”1”变为变为“0”0”，而逻辑变量保持不变，则所得的，而逻辑变量保持不变，则所得的新函数称为原函数的对偶函数，记为新函数称为原函数的对偶函数，记为ff。 数字逻辑 第二章逻辑代数基础68/82知识点知识点l逻辑代数表示方法逻辑代数表示方法 u逻辑表达式由逻辑变量及逻辑表达式由逻辑变量及“与与”、“

24、或或”、“非非”三种运算符构成的式子。三种运算符构成的式子。u真值表是一种表格表示法。真值表实际上真值表是一种表格表示法。真值表实际上是利用穷举法描述逻辑函数。由于任意逻是利用穷举法描述逻辑函数。由于任意逻辑变量只有两种取值可能，故辑变量只有两种取值可能，故n n个逻辑变个逻辑变量共有量共有2 2n n种有限的可能取值组合。种有限的可能取值组合。u用逻辑符号画出的电路图称为逻辑图。用逻辑符号画出的电路图称为逻辑图。u卡诺图是逻辑函数真值表的一种图形表示。卡诺图是逻辑函数真值表的一种图形表示。数字逻辑 第二章逻辑代数基础69/82知识点知识点l逻辑函数表达形式逻辑函数表达形式 u积之和（与或）表

25、达式，是指一个函数表积之和（与或）表达式，是指一个函数表达式由若干个积项的和组成，即若干个与达式由若干个积项的和组成，即若干个与项进行或运算形成的表达式。项进行或运算形成的表达式。u和之积（或与）表达式，是指一个函数表和之积（或与）表达式，是指一个函数表达式由若干个和项的积组成，即若干个或达式由若干个和项的积组成，即若干个或项进行与运算形成的表达式。项进行与运算形成的表达式。u如果构成函数的积之和表达式中每一个乘如果构成函数的积之和表达式中每一个乘积项（与项）均为最小项，则称之为最小积项（与项）均为最小项，则称之为最小项之和标准式。项之和标准式。数字逻辑 第二章逻辑代数基础70/82知识点知识

26、点l与或式化简常用公式：与或式化简常用公式：l与或式化简常用方法：吸收法、并项与或式化简常用方法：吸收法、并项法、消去法、配项法、综合法。法、消去法、配项法、综合法。 数字逻辑 第二章逻辑代数基础71/82知识点知识点l或与式化简中常用公式：或与式化简中常用公式： l或与式常用化简方法：常规法、二次或与式常用化简方法：常规法、二次对偶法、二次求反法。对偶法、二次求反法。 数字逻辑 第二章逻辑代数基础72/82知识点知识点l两变量卡诺图两变量卡诺图 数字逻辑 第二章逻辑代数基础73/82知识点知识点l三、四变量卡诺图三、四变量卡诺图 数字逻辑 第二章逻辑代数基础74/82知识点知识点l相邻关系相

27、邻关系 l几何相邻：即几何位置上相邻的最小几何相邻：即几何位置上相邻的最小项。项。l相对相邻：处在同一行或列的两端，相对相邻：处在同一行或列的两端，它们之间的位置都是它们之间的位置都是“相对的相对的”。 数字逻辑 第二章逻辑代数基础75/82知识点知识点l卡诺图法化简逻辑函数的基本步骤：卡诺图法化简逻辑函数的基本步骤：u将逻辑函数表示在卡诺图上；将逻辑函数表示在卡诺图上；u画出所有的极大圈，确定全部实质最小项画出所有的极大圈，确定全部实质最小项并选出所有的必要极大圈；并选出所有的必要极大圈；u如果所选出的所有必要极大圈已覆盖了卡如果所选出的所有必要极大圈已覆盖了卡诺图上所有的诺图上所有的1方格

28、，那么所有必要极大方格，那么所有必要极大圈的集合就是卡诺图上的最小覆盖；圈的集合就是卡诺图上的最小覆盖；u如果还有如果还有1方格未被必要极大圈覆盖，那方格未被必要极大圈覆盖，那么再选择最少的极大圈覆盖剩余的么再选择最少的极大圈覆盖剩余的1方格；方格；u写出最小覆盖所对应的逻辑表达式写出最小覆盖所对应的逻辑表达式。 数字逻辑 第二章逻辑代数基础76/82知识点知识点l无关项卡诺图化简：无关项卡诺图化简： 无关项可作为无关项可作为0，亦可作为，亦可作为1。数字逻辑 第二章逻辑代数基础77/82精选习题精选习题数字逻辑 第二章逻辑代数基础78/82精选习题精选习题数字逻辑 第二章逻辑代数基础79/82精选习题精选习题数字逻辑 第二章逻辑代数基础80/82精选习题精选习题数字逻辑 第二章逻辑代数基础81/82精选习题精选习题数字逻辑 第二章逻辑代数基础82/82精选习题精选习题数字逻辑 第二章逻辑代数基础83/82精选习题精选习题