17机械振动基础.PPT

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1、课程主讲人：17机械振动基础电子教案普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教国家级规划教材材理理 论论 力力 学学朱西平朱西平 支希哲支希哲高等教育出版社 高等教育电子音像出版社 第第 17 章章 172 单自由度系统的阻尼振动单自由度系统的阻尼振动第17章 机械振动基础 174 二自由度系统的自由振动二自由度系统的自由振动 171 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 173 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 175 二自由度系统的强迫振动二自由度系统的强迫振动 振动振动是指运动在其稳定位置附近所作的周期性往复运动。是指运动在其稳定位置附近所作的周期性往复运动

2、。 线性振动线性振动的运动微分方程都是线性的。实际系统往往要经的运动微分方程都是线性的。实际系统往往要经过近似处理才能化成线性的。过近似处理才能化成线性的。在质点受到扰动而脱离其平衡位置后，会受到一个恒指向在质点受到扰动而脱离其平衡位置后，会受到一个恒指向此平衡位置而促使质点返回的力，这种力称为此平衡位置而促使质点返回的力，这种力称为恢复力恢复力。几 个 概 念 当恢复力的大小和质点到平衡位置的距离成正比时，则称当恢复力的大小和质点到平衡位置的距离成正比时，则称为为线性恢复力线性恢复力。 质点振动时还可能受阻力作用，这里只考虑与速度一次方质点振动时还可能受阻力作用，这里只考虑与速度一次方成正比

3、的成正比的线性阻力线性阻力。17-1 单自由度系统的自由振动自由振动的基本参数自由振动的基本参数自由振动的微分方程及其解自由振动的微分方程及其解km自由振动自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。是质点仅在恢复力作用下进行的振动。简单的模型为下面所示的质量简单的模型为下面所示的质量弹簧系统。弹簧系统。17-1 单自由度系统的自由振动 质点受到初始扰动后，将得到初位移和初速度，此后质质点受到初始扰动后，将得到初位移和初速度，此后质点在弹簧力维持下的运动，即为点在弹簧力维持下的运动，即为自由振动。自由振动。 自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。简单的自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动

4、。简单的模型如图模型如图(a)所示的质量所示的质量- -弹簧系统。弹簧系统。l0Om(a)(b)xFmOx17-1 单自由度系统的自由振动l0Om(a)(b)xmOx1. 自由振动的微分方程及其解 取坐标轴取坐标轴Ox，原点，原点O是质点是质点M的平衡位置。如图（的平衡位置。如图（a ）所）所示。当示。当M的坐标是的坐标是x时，弹簧作用于时，弹簧作用于M的力的力F的大小表示成的大小表示成xkF 因因F 恒指向平衡位置恒指向平衡位置O，故它可写成，故它可写成xkFx于是，质点于是，质点M的运动微分方程写成的运动微分方程写成xkxm 或或0 xmkx 式中式中k称为弹簧的称为弹簧的刚度系数刚度系数

5、，简称，简称刚度刚度。17-1 单自由度系统的自由振动引入参量引入参量mk20则上式可写成标准形式则上式可写成标准形式 这就是在线性恢复力单独作用下，质点受初扰动后的这就是在线性恢复力单独作用下，质点受初扰动后的无阻尼自由振动微分方程，它是无阻尼自由振动微分方程，它是二阶常系数线性齐次微分二阶常系数线性齐次微分方程方程。其通解为其通解为把式把式(17-2)(17-2)对时间求导数，得对时间求导数，得020 xx tCtCx0201sincostCtCxv002001cossin 17-1 单自由度系统的自由振动(17-1)(17-2)(17-3)l0Om(a)(b)xFmOx当当 t=0时，质

6、点的初坐标和初速度时，质点的初坐标和初速度令令t=0且且 和和 ，就可以确定，就可以确定积分常数积分常数0 xx 0 xx 01xC 和和002xC这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是,0 xx 0 xvtxtxx00000sincostxtxx00000cossintCtCx0201sincostCtCxv002001cossin 17-1 单自由度系统的自由振动(17-5a)(17-4)(17-5b)这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是通常把上两式写成通常把上两式写成)s

7、in(0tAx)cos(00tAx 利用三角变换，可以确定利用三角变换，可以确定,)(20020 xxA000tanxxtxtxx00000sincostxtxx00000cossin17-1 单自由度系统的自由振动(17-7)(17-5a)(17-5b)(17-6a)(17-6b)可见，质点无阻尼自由振动是可见，质点无阻尼自由振动是简谐振动简谐振动，其运动如图所示。，其运动如图所示。TAAOtx)sin(0tAx,)(20020 xxA000tanxxtxtxx00000sincos17-1 单自由度系统的自由振动2. 自由振动的基本参数（1）振幅和相角）振幅和相角 由式由式（17-6a）可

8、见质点相对可见质点相对于振动中心（平衡位置）的最大于振动中心（平衡位置）的最大偏离偏离 Axmax20020)(xx称为称为振幅振幅。（0t+）称为称为相角相角，而，而称称为为初相角初相角。由式。由式 （b）可见，振幅和初相可见，振幅和初相角都和运动的初始扰动角都和运动的初始扰动 ( ) 有关。有关。00 , xx)sin(0tAx（17-6a）,)(20020 xxA000tanxx（17-7）TAOtxA17-1 单自由度系统的自由振动（2）周期和频率）周期和频率每重复一次运动状态所需的时间每重复一次运动状态所需的时间间隔，称为间隔，称为周期周期，并用，并用T 表示。表示。每隔一个周期每隔

9、一个周期T，相角应改变，相角应改变 0T=2。因此，周期可以表。因此，周期可以表示成示成周期一般以周期一般以s计。计。kmT220 周期仅和系统本身的固有参数（质量周期仅和系统本身的固有参数（质量m与刚度）有关，与刚度）有关，而和运动的初始条件无关。而和运动的初始条件无关。TAOtxA 周期周期17-1 单自由度系统的自由振动(17-8)210Tf每每2秒内振动的次数称为秒内振动的次数称为圆频率圆频率，表示为，表示为mkf 20 单位时间内振动的次数，称为单位时间内振动的次数，称为频率频率，记作，记作 f，有，有 0 只和系统的固有的性质有关，而和运动的初始条件只和系统的固有的性质有关，而和运

10、动的初始条件无关。因此，无关。因此，0称为系统的称为系统的固有频率固有频率或或自然频率自然频率。频率频率TAOtxA17-1 单自由度系统的自由振动(17-9)(17-10) 用用s代表当物块在重力代表当物块在重力G 和弹簧和弹簧力力F0的作用下在平衡位置静止时弹簧的作用下在平衡位置静止时弹簧所具有的变形，即所具有的变形，即静变形静变形（图（图a）。）。)(sxkmgxm 以平衡位置以平衡位置O作为原点，令轴作为原点，令轴Ox铅直铅直向下，则当物块在任意位置向下，则当物块在任意位置x时，弹簧力时，弹簧力F在轴在轴x上的投影为上的投影为 Fx=k( s+x)（图（图b）。）。skmg（1）显然，

11、由平衡条件显然，由平衡条件 G -F0=0 有有可得物块的运动微分方程可得物块的运动微分方程MGF0l0s（a）MxxOGF（b）3. 铅直悬挂质量一弹簧系统17-1 单自由度系统的自由振动xkxm 或或 020 xx 其中其中 ，可见，可见，M 仍在平衡位置附仍在平衡位置附近作无阻尼自由振动。近作无阻尼自由振动。mk20利用弹簧自由悬挂时的静伸长利用弹簧自由悬挂时的静伸长s，来求出系统的固有频率，来求出系统的固有频率，有有,0 kmggmks0g考虑到关系式考虑到关系式 ，上式写成，上式写成skmg 与水平质量与水平质量- -弹簧系统比较，铅直悬挂质弹簧系统比较，铅直悬挂质量量- -弹簧系统

12、质点上只增加了一个常力，此力弹簧系统质点上只增加了一个常力，此力只引起平衡位置的改变，而不影响振动的规律只引起平衡位置的改变，而不影响振动的规律（如（如周期、频率、相位周期、频率、相位）。）。即即)(sxkmgxm MxxOGF17-1 单自由度系统的自由振动(17-11)例题17-1 试求单摆试求单摆(数学摆数学摆)的运动规律。的运动规律。Om0l17-1 单自由度系统的自由振动 把单摆看成一个在圆弧上运动的质点把单摆看成一个在圆弧上运动的质点 M，设其质量为，设其质量为 m，摆线长，摆线长 l 。又设在任。又设在任一瞬时质点一瞬时质点 M具有速度具有速度 v ，摆线摆线 OM与铅与铅垂线的

13、夹角是垂线的夹角是 。 通过悬点通过悬点 O 而垂直于运动平面的固定而垂直于运动平面的固定轴轴 z 作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理定理OzOzMtLdd动量矩动量矩解：力矩力矩 sinmglMOztmlllmmvlLOzdd)(2OvM0lmgF17-1 单自由度系统的自由振动从而可得从而可得 sin)dd(dd2mgltmlt化简即得单摆的运动微分方程化简即得单摆的运动微分方程0 sindd22lgtOzOzMtLdd动量矩动量矩力矩力矩 sinmglMOztmlLOzdd2动量矩定理动量矩定理OvM0lmgF17-1 单自由度系统的自由振动单摆的运动微

14、分方程单摆的运动微分方程0 sindd22lgt微小摆动中，微小摆动中， 值始终很小，可以认为值始终很小，可以认为 sin ，则则0lg tlgcos0考虑初始条件：考虑初始条件：t = 0,00，得单摆的运动规律，得单摆的运动规律,21 lgf 频率glT2 周期与幅角和初始条件无关。与幅角和初始条件无关。OvM0lmgF17-1 单自由度系统的自由振动 例题17-2 试利用试利用静变形求并联弹静变形求并联弹簧和串联弹簧两簧和串联弹簧两种情形的直线振种情形的直线振动系统的固有频动系统的固有频率率。k1k2G2121kkkkkk1k2Gk=k1+k2GG17-1 单自由度系统的自由振动s21s

15、2s1)(kkkkGmkkmk2102121（1） 并联情形并联情形固有频率固有频率上式说明并联弹簧的等效刚度系数为上式说明并联弹簧的等效刚度系数为k1k2Gs解： 设弹簧刚度系数分别为设弹簧刚度系数分别为k1和和k2 ，在，在G重力作用下作重力作用下作铅直平动，静变形为铅直平动，静变形为 s ，有，有skG 选择弹簧刚度系数为选择弹簧刚度系数为k的弹簧代替并联的两弹簧的弹簧代替并联的两弹簧 ，使它，使它在相等的变形下，产生与并联的两弹簧相等的恢复力，有在相等的变形下，产生与并联的两弹簧相等的恢复力，有s21s)(kkkG21kkk17-1 单自由度系统的自由振动 设弹簧刚度系数分别为设弹簧刚

16、度系数分别为k1和和k2 ，在，在G重力作用下，两重力作用下，两弹簧的总静变形弹簧的总静变形s等于单个等于单个弹簧的静变形之和，有弹簧的静变形之和，有, ,2s21s1kGkG(2) 串联情形串联情形s2s1sk1k2G1s+2s由于弹簧是串连的，每个弹簧受的力由于弹簧是串连的，每个弹簧受的力G相等，于是相等，于是 选择弹簧刚度系数为选择弹簧刚度系数为k的弹簧代替串联的两弹簧的弹簧代替串联的两弹簧 ，使它，使它的静变形的静变形s等于串联的两弹簧静变形之和等于串联的两弹簧静变形之和1s+2s。ksG skG17-1 单自由度系统的自由振动2s21s1 ,kGkG)(212121kkmkkk212

17、121111kkkkkkks2s1s固有频率固有频率串联弹簧的等效刚度系数为串联弹簧的等效刚度系数为得得, skG,21kGkGkG21111kkk弹簧串联后的刚度系数减小，柔度系数增大。弹簧串联后的刚度系数减小，柔度系数增大。17-1 单自由度系统的自由振动k1k2G1s+2sksGmv 例题17-3 提升重物系提升重物系统中，钢丝绳的横截面面积统中，钢丝绳的横截面面积S2.89104 m2，材料的，材料的弹性模量弹性模量E200 GPa。重物重物的质量的质量m6 000 kg，以匀速，以匀速v0.25 ms1下降。当重物下降。当重物下降到下降到l25 m时，钢丝绳时，钢丝绳上端突然被卡住，

18、试求重物上端突然被卡住，试求重物的振动规律。的振动规律。l17-1 单自由度系统的自由振动 钢丝绳重物系统可以简化为弹簧钢丝绳重物系统可以简化为弹簧物块系统，弹簧的刚度为物块系统，弹簧的刚度为16mN10312. 2 lESkmk静平衡位置静平衡位置Ox 设钢丝绳被卡住的瞬时设钢丝绳被卡住的瞬时t0，这时，这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移铅垂方向的位移x作为坐标，则系统的作为坐标，则系统的振动方程为振动方程为0 xkxm 解：方程的解为方程的解为mkt( Ax00),sin17-1 单自由度系统的自由振动利用初始条件利用初始条件vvx(0)

19、(0)求得求得,0vAmk静平衡位置Ox00 xxm 方程的解为方程的解为mkt Ax00,sin）（,0)0(x0）（t vx00sin17-1 单自由度系统的自由振动17-2 单自由度系统的阻尼振动阻尼对周期的影响阻尼对周期的影响质点的阻尼振动质点的阻尼振动阻尼对振幅的影响阻尼对振幅的影响 本节将讨论质点在有阻尼时的自由振动，但只限于与本节将讨论质点在有阻尼时的自由振动，但只限于与速度一次方成正比的介质阻力，这种阻力称为速度一次方成正比的介质阻力，这种阻力称为线性阻力线性阻力（或（或粘滞阻力粘滞阻力）。）。 如图所示系统在介质里运动如图所示系统在介质里运动中，质点中，质点M将受到介质阻力的

20、作将受到介质阻力的作用。用。vFcdMMxxkGFdvFOl0 +s 在微振动情况下，速度不大，在微振动情况下，速度不大，可以认为阻力可以认为阻力Fd与速度与速度v 的一次的一次方成正比，即有方成正比，即有1.质点的阻尼振动17-2 单自由度系统的阻尼振动vFcd其中，其中，c称为称为粘滞阻力系数粘滞阻力系数（以（以kg/s 为单位），表示质点在单位速度时，为单位），表示质点在单位速度时，所受的阻力值，其大小与介质和物所受的阻力值，其大小与介质和物体的形状等因素有关，可由实验测体的形状等因素有关，可由实验测定。式中负号表示阻力与速度的方定。式中负号表示阻力与速度的方向恒相反。向恒相反。MMxx

21、kGFdvFOl0 +s 取物块的平衡位置作为坐标原点取物块的平衡位置作为坐标原点O，轴，轴Ox沿直线向下。沿直线向下。当物块在位置当物块在位置O时，弹簧拉力时，弹簧拉力F0= ks,与表观重力与表观重力G（已扣除（已扣除浮力）相互平衡，即有浮力）相互平衡，即有skG 17-2 单自由度系统的阻尼振动物块运动时，物块运动时， ， xcFd)(sxkFxcxkGxm )(s考虑到，考虑到， 上式简化成上式简化成skG 0 xkxcxm 代入参量代入参量,20mkmc2则上式写成则上式写成质点的运动微分方程写成质点的运动微分方程写成0220 xxx (称为称为阻尼系数阻尼系数)MMxxkGFdvF

22、Ol0 +s17-2 单自由度系统的阻尼振动(17-14)(17-12)(17-13) 这就是在这就是在线性恢复力和线性阻力作用下质点运线性恢复力和线性阻力作用下质点运动微分方程的标准形式动微分方程的标准形式。式中。式中称为称为阻尼系数。阻尼系数。式式(17-14)是二阶常数线性齐次方程，这个方程具有形是二阶常数线性齐次方程，这个方程具有形式如式如 ezt 的解，把的解，把 ezt 代入，得到特征方程，即代入，得到特征方程，即02202zz2022, 1z特征方程的解为特征方程的解为0220 xxx 17-2 单自由度系统的阻尼振动(17-14)(17-15)特征方程特征方程z值与比值值与比值

23、/ 0有关。有三种不同的情形：有关。有三种不同的情形：02202zz（1） 0 称为大阻尼。称为大阻尼。2022, 1z特征方程的解为特征方程的解为0220 xxx 17-2 单自由度系统的阻尼振动(17-15)当当 0 时，特征方程具有一对共轭复根时，特征方程具有一对共轭复根2202, 1iz引入参量引入参量 ，则式，则式(17-14)的的通解可以写成通解可以写成220d我们将只讨论我们将只讨论小阻尼小阻尼 0情形。情形。tttztzBBBBxd)i(2)i(121d21eeee)ee(eddi2i1tttBB式中，式中，B1和和B2是积分常量，由运动的初始条件来决定。是积分常量，由运动的初

24、始条件来决定。0220 xxx (17-14)02202zz特征方程特征方程2022, 1z特征方程的解特征方程的解17-2 单自由度系统的阻尼振动sinicosei令令B1+B2=C1，i(B1B2)=C2，则上述通解可改写成，则上述通解可改写成)sincos(ed2d1 tCtCxt式中，新的积分常量式中，新的积分常量C1和和C2仍可以由运动的初始条件来决定。仍可以由运动的初始条件来决定。根据欧拉公式根据欧拉公式把式把式(17-16)对时间对时间t求导数，得质点速度的一般表达式求导数，得质点速度的一般表达式)sincos(ed2d1tCtCxt)cossin(ed2d1 dtCtCt)ee

25、(eddi2i1tttBBx17-2 单自由度系统的阻尼振动(17-16)(17-17),10Cx 2d10 CCx从而解得从而解得,01xC d002xxC于是，质点的运动方程写成于是，质点的运动方程写成或者通过三角函数的变换，把上式写成或者通过三角函数的变换，把上式写成运动的初始条件：当运动的初始条件：当t=0时，时， ；将它们代入上式，；将它们代入上式，得到得到0 xx 0 xx txxtd0cos(e)sindd00txx)sin(ed tAxt)sincos(ed2d1 tCtCxt)sincos(ed2d1 tCtCxt)cossin(ed2d1 dtCtCt17-2 单自由度系统

26、的阻尼振动(17-18)(17-19)2d0020)(xxxA000dtanxxx (1) 由式由式(17-18)或式或式(17-19)可以可以看到，由于小阻尼的影响，物块不看到，由于小阻尼的影响，物块不再进行振幅不变的简谐运动。再进行振幅不变的简谐运动。式中式中tAetAeT1A2A1txxtd0cos(e)sindd00txx)sin(edtAxt17-2 单自由度系统的阻尼振动(17-20)(17-18)(17-19) (3) 因子因子Aet表示这些偏离的可表示这些偏离的可能最大值，但它是随时间而不断减小能最大值，但它是随时间而不断减小的，最后趋近于零。的，最后趋近于零。 (2) 因子因

27、子sin(t+)表明物块仍周期性地通过平衡位置表明物块仍周期性地通过平衡位置O而而交替地向点交替地向点O的两侧偏离。的两侧偏离。 这样的运动称为衰减振动，但这样的运动称为衰减振动，但习惯上仍把习惯上仍把Td=2/1 称为它的称为它的周期周期，而而Aet称为它的称为它的振幅振幅。与无阻尼自。与无阻尼自由振动相比较，衰减振动也称为由振动相比较，衰减振动也称为有有阻尼自由振动阻尼自由振动。)sin(ed tAxttAetAeT1A2A117-2 单自由度系统的阻尼振动2.阻尼对周期Td的影响220dd22T上式可改写成上式可改写成212021200d)(1)(12TT式中，式中，T是无阻尼自由振动周

28、期。是无阻尼自由振动周期。tAetAeT1A2A1因为衰减振动中因为衰减振动中 0，可见，由于小阻尼的存在，使，可见，由于小阻尼的存在，使振动的周期振动的周期 Td相对于无阻尼时的周期相对于无阻尼时的周期 T 来说有所增长。来说有所增长。,k20mmc217-2 单自由度系统的阻尼振动(17-21)(17-22)例如，当例如，当/0 = 0.05 时时TTT25 001.1)05.0(2112d 可见，当阻尼系数可见，当阻尼系数 比比 0 小得多时，阻尼对周期的影小得多时，阻尼对周期的影响并不显著，在初步计算中甚至可以直接用响并不显著，在初步计算中甚至可以直接用 T 代替代替 Td 。20d)

29、(211TT (1)当当 0 时，周期时，周期 Td 无限地增长，无限地增长，Td，从而运动失去往复性。，从而运动失去往复性。teAteAT1A2A1,2mck mn2 (2) 而当而当 很小时，即很小时，即 0 时，时，Td可近似地表示为可近似地表示为（仅增加（仅增加0.12 5 %）212021200d)(1)(12TT17-2 单自由度系统的阻尼振动在任意瞬时在任意瞬时t1，振幅是，振幅是3.阻尼对振幅Ae-t的影响 由于阻尼的存在，振幅由于阻尼的存在，振幅 Ae-t 随时在减小。为了说明振幅随时在减小。为了说明振幅衰减的快慢，可作如下分析。衰减的快慢，可作如下分析。1e1tAA时间逐次

30、增加半周期时间逐次增加半周期 ，则瞬时振幅将分别是，则瞬时振幅将分别是d21T212 )2(2dd1d1eeeeTTtTtAAAA22)22(3dd1eeTTtAAA因此，有比值因此，有比值 2312AAAA2deT=常数常数即，即，每隔半个周期的振幅按等比级数递减每隔半个周期的振幅按等比级数递减。)sin(edtAxt17-2 单自由度系统的阻尼振动(17-23) 减缩率减缩率（或对数减缩率）表示每经过半个周（或对数减缩率）表示每经过半个周期后振幅的衰减程度。由于振幅是按等比级数递期后振幅的衰减程度。由于振幅是按等比级数递减的，即使阻尼很小，振幅的衰减也是迅速的。减的，即使阻尼很小，振幅的衰

31、减也是迅速的。 公比公比 称为称为减缩率减缩率。2deTr2 elnd2dTT称为称为对数减缩率对数减缩率。17-2 单自由度系统的阻尼振动(17-24)即，每经过半个周期，振幅就缩减即，每经过半个周期，振幅就缩减15%。经过。经过10个周期，个周期，振幅将变成原来振幅的振幅将变成原来振幅的(0.855)20=0.043，只有原来的只有原来的4.3%。 通过以上讨论可见，小阻尼通过以上讨论可见，小阻尼（ 0）对周期的影对周期的影响很小，可以忽略不计，而对振幅的影响却是非常显著响很小，可以忽略不计，而对振幅的影响却是非常显著的。当的。当 0 时，运动将失去往复性。时，运动将失去往复性。仍以仍以

32、= 0.050 为例，这时减缩率是为例，这时减缩率是8550e2d.rT（1） 小阻尼小阻尼 ( 1)情形情形1202, 1vz临界阻尼临界阻尼(v1)情形情形,21 zzttCCx-21e ,0220 xxx 2022, 1z0v（2）大阻尼）大阻尼( 0)情形与临界阻尼情形与临界阻尼( 0)情形情形令令这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减。这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减。v1v117-2 单自由度系统的阻尼振动kMAB 例题17-4 图示为一种液体减振器装图示为一种液体减振器装置的简化模型。悬挂在弹簧下端的物块置的简化模型。悬挂在弹簧下端的物块M与圆筒与圆

33、筒A内的活塞内的活塞B相固连，简内充满相固连，简内充满粘性液体。活塞上钻有许多圆孔，当物粘性液体。活塞上钻有许多圆孔，当物块块M上下振动时，液体从孔中往复流过，上下振动时，液体从孔中往复流过，给活塞一正比于速度的阻力。设物块连给活塞一正比于速度的阻力。设物块连同活塞的质量同活塞的质量 m=1 kg，弹簧的刚度系数弹簧的刚度系数k=3 920 N/m。已知物块开始运动后经过。已知物块开始运动后经过10个周期，振幅减到初值的个周期，振幅减到初值的1/40。试求。试求阻尼系数阻尼系数和阻力系数和阻力系数c。 17-2 单自由度系统的阻尼振动解：由题意知，物块由题意知，物块M的运动是衰减运动。阻尼系数

34、的运动是衰减运动。阻尼系数可通可通过减缩率来求出。已知经过过减缩率来求出。已知经过10周期，振幅减缩到初始的周期，振幅减缩到初始的1/40，即有即有401)e (202d T220dd22T220d2T1)(20故有故有取自然对数，求得对数减缩率取自然对数，求得对数减缩率另一方面，考虑到另一方面，考虑到4 184. 0401ln2012elnd2dTTkMAB17-2 单自由度系统的阻尼振动因而因而阻力系数阻力系数为为 (2) 1)(2007.171)4 184. 0142. 3(20srad 6 .621920 3k0msrad67. 307.176 .6207.170 即即以以值代入式（值

35、代入式（2），求得），求得但固有频率但固有频率于是，求得于是，求得阻尼系数阻尼系数为为c =2 m=213.67 kgs =7.34 kgs(1)220d2T1)(20kMAB17-2 单自由度系统的阻尼振动 其实，当其实，当 0 时，在式时，在式（1）和和式式（2）的根式中，与的根式中，与 (0 )2 相比较相比较可以忽略可以忽略1，用这种近似计算求得的结果用这种近似计算求得的结果是足够精确的。是足够精确的。4 184. 0220dTT7 058. 04 184. 00srad 68. 3srad 6 .627 058. 0056. 00在本例中在本例中 0，可以取可以取Td近似地等于近似地

36、等于T。于是有于是有因而因而(2) 1)(20) 1 ( 1)(20kMAB17-2 单自由度系统的阻尼振动17-3 单自由度系统的强迫振动无阻尼强迫振动无阻尼强迫振动有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动 假定振动物块假定振动物块 M 还受到扰力还受到扰力F的作用的作用 FH=Hsint，其中，其中 H 称为力幅，表示扰力的最大值；称为力幅，表示扰力的最大值； 称为扰力变化的频率。称为扰力变化的频率。H 和和 都可以认为仅决定于扰力的来源而与物块的运动无都可以认为仅决定于扰力的来源而与物块的运动无关。关。 取物块取物块M的平衡位置作为的平衡位置作为原点原点O，轴，轴Ox铅直向下。在任铅直向下。在任意瞬

37、时意瞬时t，物块，物块M的运动微分方的运动微分方程写成程写成tHxcxkGxmsin)(s 1.有阻尼强迫振动 MMxxkGFdvFOl0 +sFH17-3 单自由度系统的强迫振动tHxcxkGxmsin)(s 考虑到平衡关系考虑到平衡关系 ，仍引用，仍引用 ，并引，并引入新的参数入新的参数 ，则上式化为，则上式化为skG ,20mkmc2mHh 这就是这就是质点强迫振动的微分方程的标准形式质点强迫振动的微分方程的标准形式，它，它是非齐是非齐次的二阶常系数线性微分方程次的二阶常系数线性微分方程。thxxxsin220 21xxx方程的通解由两部分组成，即方程的通解由两部分组成，即其中其中x1是

38、与方程是与方程（17-25）相对应的齐次方程相对应的齐次方程的通解。的通解。0220 xxx )sin(ed1tAxt17-3 单自由度系统的强迫振动(17-25)21xxx特解特解x2可以写成可以写成)sin(2tBx把特解把特解x2及其导数及其导数),cos(2tBx )sin(22tBx )sin()cos(2)sin(202tBtBtBthsin代入微分方程方程的标准形式得代入微分方程方程的标准形式得方程的通解由两部分组成，即方程的通解由两部分组成，即thxxxsin220 17-3 单自由度系统的强迫振动(17-26)cos)(220hB 2222204)(hB2202tan从而可以

39、解得从而可以解得故得在小阻尼故得在小阻尼 1 ，即扰力频率即扰力频率 p 远大于固有频率远大于固有频率k时，时， 表示强迫振动的振幅几乎等于零（高频强迫振动）。表示强迫振动的振幅几乎等于零（高频强迫振动）。, 020022020)2()1 (1BB222)2()1 (1vzz0z0vzv17-3 单自由度系统的强迫振动引入引入量纲为一的量纲为一的参数参数zv,20,20hB 可见，这时强迫振动的振幅可见，这时强迫振动的振幅 B 和阻尼系数成反比。特别和阻尼系数成反比。特别是若是若0,则则B（共振）。（共振）。（3）当当 z=1，即，即 =0时，由式时，由式可得可得2222204)(hB222)

40、2()1 (1vzz0z0v17-3 单自由度系统的强迫振动(17-32)当当 1-2v2 0 时，时， z = 0 给出给出的极小值。而的极小值。而 给出给出的极大值，这时强迫振动的振幅也达到最大值，即所谓的极大值，这时强迫振动的振幅也达到最大值，即所谓峰峰值值。对应的扰力频率称为。对应的扰力频率称为峰值频率峰值频率，用，用m代表，则由式代表，则由式(c)得得221vz（4）放大因数放大因数具有极大值。具有极大值。22020m221v222)z 2()1 ()(zzf取函数取函数求导数求导数)21 (48)1 (4d)( d2222zzzzztzf)321 (4d)( d2222ztzf由极

41、值条件由极值条件，得，得0d)( dtzf221 , 0zz（c）222)2()1 (1vzz17-3 单自由度系统的强迫振动(17-33)（a）（b）在式在式(17-27)中，令中，令=m，可得，可得强迫振动的振幅峰值强迫振动的振幅峰值，以，以Bm代表，有代表，有如果阻尼很小，如果阻尼很小，0，则由式（，则由式（17-33）和式（）和式（17-34）可）可得得2222204)(hB220m2hB020020m)(2121v0200220m2)(122hhhB峰值频率峰值频率22020m221v17-3 单自由度系统的强迫振动(17-34)(17-35)(17-33)(17-27)可以看出，在

42、小阻尼下发生共振（可以看出，在小阻尼下发生共振（=0）时，振幅）时，振幅B已接已接近于峰值近于峰值Bm。20、02hB 与与比较，比较，020020m)(2121v0200220m2)(122hhhB17-3 单自由度系统的强迫振动(17-35) 特别注意：特别注意：如果阻尼趋向于零；如果阻尼趋向于零； 0,则由式则由式 可可给出共振的振幅和由式（给出共振的振幅和由式（17-34）给出强迫振动的振幅峰值）给出强迫振动的振幅峰值Bm都趋向无穷大。都趋向无穷大。共振频率共振频率 =0 有时也称有时也称临界频率临界频率，并用，并用cr代表。代表。v= 00BB0zknv 220m2hB02hB ,2

43、0hB 17-3 单自由度系统的强迫振动(17-34) （5）阻尼对强迫振动振幅有不同的影响。阻尼对强迫振动振幅有不同的影响。可知当增大阻尼能使放大因数可知当增大阻尼能使放大因数值和振幅的峰值变小。可见，值和振幅的峰值变小。可见，阻尼对强迫振动振幅及其峰值起抑制作用。阻尼对强迫振动振幅及其峰值起抑制作用。222)2()1 (1vzz220m2hB由由0z0v17-3 单自由度系统的强迫振动 由图可以看出，当阻尼由图可以看出，当阻尼很小（即很小（即 时适用，这时发生无阻尼低频强迫振动，时适用，这时发生无阻尼低频强迫振动，它的相位与扰力的相位相同。它的相位与扰力的相位相同。当当0 ，则，则强迫振动

44、部分强迫振动部分xGFOMx17-3 单自由度系统的强迫振动（3）如果弹簧的刚度系数适中，如果弹簧的刚度系数适中，0时，物块将作剧烈振动时，物块将作剧烈振动，幅度很大。，幅度很大。频率计利用这种现象来测量干扰力的频率频率计利用这种现象来测量干扰力的频率。（2） 如果弹簧的刚度很小，有如果弹簧的刚度很小，有 01时，时，B /a 1 。因此，设计时应因此，设计时应当使测振仪具有比较低的当使测振仪具有比较低的固有频率，才能有比较大固有频率，才能有比较大的的z 值值。 被测频率高，测量精被测频率高，测量精度也高；被测频率低，测度也高；被测频率低，测量精度便低。量精度便低。 稳态响应的幅频特性与相频特

45、性曲线稳态响应的幅频特性与相频特性曲线zaBz对于同一对于同一z 值，阻尼较大时，值，阻尼较大时， B /a 趋趋近于近于1。17-3 单自由度系统的强迫振动17-4 二自由度系统的自由振动运动微分方程运动微分方程固有频率和主振型固有频率和主振型系统对初始条件的响应系统对初始条件的响应 工程中有很多比较复杂的振动系统，如动力吸振器等工程中有很多比较复杂的振动系统，如动力吸振器等，不能简化为单自由度的，而必须看作为，不能简化为单自由度的，而必须看作为二自由度二自由度的或的或多多自由度的振系自由度的振系，这样才能反映问题的主要实质，从而使问，这样才能反映问题的主要实质，从而使问题得到合理解决。题得

46、到合理解决。 多自由度振系多自由度振系指的是指的是具有有限个自由度的振动系统具有有限个自由度的振动系统，许多工程振动系统都可简化为这一模型。即使弹性体系统许多工程振动系统都可简化为这一模型。即使弹性体系统( (也称连续系统或分布参数系统也称连续系统或分布参数系统) )，经过适当离散化后，也，经过适当离散化后，也可以近似表示为多自由度系统。所以，可以近似表示为多自由度系统。所以，多自由度系统振动多自由度系统振动的理论是解决工程振动问题的基础。的理论是解决工程振动问题的基础。17-4 二自由度系统的自由振动 多自由度振动系统的很多基本概念可通过二多自由度振动系统的很多基本概念可通过二自由度振动系统

47、来说明，而且二自由度振动系统自由度振动系统来说明，而且二自由度振动系统的理论也有重要的工程应用。所以下面只的理论也有重要的工程应用。所以下面只讨论二讨论二自由度系统的自由振动和强迫振动自由度系统的自由振动和强迫振动，介绍，介绍求固有求固有频率和主振型的方法频率和主振型的方法。17-4 二自由度系统的自由振动1.运动微分方程 凡是要用两个独立坐标描述其运动的振动系统都是凡是要用两个独立坐标描述其运动的振动系统都是二自二自由度振动系统由度振动系统。在实际工程问题中，虽然二自由度系统的具。在实际工程问题中，虽然二自由度系统的具体形式不尽相同，但从振动的观点看，其运动方程都可以归体形式不尽相同，但从振

48、动的观点看，其运动方程都可以归结为一个一般的形式，以相同的方法来处理。结为一个一般的形式，以相同的方法来处理。17-4 二自由度系统的自由振动m1k1k2k3m2x1x2m1m2(b)k1x1k3x2k2(x2-x1)(a)23122221221111)()(xkxxkxmxxkxkxm 如图（如图（a）所示的双质量）所示的双质量弹簧系统，弹簧系统，m1和和m2的位置需的位置需要两个独立坐标要两个独立坐标x1和和x2才能确定。取其静平衡位置为两坐标才能确定。取其静平衡位置为两坐标的原点，在任一瞬时，的原点，在任一瞬时，m1和和m2的的受力如图（的的受力如图（b）所示。）所示。由动力学基本方程可

49、得由动力学基本方程可得17-4 二自由度系统的自由振动上式改写为上式改写为0)(0)(23212222212111xkkxkxmxkxkkxm 令令 a=(k1+k2)/m1，b=k2/m1，c=k2/m2，d=(k2+k3)/m2， 则式则式（17-41）可表示为可表示为00212211dxcxxbxaxx 方程方程（17-42）就是就是二自由度自由振动系统的运动微分方程二自由度自由振动系统的运动微分方程。（17-41）（17-42）23122221221111)()(xkxxkxmxxkxkxm 17-4 二自由度系统的自由振动2.固有频率和主振型)sin()sin(2211ptAxptA

50、x0)sin()(0)sin()(221212ptApdcAptbAApa0)(0)(221212ApdcAbAApa 为了确定二自由度自由振动系统的运动规律，先假定为了确定二自由度自由振动系统的运动规律，先假定二质量按相同频率二质量按相同频率p和相同的相位角和相同的相位角作简谐振动，令作简谐振动，令将上式代入式（将上式代入式（17-4217-42），得），得于是得于是得 （17-43）（17-44）17-4 二自由度系统的自由振动22pdcbpa0)()()(222bcadpdap)()2(2222, 1bcaddadap要使要使A1和和A2具有非零解，则式具有非零解，则式（17-44）的系