第4章根轨迹法[4.1]课件.ppt

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1、 根轨迹是作为开环传递函数增益的函数，闭环根轨迹是作为开环传递函数增益的函数，闭环系统特征方程根的轨迹系统特征方程根的轨迹(The root locus is a plot of the roots of the characteristic equation of the closed-loop system as a function of the gain of the open-loop transfer function)。 为了具体说明根轨迹的概念，设控制系统如为了具体说明根轨迹的概念，设控制系统如图图4-14-1所示，其开环传递函数为所示，其开环传递函数为) 1()()(ssKs

2、HsG02Kss(4-1)(4-1) 显然，特征方程式的根是显然，特征方程式的根是 Ks41212121，表表4-1 特征方程式的根与参变量特征方程式的根与参变量K的关系的关系图图4-2 系统的根轨迹系统的根轨迹 以以K K为参变量，把为参变量，把表表4-14-1中所示的中所示的s1s1和和s2s2画在画在s s平面平面(plane)(plane)上，上，并分别把它们连成曲并分别把它们连成曲线线(curve)(curve)，就得到该，就得到该系统的根轨迹，如图系统的根轨迹，如图4-24-2所示。图中箭头的所示。图中箭头的指向表示指向表示K K增大时根的增大时根的移动方向。而标注的移动方向。而标

3、注的数值则代表与闭环极数值则代表与闭环极点位置相应的开环增点位置相应的开环增益益K K的数值。的数值。1. 1. 稳定性稳定性当开环增益从零变到无穷当开环增益从零变到无穷时，图时，图4-24-2上的根轨迹不会上的根轨迹不会越过虚轴进入右半越过虚轴进入右半s s平面，平面，因此图因此图4-14-1系统对所有的系统对所有的K K值都是值都是稳定稳定的。的。如果分析高阶系统的根轨如果分析高阶系统的根轨迹图，那么根轨迹就有可迹图，那么根轨迹就有可能越过虚轴进入能越过虚轴进入s s右半平面，右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处此时根轨迹与虚轴交点处的的K K值，就是值，就是临界临界开环增益。开环增益。5 .

4、 00 K5 . 0K5 . 00 K5 . 0K0)()(1sHsG由上式可知，凡是满足方程由上式可知，凡是满足方程1)()(sHsG(4-2)(4-2) 的的s值，就是该方程式的根，或者说是根轨值，就是该方程式的根，或者说是根轨迹上的一点。迹上的一点。jarg( )( )j(21)( )( ) e1e0,1,2,G s H skG s H sk，于是得于是得1)()(sHsGarg ( )( )(21)0,1,2,G s H skk ，(4-3)(4-3) (4-4)(4-4) )()()()()()(2121nmpspspszszszsKsHsG(4-6)(4-6) je,1,2,;ii

5、iszimje,1,2, .lllspln则式则式(4-6)(4-6)改写为改写为mzzzK ,021；11j()11( )( )emmililmiinllG s H sK(4-7)(4-7) ”和“111nllmiiK(4-8)(4-8) 11(21)0,1,2,mnililkk ，(4-9)(4-9) 例例4-1 4-1 下面利用幅值条件和相角条件绘下面利用幅值条件和相角条件绘制图制图4-14-1所示系统的根轨迹。所示系统的根轨迹。解：解：(1) (1) 在在s s平面用标出开环极点，用标出开平面用标出开环极点，用标出开环零点。本例的开环传递函数为环零点。本例的开环传递函数为) 1()(s

6、sKsG它的开环极点为它的开环极点为0和和1，没有开环零点。，没有开环零点。标在标在s平面上如图平面上如图4-4所示。所示。argarg(1)(21)0,1,2,sskk ，根据上式，用试探法寻求根据上式，用试探法寻求s s平面上满足平面上满足相角条件的点。相角条件的点。1) 1) 在正实轴上任取一试验点在正实轴上任取一试验点s s1 1，如图，如图4-4-4(a)4(a)所示，由于所示，由于 ，因而该点不满足根轨迹的相角条件。由此因而该点不满足根轨迹的相角条件。由此可知，在正实轴上不存在系统的根轨迹。可知，在正实轴上不存在系统的根轨迹。11arg0 arg(1)0ss，2args 0) 1a

7、rg(2s3)3)在在11点左侧实轴上任取一试验点点左侧实轴上任取一试验点s3s3，如图，如图4-4(c)4-4(c)所示，由于所示，由于 因而该点不满足相角条件，即因而该点不满足相角条件，即11点左侧的实点左侧的实轴上不存在该系统的根轨迹。轴上不存在该系统的根轨迹。3args 0) 1arg(3s14args24) 1arg(s12(0)k21 ，01ssK 由上式可以求得根轨迹上各点所对应的由上式可以求得根轨迹上各点所对应的K K值。例如，图值。例如，图4-4(d)4-4(d)中的重根中的重根s s1,2=0.51,2=0.5，其对应的其对应的K K值为值为25. 05 . 05 . 0K) 1() 1() 1() 1()()(110sTsTsssKsHsGnm(4-10)(4-10) miinljnllmiiTKpzKK11110(4-11)(4-11) 式中，式中， 为为 的零点；的零点； 为为 的极点。的极点。若把式若把式(4-6)(4-6)代入式代入式(4-2)(4-2)，则闭环特征方，则闭环特征方程就变为程就变为), 2 , 1(1mizii )()(sHsG), 2 , 1(1nlTpll )()(sHsG1)()(11nllmiipszsK(4-12)(4-12)