第4章根轨迹法[4.3-4.5]课件.ppt

《第4章根轨迹法[4.3-4.5]课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第4章根轨迹法[4.3-4.5]课件.ppt（47页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1( )( )0G s H s(4-36) ( )1( )P sAQ s (4-37) 其中，其中，A A为除为除K K外，系统外，系统任意的变化参任意的变化参数数，而，而 和和 为两个与为两个与A A无关的多项式。无关的多项式。显然式显然式(4-36)(4-36)应与式应与式(4-37)(4-37)相等，即相等，即0)()(1)()(sHsGsAPsQ(4-38) 根据式根据式(4-38)(4-38)，可得等效的单位反，可得等效的单位反馈系统，其等效开环传递函数为馈系统，其等效开环传递函数为)()()()(11sQsPAsHsG(4-39) )(sP)(sQ例例4-5 4-5 一双闭环控制系

2、统的框图如图一双闭环控制系统的框图如图4-144-14所示，试绘制以为参变量的根轨迹。所示，试绘制以为参变量的根轨迹。图4-14 双闭环控制系统的框图4( )(12 )G ss s 由于为参变量，因而不能根据的极点来画出系统的根轨迹。基于本题是绘制下列闭环特征方程04)21 (2ss04212sss令系统的等效开环传递函数为122( )4115115jj2222sKsG sssss 其中， 的极点为 ，零点为0。用例4-3的方法，不难证明该系统根轨迹的复数部分为一圆弧，其方程为 。图4-15为该系统的根轨迹。 )(21sGK，115j222222例例4-6 4-6 一单位反馈控制系统如图一单位

3、反馈控制系统如图4-164-16所示，所示，试绘制以试绘制以K K和和 为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。 图4-16 单位反馈控制系统 a02Kass先令 ，则上式变成0a0a02 Ks或写作012sK令201)(sKsG)(01sG)(01sG0a0a012Ksas令KsassG202)()()(0201sGsG与)(02sG)(01sG)(02sG)(01sG)(02sG)(02sG0由a4)(202sassG2222图4-17(b)为取不同值时所作的根轨迹簇。 (a) a=0,0K (b) 根轨迹簇 WORDS AND PHRASES非最小相位系统非最小相位系统图4-18 具有正反馈

4、内回路的控制系统)()(1)()()(sHsGsGsRsC相应的特征方程为0)()(1sHsG即1)()(sHsG(4-40) 由上式可知，正反馈回路根轨迹的幅由上式可知，正反馈回路根轨迹的幅值条件与负反馈回路完全相同，但其相值条件与负反馈回路完全相同，但其相角却变为角却变为arg ( )( )20,1,2,G s H skk ，(4-41) 规则规则33 实轴上线段成为根轨迹的充要实轴上线段成为根轨迹的充要条件条件( (K K0)0)是该线段右方实轴上开环零点与是该线段右方实轴上开环零点与极点之和为偶数。极点之和为偶数。20,1,2,kknm，(4-42) 规则规则6 6 开环共轭极点的出射

5、角与开环共开环共轭极点的出射角与开环共轭零点的入射角为轭零点的入射角为112mnlijijjlk 112nmkjijii kk (4-43) (4-44) 00(1)(1)argarg(1)(1)(21)0,1,2,KsKss ss skk ，图4-19 非最小相位系统图图4-19 4-19 非最小相位系统非最小相位系统0(1)arg20,1,2,(1)Kskks s ， 不难证明，由上式做出的根轨迹的复数部分为一圆周，其方程为222)2() 1(计算求得根轨迹(见图4-20)与虚轴的交点为j1，相应地， 。这表明当 时，该系统为不稳定。1K1K图4-20 图4-19所示系统的根轨迹 图图4-

6、214-21为滞后系统的框图，它的闭环传为滞后系统的框图，它的闭环传递函数为递函数为( )( )e( )1( )( )essC sKG sR sKG s H s图4-21 滞后系统的框图 相应地，闭环特征方程式为1( )( )e0sKG s H s(4-45) 令 代入上式，据此，求得滞后系统根轨迹的相角条件和幅值条件分别为js1( )( ) eG s H sK(4-45) arg ( )( )(21)0,1,2,G s H skk ，(4-47) 00es1e1ss(4-48) 控制系统可供选择的参数不局限于开环增控制系统可供选择的参数不局限于开环增益益K K(open-loop gain)

7、(open-loop gain)一个参数，有时还需要一个参数，有时还需要对其他的一些参数进行选择。对于这种情况，对其他的一些参数进行选择。对于这种情况，也可用根轨迹法。对此，举例如下。也可用根轨迹法。对此，举例如下。例例4-7 4-7 设一反馈系统如图设一反馈系统如图4-224-22所示。试选择所示。试选择参数参数K K1 1和和K K2 2，使系统同时满足下列性能指标的，使系统同时满足下列性能指标的要求。要求。图4-22 控制系统 为斜坡输入时，系统的稳态误差为斜坡输入时，系统的稳态误差essess0.350.35。 闭环极点的阻尼比闭环极点的阻尼比0.7070.707。(3) (3) 调整

8、时间调整时间tsts3s3s。解：系统的开环传递函数为)2()(211KKssKsG)2()(211KKssKsG相应地，静态误差系数为2112KKKKv12121ssvK KeKK0.35由题意得 由上式可知，若要满足系统稳态误差的由上式可知，若要满足系统稳态误差的要求要求, ,K K2 2必须取最小值，必须取最小值，K K1 1 必须取较大值。必须取较大值。 在在s s的左半平面上，过坐标原点与负实轴的左半平面上，过坐标原点与负实轴成成4545角的直线，在此直线上闭环极点的阻角的直线，在此直线上闭环极点的阻尼比尼比均为均为0.7070.707。要求调整时间44snt3s 必须大于必须大于4

9、/3。为了同时满足。为了同时满足和和ts要求，闭环极要求，闭环极点应位于图点应位于图4-23所示的阴影区域内。所示的阴影区域内。图图4-23 4-23 在在s s平面上希望极点的区域平面上希望极点的区域令121KKK， ，则图4-22所示系统的特征方程式为02)(12ssssG(4-49) 设0，则式，则式(4-49)变变为为022ss或0)2(1ss(4-50) 据此，做出以为参变量的根轨迹，如图4-24所示。图图4-24 4-24 式式(4-50)(4-50)的根轨迹的根轨迹 为了满足静态性能(static characteristic)要求，试取 201K式(4-49)则改写为02021

10、2sss(4-51) 式中，开环传递函数的极点为 1j4.36s 以为参变量的根轨迹如图4-25所示。经过该图的坐标原点作一与负实轴成 45角的直线，并与根轨迹相交于 3.15j3.17点 ,由根轨迹的 幅值条件，求出 2203 . 4K215. 02K即 由于所求闭环极点的实部 因而系统的调整时间为3.153.15441.27s3s3.15st图图4-25 4-25 式式(4-51)(4-51)的根轨迹的根轨迹在单位斜坡输入时，系统的稳态误差为35. 0315. 020215. 02022121KKKess 由此可知， ,能使系统达到预定的性能要求。 215. 02021KK，215. 02

11、021KK，4.5.2 4.5.2 指定指定K K0 0时的闭环传递函数时的闭环传递函数 控制系统的闭环零点由开环传递函数中控制系统的闭环零点由开环传递函数中 的零点和的零点和 的极点组成的，它们一般为已知。的极点组成的，它们一般为已知。系统的闭环极点与根轨迹的增益系统的闭环极点与根轨迹的增益K K有关。如果有关。如果K K已知，就可以沿着特定的根轨迹分支，根据根已知，就可以沿着特定的根轨迹分支，根据根轨迹的幅值条件，用试探法求得相应的极点。轨迹的幅值条件，用试探法求得相应的极点。现举例如下。现举例如下。)(sG)(sH已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为)2)(1()()(0ss

12、sKsHsG 求求K K0=0.50=0.5时系统的闭环极点。由该系统的时系统的闭环极点。由该系统的根轨迹图根轨迹图4-264-26可知，在分离点可知，在分离点s s=0.423=0.423处，根处，根据幅值条件求得据幅值条件求得K K0=0.3850=0.385。由此可知，当。由此可知，当K K0=0.50=0.5时，该系统的闭环极点为一对共轭复根和一个实时，该系统的闭环极点为一对共轭复根和一个实根，且此实根位于根，且此实根位于2323之间。据此，如取之间。据此，如取s s3=2.23=2.2作为实验点，由幅值条件求得相应的作为实验点，由幅值条件求得相应的K K0 0值为值为528. 02

13、. 02 . 12 . 2213330sssK显然，所求的显然，所求的K K0 0值略大于指定值值略大于指定值0.50.5。为此再。为此再取取s s3=2.1923=2.192作试探，求得作试探，求得K K0=0.5010.50=0.5010.5。这表示这表示K K0=0.50=0.5时，时，s s3=2.1923=2.192是闭环的一个是闭环的一个极点。它的一对共轭复数极点可按下述的方极点。它的一对共轭复数极点可按下述的方法求取。法求取。图4-26 根轨迹图因为K0=0.5时的闭环特征多项式为5 . 0235 . 0)2)(1(23ssssss用上式除以因式()，求得商为。令192. 2s2

14、29. 0808. 02ss0229. 0808. 02ss求得1,20.404j0.256s 256. 0)404. 0)(192. 2(5 . 0)()(22sssRsCarccos605 . 0arccos1,20.33j0.58s 12330.33j0.580.33j0.583ssss 所以，所以， 。根据幅值条件，求得相应的。根据幅值条件，求得相应的由于极点距虚轴的距离实极点是距虚轴距离的由于极点距虚轴的距离实极点是距虚轴距离的7 7倍倍多。因而是系统的闭环主导极点。与相应的闭环多。因而是系统的闭环主导极点。与相应的闭环传递函数为传递函数为34. 23s34.23s58. 0)38.

15、 0)(34. 2(05. 1)()(22sssRsCssR1)(2201221.05( )(2.34)(0.38)0.58 2.34(0.33)0.58C ss ssAABsCsss83. 09 . 01 . 0110CBAA，222210.10.90.83( )2.34(0.33)0.5810.1(0.33)0.580.92.34(0.33)0.58sC ssssssss2.340.33( )10.1e0.9e(cos0.58sin0.58 )ttC ttt 式中，等号右边第一项是输出的稳态分量，第式中，等号右边第一项是输出的稳态分量，第二、三项为瞬态分量。基于第二项的幅值小、衰减二、三项为瞬态分量。基于第二项的幅值小、衰减速度快，因而它对系统的响应仅在起始阶段起作用。速度快，因而它对系统的响应仅在起始阶段起作用。对系统响应起主导作用的是式中的第三项。对系统响应起主导作用的是式中的第三项。