第5章频率响应法(4)课件.ppt

《第5章频率响应法(4)课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第5章频率响应法(4)课件.ppt（31页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第五章第五章 频率响应法频率响应法Chapter 5 Frequency Response Methods5.4 5.4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据(nyquist stability criterion)(nyquist stability criterion) 乃奎斯特稳定判据可以根据开环频率特性图判乃奎斯特稳定判据可以根据开环频率特性图判断闭环系统的稳定性。开环频率响应曲线可以由解断闭环系统的稳定性。开环频率响应曲线可以由解析或实验的方法得到的。因为在控制系统设计中，析或实验的方法得到的。因为在控制系统设计中，一些元件的数学表达式往往是未知的，仅仅知道它一些元件的数学表达式往往是未

2、知的，仅仅知道它们的频率响应数据，所以采用这种稳定性分析方法们的频率响应数据，所以采用这种稳定性分析方法比较方便。对于不稳定的系统，这种判据还能提示比较方便。对于不稳定的系统，这种判据还能提示人们改善系统稳定性的方法。人们改善系统稳定性的方法。5.4.1 辐角原理辐角原理(principle of the argument) 设复变函数设复变函数)()()()()(21211nnpspspszszszsksF式中式中 ；由复变函数的理论知道，；由复变函数的理论知道， 除了在除了在s平平面上的有有限个奇点外，它总是解析的，即为单值、连面上的有有限个奇点外，它总是解析的，即为单值、连续的正则函数。

3、因而对于续的正则函数。因而对于s平面上的每一点，在平面上的每一点，在 平面平面上必有唯一的一个映射点与之相对应。同理，对上必有唯一的一个映射点与之相对应。同理，对s平面上平面上任意一条不通过任意一条不通过 极点和零点的闭合曲线极点和零点的闭合曲线 ，在，在 平平面上必有唯一的一条闭合曲线面上必有唯一的一条闭合曲线 与之相对应。与之相对应。js)(sF)(sF)(sF)(sFsCFC在某区域内处处连续可导的复变函数称为该区域在某区域内处处连续可导的复变函数称为该区域内的正则解析函数，也可简称正则函数。内的正则解析函数，也可简称正则函数。 若若s平面上的闭合曲线平面上的闭合曲线 按顺时针方向运动，

4、则其按顺时针方向运动，则其在在 平面上的映射曲线平面上的映射曲线 的运动方向可能是顺的运动方向可能是顺时针，也可能是逆时针，它完全取决于复变函数时针，也可能是逆时针，它完全取决于复变函数 本身的特性。我们关心它是否包围本身的特性。我们关心它是否包围 平面的平面的坐标坐标原点原点以及围绕原点的以及围绕原点的方向和周数方向和周数，因为后者与系统，因为后者与系统的稳定性有着密切的关系。的稳定性有着密切的关系。sC)(sFFC)(sF)(sF相角为相角为nllniiFpszssF11)arg()arg()(arg1. 假设假设s平面上的闭合曲线平面上的闭合曲线 以顺时针方向围绕以顺时针方向围绕 的的一

5、个零点一个零点 ， 的其余零点和极点均位于闭合曲的其余零点和极点均位于闭合曲线线 之外。当点之外。当点s沿着闭合曲线沿着闭合曲线 走了一周时，向走了一周时，向量量 的相角变化了的相角变化了 ，其余各向量的相角变化，其余各向量的相角变化都为都为0。这表示在平面。这表示在平面 上的映射曲线按上的映射曲线按顺时针顺时针方方向围绕着原点旋转一周，如下页图所示。由此推论，向围绕着原点旋转一周，如下页图所示。由此推论，若若s平面上闭合曲线平面上闭合曲线 以顺时针方向包围以顺时针方向包围 的的 个零个零点，则在点，则在 平面上的映射曲线平面上的映射曲线 将按顺时针方向围将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转绕着坐

6、标原点旋转 周。周。)(sFsC1zZFC)(sFZsC)(sF2 )(1zs sCsC)()()()()(21211nnpspspszszszsksF 2. 如果如果s平面上的闭合曲线平面上的闭合曲线 按顺时针方向围绕按顺时针方向围绕着着 的一个极点的一个极点 旋转一周，其余为零，则向旋转一周，其余为零，则向量量 的相角变化了的相角变化了 。由表达式可知，。由表达式可知， 的相角变化了的相角变化了 。这表示平面。这表示平面 上的映射曲上的映射曲线线 按按逆时针逆时针方向围绕其坐标原点一周。由此推方向围绕其坐标原点一周。由此推广到一般，若广到一般，若s平面上的闭合曲线平面上的闭合曲线 以顺时针

7、方以顺时针方向围绕着向围绕着 的的 个极点旋转一周，则其在个极点旋转一周，则其在 平面上的映射曲线平面上的映射曲线 将按逆时针方向围绕坐标原将按逆时针方向围绕坐标原点（净）旋转点（净）旋转 周。周。 综上所述，得出下述的幅角原理。综上所述，得出下述的幅角原理。 幅角原理幅角原理 如果特征方程在乃氏曲线如果特征方程在乃氏曲线 中有中有 个个零点和零点和 个极点，那么个极点，那么s顺时针方向绕曲线顺时针方向绕曲线 走一走一圈，特征方程映射曲线将以圈，特征方程映射曲线将以顺时针方向顺时针方向围绕着复围绕着复平面的坐标原点旋转平面的坐标原点旋转 周，其中周，其中 。sC)(sF1p)(1ps 2 )(

8、sF2 )(sFFCsC)(sFP)(sFFCPsCZPsCNPZN5.4.2 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据已知一个反馈控制系统已知一个反馈控制系统闭环特征方程式闭环特征方程式为为0)()(1)(sHsGsF令 )()()()()()(2121nmpspspszszszsKsHsG 式中，式中， 是是 的零点，也是的零点，也是闭环特闭环特征方程式的根征方程式的根； 是是 的极点，也的极点，也是开环传递函数的极点。是开环传递函数的极点。12nszzz ， ，)(sF12nsppp ， ，)(sF)()()()()()()()()()()(2121212121nmnmnpspspszszszs

9、KpspspszszszsKpspspssF乃奎斯特途径，它是由乃奎斯特途径，它是由 轴轴表示的表示的 部分和半径为无穷部分和半径为无穷大的半圆大的半圆 部分组成。即部分组成。即s按按顺时针方向沿着顺时针方向沿着 由由 变化变化到到 ，然后沿着半径为无穷，然后沿着半径为无穷大大 的半圆的半圆 由由 变变 化到化到 。 如果闭环系统是如果闭环系统是稳定稳定的，则其特征方程式的的，则其特征方程式的根，即根，即 所有的所有的零点均位于零点均位于s的左半平面的左半平面。为了。为了判别系统的稳定性，即检验判别系统的稳定性，即检验 是否有零点在是否有零点在s的的右半平面上，因此在右半平面上，因此在s平面上

10、所取的闭合曲线平面上所取的闭合曲线 应包含应包含s的整个右半平面，如图所示。这样如果的整个右半平面，如图所示。这样如果 有零点或极点在有零点或极点在s的右半平面上，则它们必被此曲的右半平面上，则它们必被此曲线包围。这一闭合曲线称为线包围。这一闭合曲线称为)(sF)(sFsC)(sFj1C2C1Cj j )(R2Cj2Resj2Res基于基于 中的中的 ，当，当s沿着乃氏途径沿着乃氏途径 变化变化时，则有时，则有 这意味着当这意味着当s沿着半径为无穷大的半圆变化时，函沿着半径为无穷大的半圆变化时，函数数 始终为一常数。由此可知，始终为一常数。由此可知， 平面上的映平面上的映射曲线射曲线 是否包围

11、坐标原点，取决于乃氏图上是否包围坐标原点，取决于乃氏图上 部分的映射，即由部分的映射，即由 轴的映射曲线来表征。假设轴的映射曲线来表征。假设 在在 轴上不存在轴上不存在 的极点和零点，则当的极点和零点，则当s沿着沿着 轴由轴由 变化到变化到 时，在平面时，在平面 上的映射曲线上的映射曲线为为)()(sHsGmn 2C常数)()(1limsHsGs)(sF)(sFFC1Cjj)(sFjj j (j )F(j )1(j )(j )FGH 设闭合曲线设闭合曲线 以顺时针方向包围了以顺时针方向包围了 的的 个零点个零点和和 个极点，由辐角原理可知，在个极点，由辐角原理可知，在 平面上的映射平面上的映射

12、曲线曲线 将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转 周，其中周，其中由于由于sC)(sFZP(j )FFCNPZN(j )(j )1(j )(j )1GHGH 因而映射曲线因而映射曲线 对其坐标原点的围绕等价于开对其坐标原点的围绕等价于开环频率特性曲线环频率特性曲线 对对 平面上的平面上的 点的围点的围绕。绕。(j )F(j )(j )GHGH( 1, j0) 于是，闭环系统的稳于是，闭环系统的稳定性可通过其开环定性可通过其开环频率响应频率响应 曲线对曲线对(-1,j0)点的包点的包围与否来判别围与否来判别,这就这就是下述的乃奎斯特是下述的乃奎斯特稳定判据。稳定判据。(

13、j )(j )GH 1）如果开环系统是稳定的，即）如果开环系统是稳定的，即P=0，则其闭环系统稳，则其闭环系统稳定的充要条件是定的充要条件是G(j)H(j)曲线不包围曲线不包围(-1,j0)点。点。 2）如果开环系统不稳定，且已知有）如果开环系统不稳定，且已知有P个开环极点在个开环极点在S的的右平面，则其闭环系统稳定的充要条件是右平面，则其闭环系统稳定的充要条件是G(j)H(j)曲曲线线按逆时针方向按逆时针方向围绕围绕(-1,j0)点旋转点旋转P周。周。乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据：反馈控制系统是稳定的，当且仅反馈控制系统是稳定的，当且仅当乃氏轨迹围绕当乃氏轨迹围绕 (-1,j0)点逆时针

14、方向旋转的周数，等于点逆时针方向旋转的周数，等于特征方程右半平面的极点数特征方程右半平面的极点数(称为开环不稳定的极点称为开环不稳定的极点)。用乃氏判据判别闭环系统的稳定性时用乃氏判据判别闭环系统的稳定性时首先首先要确定开环系统是否稳定，即知道要确定开环系统是否稳定，即知道P为多少；为多少；其次其次要做出乃氏曲线以回答要做出乃氏曲线以回答N等于多少；等于多少；然后然后，根据幅角原理就可确定，根据幅角原理就可确定Z是否为零，为零则闭是否为零，为零则闭环系统稳定；反之，闭环系统不稳定。环系统稳定；反之，闭环系统不稳定。解：解： 的轨迹如图的轨迹如图所示。所示。例例5-5 系统的开环传递函数为系统的

15、开环传递函数为1212( )( )(1)(1)KG s H sTTTsT s，试用乃氏判据判别闭环系统的稳定性。试用乃氏判据判别闭环系统的稳定性。(j )(j )GH0P0N0PNZ例例5-6 已知一单位反馈系统的开环传递函数为已知一单位反馈系统的开环传递函数为试用乃氏判据确定该闭环系统稳定的试用乃氏判据确定该闭环系统稳定的K值范围。值范围。解：解：开环系统幅频和相频特性的表达式分别为开环系统幅频和相频特性的表达式分别为1)()(TsKsHsG22(j )1( )180arctanKGTT 1P1N011Z0T1K例例5-7 一单位反馈控制系统的开环传递函数为一单位反馈控制系统的开环传递函数为

16、 式中，式中， 均为正值。为使系统稳定，开环增均为正值。为使系统稳定，开环增益益 与时间常数与时间常数 之间应满足什么关系？之间应满足什么关系？ 解：解：) 1)(1()(32221sTsTsTTKsG321,TTTKK321,TTT21 223j ()2222221 223(j )(j )j1(j1)e(1)1KGTTTTKTTTT 221231arctanarctan)(TTTT0(j )GK0)0()(31 23(j )(j )GK TT T，( )32 ，(j )0G 21 223j ()2222221 223(j )(j )j1(j1)e(1)1KGTTTTKTTTT 221231a

17、rctanarctan)(TTTT)(jG0P(j )1G321 231 2232322213231 2322132 222 2213231 232231 232 222213231 23(j )(j )()(j )()j11()j ()1()1()()()j1()()KGTT TTTT TTTKT TTTTTT TKT TTT TTTTTT TKTTTT TT TTTTTT T20)(232132TTTTTK321320TTTTT ，32132TTTTT 13231 3(j )()()1KGTTTTTTKTTTTTT1)(313231为了研究在这种情况下系统的为了研究在这种情况下系统的稳定性

18、，就需要对图稳定性，就需要对图5-33所示所示的的乃氏途径乃氏途径略作修改，使其沿略作修改，使其沿着半径为着半径为 的半圆绕过虚的半圆绕过虚轴上的极点。假设开环系统在轴上的极点。假设开环系统在坐标原点处有极点，则对应的坐标原点处有极点，则对应的乃氏途径要修改为如图所示。乃氏途径要修改为如图所示。显然，图中多了一个显然，图中多了一个半径为无半径为无穷小的半圆穷小的半圆。因此，只需要研。因此，只需要研究图中的究图中的 部分在部分在 平面上平面上的映射。的映射。 如果如果 在在虚轴上有极点虚轴上有极点，那么就不能应用，那么就不能应用图图5-33所示的乃氏途径，因为辐角原理只适用于乃所示的乃氏途径，因

19、为辐角原理只适用于乃氏途径氏途径 不通过不通过 的奇点时。的奇点时。)()(sHsGsC)(sF02CGH 在在 部分上，令部分上，令 (其中其中 )，代入上式得，代入上式得mnsTssKsHsGvnllvmii，11)1 ()1 ()()(2Cjes0jj100jj1(1e )limlimee(1e )miin vvllKKT 当当s以逆时针方向沿着以逆时针方向沿着C2由点由点a移动到点移动到点c时，由上式时，由上式求得其在求得其在GH平面上的映射曲线平面上的映射曲线.设系统的开环传递函数设系统的开环传递函数 (a) 型系统 (b) 型系统 对于对于v=1的的型型系统，系统，C2部分在部分在

20、GH平面上的映平面上的映射曲线为一个射曲线为一个半径为无穷大半径为无穷大的的半圆半圆，对于，对于v=2的的型系统，型系统，C2部分在部分在GH平平面上的映射曲面上的映射曲线是一个半径线是一个半径为无穷大的为无穷大的圆圆。把上述把上述C2部分在部分在GH平面上的映射曲线平面上的映射曲线和乃氏曲线和乃氏曲线 在在 和和 处相连接，就组成了一条封闭曲线。这处相连接，就组成了一条封闭曲线。这样，乃奎斯特稳定判据又可以应用了。样，乃奎斯特稳定判据又可以应用了。(j )(j )GH 0 0例例5-8 一反馈控制系统的开环传递函数为一反馈控制系统的开环传递函数为)1 ()()(TssKsHsG其中，其中，

21、， 。试判别该系统的稳定性。试判别该系统的稳定性。0K0T解：解：该图的该图的C2部分在部分在GH平面平面上的映射曲线和乃氏曲线为一上的映射曲线和乃氏曲线为一半径无穷大的半圆，它与乃氏半径无穷大的半圆，它与乃氏曲线曲线 相连接后的围相连接后的围线如所示。线如所示。(j )(j )GH0N0P0Z例例5-9 已知一系统的开环传递函数为已知一系统的开环传递函数为00)1 ()()(2TKTssKsHsG，试用乃氏稳定判据判别该系统的稳定性。试用乃氏稳定判据判别该系统的稳定性。222(j )1( )180arctanKGTT 解：解：C2部分在部分在GH平面上的映射曲线为一半径无穷大的平面上的映射曲

22、线为一半径无穷大的圆。圆。2N0P2Z例例5-10 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为221(1)(j )(j )(1)K T sGHs Ts试分析时间常数试分析时间常数 和和 的相对大小对系统的稳定性的相对大小对系统的稳定性的影响，并画出它们所对应的乃氏图。的影响，并画出它们所对应的乃氏图。1T2T1221222arctanarctan180)( )(1)(1)()(TTTTKjHjG (a) T1T2 对数频率稳定判据对数频率稳定判据 对数频率稳定判据是一种利用开环系统的伯德图来判别系统稳定性的方法。 奈氏图和伯德图之间存在如下对应关系: 1)()(jHjG伯德图对数幅频特性

23、的0分贝线，即奈氏图的单位圆0)(L奈氏图的负实轴伯德图上 线o180)( 伯德图上,()从180线以下增加到180线以上, 称为()对180线的正穿越; 反之, 称为负穿越。 对数频率稳定判据可表述如下: 闭环系统稳定的充要条件是，当由0变到时, 在开环对数幅频特性L()0的频段内, 相频特性()穿越180线的次数(正穿越与负穿越次数之差)为P/2。其中，P为s平面右半部开环极点数目。注意：奈氏判据中, 是由变到，所以伯德图中由0变到时, 穿越次数为P/2, 而不是P。 对于开环稳定的系统, 此时，P=0，若在L()0的频段内， 相频特性()穿越-180线的次数(正穿越与负穿越之差)为0，则

24、闭环系统稳定; 否则闭环系统不稳定。例例 系统开环传递函数为系统开环传递函数为 ) 1()()(TSsKsHsG试用对数稳定判据判断其稳定性。试用对数稳定判据判断其稳定性。L()/dB20dB/dec20 lgK1/ T40dB/dec0()/()090 180 此系统的开环传递函数在s平面右半部没有极点,即P=0, 而在L()0的频段内, 相频特性()不穿越180线, 故闭环系统必然稳定。 乃氏判据应用于滞后系统乃氏判据应用于滞后系统 由于滞后系统的开环传递函数中有着由于滞后系统的开环传递函数中有着 的因的因子，其闭环特征方程为一超越方程，因而劳斯判据子，其闭环特征方程为一超越方程，因而劳斯

25、判据就不能适用。但是，乃氏稳定判据却能较方便地用就不能适用。但是，乃氏稳定判据却能较方便地用于对这类系统稳定性的判别。于对这类系统稳定性的判别。es解：解：系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为1e( )( )e(1)ssG sG ss s例例5-11 设一滞后控制系统如图所示。已知图中设一滞后控制系统如图所示。已知图中的的 ，试分析滞后时间，试分析滞后时间 对系统稳定对系统稳定性的影响。性的影响。)1(/1)(1sssG 图示出了在不同图示出了在不同 值时的乃氏曲线。由图可见，值时的乃氏曲线。由图可见，式中式中 的作用是将的作用是将 曲线上的每一点以顺时针曲线上的每一点以顺时针方向旋转了方

26、向旋转了 角度。当滞后时间角度。当滞后时间 大到某一值后，大到某一值后，系统就从稳定变为不稳定了。系统就从稳定变为不稳定了。es1(j )G11( )e0sG s1e(1)ss s j11(j )ej (j1)G 1(j )1G 系统出现等幅的持续振荡。系统出现等幅的持续振荡。在没有滞后因子时系统产生在没有滞后因子时系统产生等幅持续振荡的条件是等幅持续振荡的条件是具有滞后因子的系统，其临界稳定状态不是一个点，具有滞后因子的系统，其临界稳定状态不是一个点，而是一条临界轨线而是一条临界轨线 。把。把 和和 的乃氏图同的乃氏图同时画在图中，设这两条曲线交于时画在图中，设这两条曲线交于A点。根据点。根

27、据 的条件，求出的条件，求出 曲线上对应的角频率曲线上对应的角频率 ，而在而在 曲线上对应的曲线上对应的 。因为点。因为点A既在既在 曲线上，又在曲线上，又在 曲线上，所以它们应有曲线上，所以它们应有相同的角频率，即有相同的角频率，即有 于是求得于是求得1(j )Gje1(j )1G1(j )G10.75sje52 (180 )0.91(j )Gje9 . 075. 01.2s由图可知，当由图可知，当 时，在单时，在单位圆上的临界点就被位圆上的临界点就被 曲曲线包围，系统为不稳定。线包围，系统为不稳定。当当 ,曲线曲线 不包括不包括临界点，对应的系统是稳定的。临界点，对应的系统是稳定的。1.2s1(j )G1.2s1(j )Gje K1K000 NNN10212 NPZ2K21021 NNN021212 NPZ3K21121 NNN2)21(212 NPZ)1T)(1T)(1T()(321 sssKsG 180)0(KjG 2700)( jG( (不稳定不稳定) )( (稳定稳定) )( (不稳定不稳定) )例例 已知单位反馈系统开环传递函数已知单位反馈系统开环传递函数, ,分析系统稳定性分析系统稳定性。