第5章频率响应法课件.ppt

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1、 WORDS AND PHRASES 频率响应频率响应 frequency responsefrequency response 振幅振幅 magnitudemagnitude 相位相位 phase anglephase angle分析控制系统分析控制系统(经典控制理论经典控制理论)时域法时域法(劳斯判据劳斯判据)根轨迹法根轨迹法频域法频域法(Nyquist判据判据) 系统对正弦输入信号的稳态响应，系统对正弦输入信号的稳态响应，称为频率响应称为频率响应(frequency response)。 频率响应法具有以下特点：频率响应法具有以下特点： (1) (1) 频率特性具有明确的意义。对于一阶和

2、二频率特性具有明确的意义。对于一阶和二阶系统，频率性能指标和时域性能指标有确定的对阶系统，频率性能指标和时域性能指标有确定的对应关系；对于高阶系统，可建立近似的对应关系。应关系；对于高阶系统，可建立近似的对应关系。 (2) (2) 控制系统及其元部件的频率特性可以运用控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法和实验方法获得，并可用多种形式的曲线表分析法和实验方法获得，并可用多种形式的曲线表示，因而系统分析和控制器设计可以应用图解法进示，因而系统分析和控制器设计可以应用图解法进行。行。 (3) 控制系统的频率设计可以兼顾动态响应控制系统的频率设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。和噪声抑制

3、两方面的要求。 (4) 频率响应法不仅适用于线性定常系统，频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。后系统和部分非线性系统的分析。本章重点内容：本章重点内容： 系统的频率特性系统的频率特性 开环系统的典型环节分解和开环频率开环系统的典型环节分解和开环频率 特性曲线的绘制特性曲线的绘制 频率域的稳定判据频率域的稳定判据 稳定裕度及闭环系统的频域性能指标稳定裕度及闭环系统的频域性能指标5.1 频频 率率 特特 性性 5.1.1 5.1.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 频率特性是系统频率特性是系统

4、( (或元件或元件) )对不同频率正对不同频率正弦输入弦输入(sinusoidal input)(sinusoidal input)信号的响应特性。信号的响应特性。 设线性系统的输入为一频率为设线性系统的输入为一频率为 的正的正弦信号，在稳态时，系统的输出具有和输入弦信号，在稳态时，系统的输出具有和输入同频率的正弦函数，但是可能具有不同的振同频率的正弦函数，但是可能具有不同的振幅幅(magnitude)(magnitude)和相位和相位(phase angle)(phase angle)，且随，且随着输入信号频率的变化而变化。着输入信号频率的变化而变化。 图5-1 频率响应示意图 设系统输入信

5、号表示为设系统输入信号表示为 ，其拉氏变换其拉氏变换 ，A A为常量。输出为常量。输出信号用信号用 表示。又设线性系统的传递函表示。又设线性系统的传递函数可以写成两个数可以写成两个s s的多项式之比，即的多项式之比，即22)(sAsR)(tc)()()()()()()()(21npspspssUsVsUsRsCsG则系统的输出为则系统的输出为2212( )( )( )( )()()() (j )(j )nU sAC sV s sU sAspspspss( (5-15-1) ) tXtrsin)( 式中，式中， 为为 的极点。对的极点。对于稳定系统，这些极点都位于于稳定系统，这些极点都位于s s

6、平面的左方，平面的左方，即它们的实部即它们的实部 均为负值。为简单起均为负值。为简单起见，令见，令 的极点均为相异的实数极点，的极点均为相异的实数极点，则式则式(5-1)(5-1)改写为改写为12,nppp)(sGReip)(sG1( )jjniiibaac ssssp其中其中 和和 均为待定系数。均为待定系数。对上式取拉氏反变换对上式取拉氏反变换( (假设初始条件为假设初始条件为零零) )，求得，求得(1,2,)inaa、jj1( )eee(0)inp tttiic taabt( (5-35-3) ) ( (5-25-2) ) 当当 时，系统响应的瞬态分量时，系统响应的瞬态分量 趋向于零，其

7、稳态分量为趋向于零，其稳态分量为 其中，系数其中，系数 由下列两式确定由下列两式确定t1einp tiibjj( )eettc taa( (5-45-4) ) j22( )(j )( j )2jsAAaG ssGsj22( )(j )(j )2jsAAaG ssGs( (5-55-5) ) ( (5-65-6) ) 由于由于 是一个复数向量，因而可表示为是一个复数向量，因而可表示为(j )Gaa和 其中其中 ， 。基。基于于 、 是是 的偶函数，的偶函数， 、 是是的奇函数，因而的奇函数，因而 与与 互为共轭互为共轭复数。这样复数。这样 可改写为可改写为j()(j)()j()(j)GpQGe

8、( (5-75-7) ) 22(j )( )( )GPQ( )( )arctan( )QP )(P(j )G)(Q)( j )G(j )G( j )Gj()(j)( j)GGe ( (5-85-8) ) ( (5-95-9) ) 把式把式(5-5)(5-8)(5-5)(5-8)代入式代入式(5-4)(5-4)，求得，求得( )(j ) sin()c tA Gt 在此基础上得出下列在此基础上得出下列重要结论：重要结论： (1) (1) 对于正弦输入，稳态输出是和输入具对于正弦输入，稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号；有相同频率的正弦信号； (2) (2) 频率响应函数频率响应函数 是把传递函

9、数是把传递函数 中的中的s s用用 代替，其幅值等于输出与输入代替，其幅值等于输出与输入的幅值比；的幅值比； (3) (3) 的相位角的相位角 是输出相对于输入的相是输出相对于输入的相位角。位角。 (j )G)(sGj(j )G频率特性是另一种形态的数学模型频率特性是另一种形态的数学模型频率特性、传递函数与微分方程之间的关系频率特性、传递函数与微分方程之间的关系频率特性频率特性传递函数传递函数微分方程微分方程j=pS =js =p系统系统由传递函数确定系统的频率特性由传递函数确定系统的频率特性 频率特性除了由实验的方法直接求得外，频率特性除了由实验的方法直接求得外，也可以由传递函数的零、极点来

10、求取。也可以由传递函数的零、极点来求取。 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为mnpspspszszszsKsGnm)()()()()(2121对应的频率特性为对应的频率特性为1212(j)(j)(j)(j )(j)(j)(j)mnKzzzGnmppp( (5-115-11) ) ( (5-125-12) ) 设在设在s平面的虚轴上任取一点平面的虚轴上任取一点 ，把该点，把该点与与 的所有零、极点连接成向量，如图的所有零、极点连接成向量，如图5-2所示。这些向量分别以极坐标的形式表所示。这些向量分别以极坐标的形式表示如下示如下1j)(sGj1j1je,1 2,je,1, 2,iliil

11、lzimpln，则式则式(5-12)(5-12)就改写为就改写为11()111(j)emnililmijinllKG( (5-135-13) ) 图5-2 在复平面上确定频率响应 由上式得由上式得111(j)miinllKG111()mnilil 把由图把由图5-2中量得的各向量的模中量得的各向量的模 、 和相和相角角 、 分别代入式分别代入式(5-14)和式和式(5-15)，就能求，就能求得对应于得对应于 的的 和和 。同理，可求得对同理，可求得对应于应于 的的 和和 。如此继续下去，就能如此继续下去，就能得到一系列幅值和相位与频率得到一系列幅值和相位与频率 的关系，据此的关系，据此画出画出

12、系统的幅频和相频特性。系统的幅频和相频特性。ilil11(j)G)(12)(2jG)(2( (5-145-14) ) ( (5-155-15) ) 例例5-15-1 图图5-35-3所示为所示为RCRC滤波电路，试绘制滤波电路，试绘制其幅频和相频特性曲线。其幅频和相频特性曲线。解：图解：图5-3所示电路的传递函数为所示电路的传递函数为图5-3 RC电路 RCssGsEsE11)()(12( (5-165-16) ) 取取 ，则有，则有jsj11(j )(j )1j1jGGeRCT式中，式中， RCT 221(j )( )arctan1GTT ；(j )G)( 给出不同的频率给出不同的频率 值，

13、就可求得对应值，就可求得对应的一组的一组 和和 值。据此，绘制图值。据此，绘制图5-4所所示的幅频和相频特性曲线。示的幅频和相频特性曲线。 (a) 幅频特性 (b) 相频特性 5.2 对数坐标图对数坐标图 频率特性可用图形形象地表示，这是频率特性可用图形形象地表示，这是它的一个很重要的特点。它的一个很重要的特点。 表示频率特性的图形有三种：对数坐表示频率特性的图形有三种：对数坐标图、极坐标图标图、极坐标图(polar plot)和对数幅和对数幅相图。相图。对数频率特性曲线对数频率特性曲线 它又称为伯德曲线或伯德图。它又称为伯德曲线或伯德图。 对数频率特性曲线由对数幅频曲线和对数对数频率特性曲线

14、由对数幅频曲线和对数相频曲线两张图组成，是工程中广泛使用相频曲线两张图组成，是工程中广泛使用的一组曲线。的一组曲线。对数幅频曲线对数幅频曲线对数相频曲线对数相频曲线横坐标按横坐标按lglg分度，单位为分度，单位为弧度弧度/ /秒（秒（rad/srad/s），纵坐标），纵坐标是将幅频是将幅频A()A()取常用对数取常用对数并乘以并乘以2020，作为纵坐标，用，作为纵坐标，用L() L() 线性分度，单位是分线性分度，单位是分贝贝(dB)(dB)。 对数相频曲线的纵坐标按对数相频曲线的纵坐标按()()线性分度，单位为度线性分度，单位为度( (),),横坐标按横坐标按lglg分度，单分度，单位为弧度

15、位为弧度/ /秒（秒（rad/srad/s） ( )20lg( )LA RCRC电路中的对数频率特性曲线电路中的对数频率特性曲线对数对数幅频幅频对数对数相频相频 这里这里需要注意的是，需要注意的是，在坐标原点处的在坐标原点处的 值值不得为零，而是为一个非零的正值。至于不得为零，而是为一个非零的正值。至于它取何值，应视所要表示实际的频率范围它取何值，应视所要表示实际的频率范围而定。而定。 在以在以 分度的横坐标上，分度的横坐标上，1到到10的距离等的距离等于于10到到100的距离，这个距离表示十倍频程，的距离，这个距离表示十倍频程，用符号用符号dec表示。表示。lg 用伯德图表示的频率特性的用伯

16、德图表示的频率特性的主要优点主要优点在于在于它可以把幅频特性的它可以把幅频特性的乘除运算转换为加减乘除运算转换为加减运算运算。此外，它提供的绘制近似对数幅值。此外，它提供的绘制近似对数幅值曲线的简便方法，是建立在渐近近似的基曲线的简便方法，是建立在渐近近似的基础之上的。础之上的。 如果只需要知道频率响应特性的粗略信息，如果只需要知道频率响应特性的粗略信息，那么以这种近似直线进行近似的方法是可那么以这种近似直线进行近似的方法是可以满足要求的。以满足要求的。 如果需要精确曲线，则可以容易地对这些如果需要精确曲线，则可以容易地对这些基本的渐近直线进行修正。因为在实际系基本的渐近直线进行修正。因为在实

17、际系统中，低频特性最为重要，所以对频率采统中，低频特性最为重要，所以对频率采用对数尺度，以扩展低频范围是很有利的。用对数尺度，以扩展低频范围是很有利的。虽然由于对频率采用对数尺度，使得曲线虽然由于对频率采用对数尺度，使得曲线不能画到零频处，但这不会造成严重问题。不能画到零频处，但这不会造成严重问题。5.2.1 典型因子的伯德图典型因子的伯德图 如上所述，采用对数坐标图的主要优点是如上所述，采用对数坐标图的主要优点是绘制频率响应曲线比较容易。在一个任意的传绘制频率响应曲线比较容易。在一个任意的传递函数递函数 中，最常出现的基本因子是：中，最常出现的基本因子是： (1) (1) 比例比例(gain

18、)(gain)因子因子K K； (2) (2) 一阶因子一阶因子(simple lag or simple (simple lag or simple lead) lead) ； (3) (3) 积分积分(integrators)(integrators)和微分因子和微分因子(differentiators)(differentiators) ；1(1j)T1(j )(j )(j )GH (4) (4) 二阶因子二阶因子(quadratic lag or (quadratic lag or quadratic lead)quadratic lead) ； (5) (5) 滞后因子滞后因子(de

19、lay) (delay) 由于增益的对数相加等于它们相乘，所以由于增益的对数相加等于它们相乘，所以当我们熟悉了基本因子的对数坐标图以后，当我们熟悉了基本因子的对数坐标图以后，就可以利用它们通过画出每一个因子的对就可以利用它们通过画出每一个因子的对应曲线，并对各个单独曲线逐一地图解相应曲线，并对各个单独曲线逐一地图解相加，从而获得任何一般形式的传递函数加，从而获得任何一般形式的传递函数 的合成对数坐标图。的合成对数坐标图。1212j(j)nnTT(j )(j )GHje sseekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(ek

20、kdjjcllbiiTTabK1211210011nominal element(nominal element(典型环节典型环节) ) 1. 1. 比例因子比例因子K K K的对数幅频特性是一高度为的对数幅频特性是一高度为 的的水平线，它的相角为水平线，它的相角为0。 改变开环频率特性表达式中改变开环频率特性表达式中K的大小，会使的大小，会使开环对数幅频特性升高或降低一个常量，开环对数幅频特性升高或降低一个常量，但不影响相角的大小。但不影响相角的大小。 显然，在以显然，在以dB为单位表示时，数与它的倒为单位表示时，数与它的倒数之间只差一个符号，即数之间只差一个符号，即KK1lg20lg20(

21、 (5-175-17) ) 20lgdBK图5-5 比例因子的伯德图 2. 2. 一阶因子一阶因子 一阶因子一阶因子 的对数幅频和相频表达的对数幅频和相频表达式分别为式分别为1(1j)T211lg20)(L1arctan)( (5-185-18) ) ( (5-195-19) ) 其中其中 T11当当 时，略去式时，略去式(5-18)中的中的 项，则项，则得得L()20lg1dB=0dB121)(1(1j)T 这表示这表示L()的低频的低频(low frequency) 渐近线渐近线为为0dB的一条水平线。的一条水平线。 当当 时，略去式时，略去式(5-18)中的中的1，则得，则得1lg20)

22、(L 上式表示上式表示L()高频高频(high frequency)部分部分的渐近线是一条斜率为的渐近线是一条斜率为20dB/dec的直线，当的直线，当输入信号的频率每增加十倍频程时，对应输出输入信号的频率每增加十倍频程时，对应输出信号的幅值便下降信号的幅值便下降20dB。1图5-6 的对数幅频曲线、渐近线和相频曲线1(1j)T 不难看出，两条渐近线相交点的频不难看出，两条渐近线相交点的频率率 ，这个频率称为转折频率，这个频率称为转折频率(breakfrequency)，又名转角频率，又名转角频率(corner frequency)。T11 如果如果 因子的对数幅频特性能用其两因子的对数幅频特

23、性能用其两条渐近线近似表示，则使作图大为简化。问条渐近线近似表示，则使作图大为简化。问题是，这种近似表示所产生的误差有多大？题是，这种近似表示所产生的误差有多大？这是人们所关注的。这是人们所关注的。T111(1j)T20lg 1 120lg13.03dB 由图由图5-6可见，最大的幅值误差产生在可见，最大的幅值误差产生在转折频率转折频率 处，它近似等于处，它近似等于3dB。这是。这是因为因为又如在又如在 处，其误差为处，其误差为 T21120lg 120lg10.97dB4 在高于转折频率在高于转折频率 的一倍频程处即的一倍频程处即 ，其误差为其误差为1T2220lg 1220lg20.97d

24、B 用同样的方法，可计算其他频率点上用同样的方法，可计算其他频率点上的幅值误差。图的幅值误差。图5-7为为 因子精确的因子精确的对数幅频曲线与其渐近线在不同对数幅频曲线与其渐近线在不同 值时的值时的误差曲线。误差曲线。1(1j)T图5-7 1(1j)T对数幅值误差与频率的关系 图图5-6所示的对数幅频特性表明该因子具有所示的对数幅频特性表明该因子具有低通滤波器的特征。低通滤波器的特征。 如果系统的输入信号中含有多种频率的谐如果系统的输入信号中含有多种频率的谐波分量，那么在稳态时，系统的输出只能波分量，那么在稳态时，系统的输出只能复现输入信号中的低频分量，其他高频分复现输入信号中的低频分量，其他

25、高频分量的幅值将受到不同程度的衰减，频率越量的幅值将受到不同程度的衰减，频率越高的信号，其幅值的衰减量也越大。高的信号，其幅值的衰减量也越大。 由于由于 与与 互为倒数，因而它互为倒数，因而它们的对数幅频和相频特性只相差一个符们的对数幅频和相频特性只相差一个符号，即有号，即有1(1j)T120lg 1j20lg1jTT 1arg(1j)arg()1jTT (1j)T因子的对数幅频和相频曲线如图因子的对数幅频和相频曲线如图5-8所示。所示。图5-8 的伯德图1j T1(1j)T3. 积分、微分因子积分、微分因子 的对数幅频和相频特性的表达式分别的对数幅频和相频特性的表达式分别为为1(j )1/

26、j90)(lg20)(L由由于于20lg1020dB20lg 因而因而 是一条斜率为是一条斜率为 的直线。的直线。lg2020dB/dec同理，同理， 的对数幅值表达式为的对数幅值表达式为jlg20)(L( (5-205-20) ) 显然，它是一条斜率为显然，它是一条斜率为 的直的直线。线。 因子的相角恒为因子的相角恒为90。图。图5-9(a)和和(b)分别为分别为 和和 的对数幅频和相频曲线。的对数幅频和相频曲线。20/dB dec1/ jjj (a) (j)-1的伯德图 (b) j的伯德图 图5-9 (j)-1和j的伯德图 由图由图5-9可见，可见， 和和 伯德图的差异是两伯德图的差异是两

27、者幅频特性的斜率和相角都相差一个符者幅频特性的斜率和相角都相差一个符号。在号。在 时它们的对数幅值都为时它们的对数幅值都为0dB。 如果传递函数中含有如果传递函数中含有 的因子，则它的因子，则它的对数幅频表达式分别为的对数幅频表达式分别为1/ jj1vjK)/( )20lg20 lg20lg(j )KLK 90)( (5-215-21) ) 式式(5-21)所示的是一簇斜率为所示的是一簇斜率为 的直线，的直线，且在且在 处，处， ，如图，如图5-10所示。由式所示。由式(5-21)求得，这些不同斜率的直线通过求得，这些不同斜率的直线通过0dB直线直线的频率为的频率为 。图。图5-10示出了示出

28、了 和和3 时时的对数幅频特性曲线，其中的对数幅频特性曲线，其中K=1 000。20lg dB/decv1KLlg20)(vK/1)(2, 1, 0v图图5-10 K/(j)的对数幅频特性曲线的对数幅频特性曲线4. 二阶因子二阶因子 控制系统常常具有下列二阶因子的形式控制系统常常具有下列二阶因子的形式1212j(j)nnTT221(j )1j2nnG 其中其中 。如果。如果 ，那么该二阶因子可以用，那么该二阶因子可以用两个具有实数极点的一阶因子的乘积表示。两个具有实数极点的一阶因子的乘积表示。nnT11( (5-225-22) ) 如果如果 ，则该二阶因子可以用两个共，则该二阶因子可以用两个共

29、轭复数因子的乘积表示。对于阻尼比轭复数因子的乘积表示。对于阻尼比 比较小的二阶因子，其频率响应曲线的比较小的二阶因子，其频率响应曲线的渐近线近似表示是不精确的。这是因为渐近线近似表示是不精确的。这是因为二阶因子的幅值和相角不仅与转角频率二阶因子的幅值和相角不仅与转角频率有关，还于阻尼比有关，还于阻尼比 有关。有关。 10 它的对数幅频特性为它的对数幅频特性为2222)2()1 (lg20)(nnL在低频时，即在低频时，即 1n时，其对数幅值为时，其对数幅值为( )20lg10dBL 因此，低频渐近线为一条因此，低频渐近线为一条0dB的水平线。的水平线。在高频时，即在高频时，即1n时，其对数幅值

30、为时，其对数幅值为nnLlg40)lg(20)(2( (5-235-23) ) ( (5-245-24) ) 因为因为所以高频渐近线的方程是一条斜率为所以高频渐近线的方程是一条斜率为40dB/dec的的直线。直线。因为在因为在 时时nnnlg404010lg40n40lg40lg10dBn 所以高频渐近线与低频渐近线在所以高频渐近线与低频渐近线在 处相处相交。这个频率交。这个频率 就是上述二阶因子的转折就是上述二阶因子的转折频率。频率。n 上面导出的两条渐近线都是与上面导出的两条渐近线都是与 值无关的。值无关的。然而当频率然而当频率 接近接近 时，正如从方程时，正如从方程(5-23)可以预料到

31、的，将会产生谐振峰值。阻可以预料到的，将会产生谐振峰值。阻尼比尼比 确定了谐振峰值的大小。显然，确定了谐振峰值的大小。显然，当用渐近直线来近似表示时，必然产生误当用渐近直线来近似表示时，必然产生误差。误差的大小与差。误差的大小与 值有关。图值有关。图5-11给出给出了不同了不同 值时精确的对数幅频曲线及其渐值时精确的对数幅频曲线及其渐近线。近线。n图5-11 由式(5-23)给出的对数幅频曲线、渐近性和相频曲线 它们之间的误差曲线如图它们之间的误差曲线如图5-12所示。所示。由图可见，由图可见， 值越小，对数幅频值越小，对数幅频曲线的峰值就越大，它们渐近线之曲线的峰值就越大，它们渐近线之间的误

32、差也就越大。间的误差也就越大。 下面分析式下面分析式(5-23)在什么条件下，其幅值会在什么条件下，其幅值会有峰值出现，这个峰值和相应的频率应如有峰值出现，这个峰值和相应的频率应如何计算。何计算。 式式(5-23)的幅频表达式为的幅频表达式为22221(j )(1)(2)nnG令 2222)2()1 ()(nng( (5-255-25) ) ( (5-265-26) ) 如果如果 在某一频率上具有峰值时，则该在某一频率上具有峰值时，则该频率称为频率称为谐振频率谐振频率。因为。因为 的分子为常的分子为常数，所以当数，所以当 达到最小值时，达到最小值时， 将达将达到峰值。由式到峰值。由式(5-26

33、)可以写成下式：可以写成下式：(j )G(j )G)(g(j )G2222222(12)( )4(1)nng 所以所以 的最小值发生在的最小值发生在 处。因此，谐振频率为处。因此，谐振频率为)(g21 2n212rn707. 00( (5-275-27) ) ( (5-285-28) ) 当阻尼比当阻尼比 趋近于零时，谐振频率趋近趋近于零时，谐振频率趋近于于 。当当 时，谐振频率时，谐振频率 小小于阻尼自然频率于阻尼自然频率 ，阻尼自然频率，阻尼自然频率在瞬态响应中才呈现出来。在瞬态响应中才呈现出来。由式由式(5-28)可以可以看出，当看出，当 时，不产生谐振峰值。时，不产生谐振峰值。 幅值幅

34、值 随着频率随着频率 的增大而单调减小。的增大而单调减小。对于所有对于所有 时的频率时的频率 ，幅值总小于，幅值总小于0dB。当当 时，阶跃响应是振荡的，时，阶跃响应是振荡的，但是这种振荡具有良好的阻尼特性，并且但是这种振荡具有良好的阻尼特性，并且很难觉察出来。很难觉察出来。n00.707r21nd707. 0(j )G017 . 0 谐振峰值的幅值谐振峰值的幅值M可以通过式可以通过式(5-28)代代入式入式(5-25)求得。求得。707. 00当当 时时 ，有，有2100.70721rM， 当当 时，则有时，则有707. 01rM当当 趋近于零时，趋近于零时，M趋近于无穷大。趋近于无穷大。M

35、与与 间的关系曲线如图间的关系曲线如图5-13所示。所示。图5-13 Mr与间的关系曲线( (5-305-30) ) 二阶因子的相频特性表达式为二阶因子的相频特性表达式为 相角相角是是和和的函数。当的函数。当=0时，相角等于时，相角等于0；而；而=n时，不管时，不管值的大小相角总是等于值的大小相角总是等于90。当。当时，相角等于时，相角等于180。 由于因子由于因子 与上述震荡环节的与上述震荡环节的频率特性互为倒数关系，因而它们的对数幅值和频率特性互为倒数关系，因而它们的对数幅值和相角与上述的震荡环节都只差一个符号。相角与上述的震荡环节都只差一个符号。222/( )arctan1nn 212(

36、j)nnj( (5-315-31) ) 5. 滞后因子滞后因子je 滞后因子的幅频和相频表达式分别为滞后因子的幅频和相频表达式分别为j(j )e1G )( 由此可知，它的对数幅频特性为一条由此可知，它的对数幅频特性为一条0dB的水平线；其相角的水平线；其相角与频率与频率呈线性关呈线性关系。图系。图5-14为滞后因子的相频特性曲线。为滞后因子的相频特性曲线。( (5-325-32) ) ( (5-335-33) ) 图5-14 滞后因子的相频特性 G(s)=10.5s+1100 G(s)=s+5100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100惯性环节惯性环节L()-20-202

37、6dB0o- 30o- 45o- 60o- 90o G(s)= 0.5s+10.3 G(s)=(0.25s+0.1)L()dB100.2210.10dB2040-40-2020100一阶微分环节一阶微分环节L()0o+30o+ 45o+ 60o+ 90o+20+20积分环节积分环节L() G(s)=1s G(s)=10s1 G(s)=5s100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100-20-20-20 G(s)=s G(s)=2s G(s)=0.1s100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100+20+20+20纯微分纯微分环节环节L()振荡环节振荡环节

38、L()100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100422 . 0242)(2222sssssGnnndB14. 8121lg20Alg202m 92. 1212nr -40振荡环节振荡环节G(j)再再分析分析1Ts2sT1s2s) s (G222nn22n 22222222T1T2arctgT4)T1(1)j (G (01)o01)0 j (G o1800)j (G oT1n9021)j(G)j(G 得得令令,0d)(dA 2nr21 2mr121A)(A (00时式(5-38)的乃氏图图5-22 确定谐振峰值和频率的乃氏图振荡环节振荡环节G(j)曲线曲线（Nyquist

39、曲线曲线）0j1 21)(An2r121)(A 由上一节的讨论可知，当由上一节的讨论可知，当 时，振荡环节时，振荡环节不产生谐振，不产生谐振， 向量的长度将随着向量的长度将随着 的增加而的增加而单调地减小。当单调地减小。当 时时 有两个相异的实数有两个相异的实数极点。如果极点。如果 值足够大，则其中一个极点靠近值足够大，则其中一个极点靠近s平面的坐标原点，另一个极点远离虚轴。显然，平面的坐标原点，另一个极点远离虚轴。显然，远离虚轴的这个极点对瞬态响应的影响很小，此远离虚轴的这个极点对瞬态响应的影响很小，此时式时式(5-38)的特性与一阶惯性环节相类似，它的的特性与一阶惯性环节相类似，它的乃氏图

40、近似于一个半圆。乃氏图近似于一个半圆。 二阶微分因子的频率特性为二阶微分因子的频率特性为21(j )G1)(sG2222j ( )2(j ) 1 j2(j)(1)(2) ennnnG ( (5-395-39) ) 式中2212arctan)(nn图图5-23为二阶微分因子的乃氏图。为二阶微分因子的乃氏图。5. 滞后因子滞后因子滞后因子的频率特性为滞后因子的频率特性为 由于滞后因子的幅频值恒为由于滞后因子的幅频值恒为1，其中相位，其中相位与与 成比例变化，因而它的乃氏图是一个单位成比例变化，因而它的乃氏图是一个单位圆，如图圆，如图5-24所示。在低频区，滞后因子所示。在低频区，滞后因子 和惯性环

41、节和惯性环节 的频率特性很接近，如图的频率特性很接近，如图5-25所示。因为所示。因为j(j )eGje1(1j)Tjj211e1e1j(j)2! 当当 时，上式可近似为时，上式可近似为1 这就是当这就是当 时，滞后因子通常近似时，滞后因子通常近似地用惯性环节表示的理由。地用惯性环节表示的理由。j1e1j1( (5-405-40) ) 图5-24 的乃氏图 图5-25 和(1+jT1)-1的乃氏图 jeje5.3.2 极坐标图的一般形状极坐标图的一般形状 假设开环传递函数的形式为：假设开环传递函数的形式为：12(1j)(1j)(j )(j ) (1j)(1j)abKTTGTT101101(j

42、)(j )(j )(j )mmnnbbaa 式中式中 ，即分母多项式的阶次大于分子多项，即分母多项式的阶次大于分子多项式的阶次，这类传递函数的极坐标图的一般形状有式的阶次，这类传递函数的极坐标图的一般形状有以下几种。以下几种。(1) ，即，即0型系统型系统(type 0 system)：极坐标图：极坐标图的起点的起点(对应于对应于 )是一个位于正实轴上的有限值。是一个位于正实轴上的有限值。在在 处与极坐标图曲线相切的切线，是一条垂直处与极坐标图曲线相切的切线，是一条垂直于实轴的垂线。对于于实轴的垂线。对于 的极坐标图曲线的终点的极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且在这点上曲线与一个坐标轴相位于

43、坐标原点，并且在这点上曲线与一个坐标轴相切。切。mn 000 (2) ，即，即型系统型系统(type 1 system)：当：当 时，在时，在 的总相角中，的总相角中，90的相角是分母中的的相角是分母中的 产生的。当产生的。当 时，时， 的幅值为无穷大，相的幅值为无穷大，相角变为角变为90。在低频时，极坐标图是一条渐近于。在低频时，极坐标图是一条渐近于平行于负虚轴的直线的线段。当平行于负虚轴的直线的线段。当 时，幅时，幅值为零，且曲线收敛于原点并与一个坐标轴相切。值为零，且曲线收敛于原点并与一个坐标轴相切。10j(j )G0(j )G (3) ，即，即型系统：当型系统：当 时，时， 的总相角中

44、，的总相角中，180的相角是分母中的的相角是分母中的 产生的。当产生的。当 时，时， 的幅值为无穷大，的幅值为无穷大，相角等于相角等于180。在低频时，极坐标图是一条。在低频时，极坐标图是一条渐近线，它趋近于一条平行于负实轴的直线。当渐近线，它趋近于一条平行于负实轴的直线。当 时，幅值为零，且曲线与一条坐标轴相切。时，幅值为零，且曲线与一条坐标轴相切。20(j )G02( j)j 0型、型、型和型和型系统极坐标图低频部分的型系统极坐标图低频部分的一般形状如图一般形状如图5-26所示。可以看出，如果所示。可以看出，如果 的分母多项式阶次高于分子多项式阶次，那的分母多项式阶次高于分子多项式阶次，那

45、么么 的轨迹将沿着顺时针方向收敛于原点。的轨迹将沿着顺时针方向收敛于原点。当当 时，时， 轨迹将与实轴或虚轴相切，轨迹将与实轴或虚轴相切，如果如果5-27所示。所示。(j )G(j )G(j )G图5-26 0型、型和型系统的乃氏图 图5-27 高频段的乃氏图 例例5-3 已知已知0型二阶系统和型二阶系统和型二型二阶系统的开环传递函数分别为阶系统的开环传递函数分别为)1 (10)()1)(1 . 01 (10)(10sssGsssG试绘制它们对应的乃氏图。试绘制它们对应的乃氏图。 解：解：1) 0型系统的频率特性为型系统的频率特性为j ( )221010( )e(1 0.1j )(1 j )1

46、 (0.1 )1G s 式中式中arctan1.0arctan)(由上述两式，计算不同由上述两式，计算不同 值时的值时的 和和 ，画出图画出图5-28所示的乃氏图。所示的乃氏图。(j )G)( 图5-28 0型二阶系统的乃氏图2)型系统的频率特征为型系统的频率特征为 其中j ()21010(j )ej (1j )1G ( )90arctan 把上式改写为把上式改写为2222310j1010(j )jjj1G由式由式(5-41)可知，当可知，当 时，时， 即即 。 当当 时，时， 。由此画出图。由此画出图5-29所示乃氏图。所示乃氏图。 0(j0 )10jG (j0 )90G (j )0180G

47、 ( (5-415-41) ) 例例5-4 设设型系统的开环传递函数为型系统的开环传递函数为 ，试绘制其乃氏图。试绘制其乃氏图。)1 (10)(2sssG解：该解：该型系统的开环频率特性为型系统的开环频率特性为j ()2221010( )e(j ) (1j )1G s 式中式中( )180arctan 据此画出图据此画出图5-30所示的乃氏图。所示的乃氏图。图5-29 I型二阶系统的乃氏图 图5-30 例5-4的乃氏图 WORDS AND PHRASES 乃奎斯特曲线乃奎斯特曲线 nyquist diagram 0型系统型系统 type 0 system 型系统型系统 type 1 syste

48、m 型系统型系统 type 2 system5.4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据(nyquist stability criterion)可以根据开环频率特性图判断闭可以根据开环频率特性图判断闭环系统的稳定性。因为闭环系统的绝对稳环系统的稳定性。因为闭环系统的绝对稳定性可以由开环频率响应曲线图解确定，定性可以由开环频率响应曲线图解确定，无须实际求出闭环极点，所以这种判据在无须实际求出闭环极点，所以这种判据在控制工程中得到了广泛的应用。控制工程中得到了广泛的应用。 由解析或实验的方法得到的开环频率响应曲线，由解析或实验的方法得到的开环频率响应曲线，可以用来进

49、行稳定性分析。因为在控制系统设计可以用来进行稳定性分析。因为在控制系统设计中，一些元件的数学表达式往往是未知的，仅仅中，一些元件的数学表达式往往是未知的，仅仅知道它们的频率响应数据，所以采用这种稳定性知道它们的频率响应数据，所以采用这种稳定性分析方法比较方便。对于不稳定的系统，这种判分析方法比较方便。对于不稳定的系统，这种判据还能提示人们改善系统稳定性的方法。据还能提示人们改善系统稳定性的方法。 乃奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数理论中乃奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数理论中的辐角原理的辐角原理(principle of the argument)。5.4.1 辐角原理辐角原理(princ

50、iple of the argument) 设复变函数设复变函数)()()()()(21211nnpspspszszszsksF 式中式中 ；由复变函数的理论知道，；由复变函数的理论知道， 除了在除了在s平面平面上的有有限个奇点外，它总是解析的，即为单值、连续的正则函上的有有限个奇点外，它总是解析的，即为单值、连续的正则函数。因而对于数。因而对于s平面上的每一点，在平面上的每一点，在 平面上必有唯一的一个平面上必有唯一的一个映射点与之相对应。同理，对映射点与之相对应。同理，对s平面上任意一条不通过平面上任意一条不通过 的极点的极点和零点的闭合曲线和零点的闭合曲线(closed curve) ，