实二次型的分类与应用教学课件.ppt

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1、设设n元二次型元二次型 12(,),n nnf x xxX AX AAR 若对任意一组不全为零的实数若对任意一组不全为零的实数12,nc cc都有都有 ，则，则 称为称为半正定二次型半正定二次型.12(,)0nf c cc f ，则，则 称为称为半负定二次型半负定二次型. . f12(,)0nf c cc 则则 称为称为负定二次型负定二次型. . 12(,)0,nf c cc f既不是半正定，也不是半负定，则既不是半正定，也不是半负定，则 称为称为ff不定二次型不定二次型.正定矩阵正定矩阵负定矩阵负定矩阵半正定矩阵半正定矩阵半负定矩阵半负定矩阵 不定矩阵不定矩阵相应于二次型的分类，相应于二次型

2、的分类，n 级实对称矩阵可分类为：级实对称矩阵可分类为：实二次型实二次型 正定正定12(,)nf x xx12(,)nf xxx 负定；负定； 实对称矩阵实对称矩阵A正定正定 A负定负定.半负定；半负定；12(,)nf xxx 实二次型实二次型 半正定半正定12(,)nf x xx实对称矩阵实对称矩阵A半正定半正定 A半负定半负定. . 12(,),n nnf x xxX AXAAR 半正定半正定 ；12(,)nf x xx( 或或 A半正定；半正定； ) 秩秩 = 秩秩(A) = （正惯性指数正惯性指数）；）；fp A合同于非负对角阵，即存在可逆阵合同于非负对角阵，即存在可逆阵C，使使则下列有条件等价：则下列有条件等价： 存在存在 ，使，使n nCR ;AC C A的所有的所有主子式主子式皆大于或等于零皆大于或等于零. .（补充题（补充题9） 由此可得，由此可得，A半正定半正定0A（习题（习题14）1,0,1,2,indC ACdind 设设n元实二次型元实二次型