第4章根轨迹法(1)课件.ppt

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1、第四章第四章 根轨迹法根轨迹法Chapter 4 ROOT LOCUS 本章重点内容本章重点内容根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念根轨迹绘制的基本规则根轨迹绘制的基本规则参量根轨迹的绘制参量根轨迹的绘制用根轨迹法分析闭环控制系统的性能用根轨迹法分析闭环控制系统的性能!系统特征根的图解方法根轨迹：根轨迹：当系统当系统某一参数某一参数在在规定范围内变化规定范围内变化时，相应的系时，相应的系统统闭环特征方程根闭环特征方程根在在s s平面上的位置也随之变化移动，形成平面上的位置也随之变化移动，形成一条轨迹。一条轨迹。1 1、希望按性能要求置于合适的位置。、希望按性能要求置于合适的位置。闭环极点（即闭环特

2、征方程根）闭环极点（即闭环特征方程根）闭环控制系统稳定闭环控制系统稳定性、瞬态响应特性性、瞬态响应特性2 2、系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解，、系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解， 不方便。不方便。4.1.1 根轨迹的概念根轨迹的概念4.1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念)1()()( ssKsHsG设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为KssK) s (R) s (C) s (2广义根轨迹广义根轨迹: :系统的任意一变化参数形成根轨迹。系统的任意一变化参数形成根轨迹。狭义根轨迹狭义根轨迹（通常情况）：（通常情况）： 变化参数为变化参数为开环增益开环增益

3、K K，且其变化取值范围为，且其变化取值范围为0 0到到。闭环特征方程式为闭环特征方程式为02 Kss显然，特征方程式的根是显然，特征方程式的根是 Ks41212121 ， 由上式可见，特征根由上式可见，特征根s1和和s2都将随着参变量都将随着参变量K的的变化而变化。下表列出了当参变量变化而变化。下表列出了当参变量K由零变化到无穷由零变化到无穷大时，特征根大时，特征根s1和和s2相应的变化关系。相应的变化关系。0Kss) s (D24/1K2/121 ss01s12sK0时4/10 K两个负实根K值增加相对靠近移动离开负实轴，分别s=-1/2 直线向上和向下移动。 K4/1一对共轭复根-1-1

4、/20Ks4121212, 14.1.2 根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能1. 稳定性稳定性 当开环增益从零变到无穷时，当开环增益从零变到无穷时，右图中的根轨迹不会越过虚轴进右图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半入右半s s平面，因此例平面，因此例1 1系统对所系统对所有的有的K K值都是值都是稳定稳定的。的。 如果分析高阶系统的根轨迹如果分析高阶系统的根轨迹图，那么根轨迹就有可能越过虚图，那么根轨迹就有可能越过虚轴进入轴进入s s右半平面，此时根轨迹右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处的与虚轴交点处的K K值，就是值，就是临界临界开环增益。开环增益。 2. 稳态性能稳态性能 由右图可见，开环系统在坐

5、由右图可见，开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统属标原点有一个极点，所以系统属I I型型系统，因而根轨迹上的系统，因而根轨迹上的K K值就是静态值就是静态速度误差系数。速度误差系数。 如果给定系统的稳态误差要如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。在一般情况下，点位置的容许范围。在一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数不是开根轨迹图上标注出来的参数不是开环增益，而是所谓根轨迹增益。环增益，而是所谓根轨迹增益。 3. 动态性能动态性能 由右图可见，当由右图可见，当 时，时，所有闭环极点位于实轴上，系统所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻

6、尼系统，单位阶跃响应为为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；非周期过程； 当当 时，闭环两个实数时，闭环两个实数极点重合，系统为临界阻尼系统，极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周期过程，单位阶跃响应仍为非周期过程，但响应速度较但响应速度较 情况为快；情况为快； 当当 时，闭环极点为复时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随超调量将随K K值的增大而增大，但值的增大而增大，但调节时间变化不会显著。调节时间变化不会显著。25. 00 K25. 0K25. 00 K25. 0K、闭环零、

7、极点与开环零、极点间的关系、闭环零、极点与开环零、极点间的关系前向通道传递函数前向通道传递函数G(S)G(S)的一般表达式的一般表达式22122212212221()(1)(1)( )*(1)(1)()fiGiGqiiszKsssG sKs TsT sT ssp 前向通道增益前向通道增益前向通道根轨迹增益前向通道根轨迹增益212212*GGKKT T ( )( )1( )( )G ssG s H s*GHKKK开环系统根轨迹增益开环系统根轨迹增益izjzipjp前向通道零点前向通道零点反馈通道零点反馈通道零点前向通道极点前向通道极点反馈通道极点反馈通道极点mm个零点个零点(m=f + (m=f

8、 + l l ) )n n个极点个极点(n= q + h)(n= q + h)11()( )*()ljjHhjjszH sKsp反馈通道根轨迹增益反馈通道根轨迹增益mm个开环零点个开环零点(m=f + (m=f + l l ) )n n个开环极点个开环极点(n= q + h)(n= q + h)1111()()( ) ( )*()()lfjijiqhjijis zs zG s H sKspsp开环传递函数开环传递函数111111*()()( )()()*()()fhGijijqfhlijijijijKszspsspspKszsz3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。1）闭环系统

9、的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹 增益均有关； ！根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环！根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点。特征方程找出闭环极点。单位反馈系统单位反馈系统（1 1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；（2 2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。）闭环系统的零点就是开环系统的零点。*GHKKK、根轨迹方程、根轨迹方程根轨迹是系统闭环极点的集合根轨迹是系统闭环极点的集合闭环系统的特征方程：闭环系统的特征方程：如果已知有如果

10、已知有m个开环零点和个开环零点和n个开环极点个开环极点1( )( )0G s H s11() *1()mjjniiszKsp 根根 轨轨 迹迹 方方 程程 ：幅角条件和幅值条件幅角条件和幅值条件mm个零点个零点n n个极点个极点（n n mm）11()*1()miiniiszKsp 11*1miiniiszKsp 幅值条件幅值条件1 1）幅值条件不但与开环零、极点有关，）幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；还与开环根轨迹增益有关；11()()(21)mniiiiszspk 幅角条件（幅角条件（k k=0,1,2, =0,1,2, ） 2 2）幅角条件只与开环零、极点有）幅角

11、条件只与开环零、极点有关关幅角条件是确定幅角条件是确定s s平面上的根轨迹的充分必要条件。平面上的根轨迹的充分必要条件。 由上述两式可见，幅值条件与由上述两式可见，幅值条件与k有关，而有关，而相角条件与相角条件与k无关。因此，把满足相角条件无关。因此，把满足相角条件的值代入到幅值条件中，一定能求得一个的值代入到幅值条件中，一定能求得一个与之相对应的与之相对应的k值。这就是说，相角条件是值。这就是说，相角条件是确定确定s平面上的根轨迹的平面上的根轨迹的充分必要条件充分必要条件。换。换言之言之,凡是满足相角条件的点必然也同时满凡是满足相角条件的点必然也同时满足幅值条件足幅值条件,反之反之,满足幅值

12、条件的点未必都满足幅值条件的点未必都能满足相角条件能满足相角条件. 综上所述，综上所述，根轨迹就是平面上满足相角条根轨迹就是平面上满足相角条件点的集合。件点的集合。 由于相角条件是绘制根轨迹的基础，因由于相角条件是绘制根轨迹的基础，因而绘制根轨迹的一般步骤是：而绘制根轨迹的一般步骤是：先找出先找出s s平面上满足相角条件的点，并把它们连成平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线；曲线；然后根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应然后根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的值。的值。模值条件与相模值条件与相角条件的应用角条件的应用s1=-0.825s2,3= -1.09j2.07-1.5-1-20

13、.52.2678.8o2.112.61127.53o92.49o2.072K*=2.262.112.612.072= 6.006892.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= 180o-1.09+j2.0766.27o求模求角例题已知根轨迹如图已知根轨迹如图所示求增益所示求增益例例4-14-1 利用幅值条件和相角条件绘制如图所利用幅值条件和相角条件绘制如图所示系统的根轨迹。示系统的根轨迹。解：解：(1) (1) 本例的开环传递函数为本例的开环传递函数为) 1()(ssKsG它的开环极点为它的开环极点为0和和1，没有，没有开环零点。开环零点。(2)(2)用相角条件绘制根轨迹用相

14、角条件绘制根轨迹本例的相角条件为本例的相角条件为argarg(1)(21)0,1,2,sskk ，根据上式，用试探法寻求根据上式，用试探法寻求s s平面上满足相角条件的点。平面上满足相角条件的点。1) 1) 在正实轴上任取一试验点在正实轴上任取一试验点s1，如图，如图4-4(a)4-4(a)所示，由所示，由于于 ，因，因而该点不满足根轨迹的相角而该点不满足根轨迹的相角条件。由此可知，在正实轴条件。由此可知，在正实轴上不存在系统的根轨迹。上不存在系统的根轨迹。11arg0 arg(1)0ss， 。因而该点不。因而该点不满足相角条件，即满足相角条件，即11点左点左侧的实轴上不存在该系统侧的实轴上不

15、存在该系统的根轨迹。的根轨迹。 。因而该点。因而该点满足相角条件。由此可知，满足相角条件。由此可知，(0,1)(0,1)间的实轴是该系间的实轴是该系统的根轨迹。统的根轨迹。 2)2)在在(0,1)(0,1)间的实轴上间的实轴上任取一试验点任取一试验点s s2 2，如图，如图4-4-4(b)4(b)所示，由于所示，由于 ，2args 0) 1arg(2s3)3)在在11点左侧实轴上任取点左侧实轴上任取一试验点一试验点s3s3，如图，如图4-4(c)4-4(c)所示，由于所示，由于3args )1arg(3s 4) 4) 在在s s平面上任取一点平面上任取一点s s4 4，如图，如图4-4(d)4

16、-4(d)所示，所示，令令 ， 。如果点。如果点s s4 4位于根轨位于根轨迹上，则应满足相角条件，即迹上，则应满足相角条件，即 。 14args24) 1arg(s12(0)k 21 ， 显然，只有当显然，只有当 时，才能满足此条件。由此可知，时，才能满足此条件。由此可知，坐标原点与坐标原点与11之间的实轴的垂之间的实轴的垂直平分线上的点均能满足相角条直平分线上的点均能满足相角条件，因而该垂直平分线也是系统件，因而该垂直平分线也是系统根轨迹的一部分。根轨迹的一部分。(3) (3) 用幅值条件确定增益用幅值条件确定增益K系统的幅值条件为系统的幅值条件为1ssK由上式可以求得根轨迹上各点所对应的由上式可以求得根轨迹上各点所对应的K K值。例如，值。例如，图图4-4(d)4-4(d)中的重根中的重根s s1,2=0.51,2=0.5，其对应的，其对应的K K值为值为25. 05 . 05 . 0K11ssK幅值条件2sK2幅值条件幅值条件成立成立！不是根轨迹上的一点不是根轨迹上的一点27212, 1js根轨迹上的一点根轨迹上的一点 必要条件：必要条件： S S平面上的某一点平面上的某一点s s是根轨迹上的点，则幅值条件成立；是根轨迹上的点，则幅值条件成立； S S平面上的任一点平面上的任一点s s满足幅值条件，该点却不一定是根轨迹满足幅值条件，该点却不一定是根轨迹 上的点。上的点。