最大公因式教学课件.ppt

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1、2022-5-12高等代数一、两个多项式的最大公因式定义1： ,f xg xh xF x若 ,h x g xh xf x则 h x是 ,f xg x的一个公因式。的一个公因式。定义2：设 d x是 ,f xg x的一个公因式。若 ,f xg x的任一个公因式 h x均有 ,h x d x则称 d x是 ,f xg x的最大公因式。332,1fxx gxxx1hx是 例如2022-5-12高等代数问题：1、如何求两个多项式的最大公因式？2、最大公因式是否唯一？引理：若 ,f xg x q xr x与 公因式和最大公因式。证： 1、设 h x是 ,f xg x的公因式 h x是 ,g xr x的公

2、因式。 反之，设 h x是 ,g xr x的公因式 h x是 ,f xg x的公因式。则两对多项式 f x与 g x， g x r x有相同的2022-5-12高等代数2、设 d x是 ,f xg x的最大公因式 d x是 ,g xr x的公因式，对 ,g xr x的任一公因式 m x m x是 ,f xg x的公因式 m x d x故 d x是 ,g xr x的最大公因式。反之同样成立。 ,f xg x的最大公因式可以由引理知，要求转化为求 g x与 r x的最大公因式。由于 r xg x 根据这种思想，我们可以对2022-5-12高等代数 ,f xg x进行如下的辗转相除： 1111222

3、1123332211111,0,0.kkkkkkkkkkf xg x qxr xr xg xg xr x qxrxrxr xr xrx qxrxrxrxrxrx qxrxrxrxrxrx qxrx （）当进行到某一步时，余式为0。例如 10,krx则上一个式子的余式 krx就是 ,f xg x的最大公因式。2022-5-12高等代数 10,krx于是得定理： ,f xg x若两个多项式经辗转相除后得一系列等式（1.4.1），则 f xg x与的最大公因式为 。 krx定理： F x中任意两个多项式 f xg x与的最大公因式必存在，且若 d x是 ,f xg x ,u xv xF x的最大公因

4、式， 则必存在，使由于余式的次数不断降低，而 g x的次数是有限的，故经过有限次辗转相除之后，必然有余式 .d xf x u xg x v x2022-5-12高等代数证明： 1、若 0,f xg x则 ,f xg x的最大公因式是0。显然有 ,d xf x u xg x v x ,u xv x任意。2、若 0,0,f xg x则 ,f xg x的最大公因式是 1.f xf xg x v x v x任意。3、若 0,0,f xg x使 kd xrxf x u xg x v x则由定理知，经辗转相除后可求出它们的最由（1.4.1）可求得 ,u xv x大公因式为 krx2022-5-12高等代数

5、设 12,dxdx都是 ,f xg x的最大公因式，则有 122121,dx dxdx dxdxc dx即两个最大公因式之间仅差一个零次因子。若用 ,f xg x表示 ,f xg x中首项系数为1的最大公因式，则 ,f xg x唯一确定。2022-5-12高等代数例：设 432343,f xxxxx 3231023.g xxxx求 ,f xg x，和 ,u xv x使 ,f xg xu x f xv x g x 解：（利用辗转相除法）二、两个多项式互素 ,f xg xF x若 ,1,f xg x定义3：则称 ,f xg x互素。定理： ,1f xg x ,u xv xF x的充要条件是存在 1

6、f x u xg x v x使 2022-5-12高等代数多项式互素的性质。性质性质1： 若 ,1,1,f xh xg xh x则 ,1.f x g xh x证：1,fuhvfguhgvg( )( ) ( ),( )( )d xf x g xd x h x( )( )( )1.d x g xd x性质性质2：若 ,h xfx g x且 ,1,h xf x则 .h x g x证：1,.hufvhgufgvgh g2022-5-12高等代数性质性质3： 若 ,g xfxh xfx又 ,1,g xh x则 .g x h xf x证：1,guhvgfufhvf11,fggfhh代入上式即知三、多个多项

7、式的情况定义4： 设 1,1,nifxfxF xh xfxin则称 h x是这组多项式的公因式， 若 d x是 1,nfxfx的公因式， 且这组多项式的任一公因式 d x都能整除。则称 d x是的最大公 1,nfxfx因式。2022-5-12高等代数则称 d x是 1,nfxfx的最大公因式。用 12,nfff表示首一的最大公因式，则 1211,nnnffffffd x性质1、若12,nfffd则 12,nu uuF x使 。 1 122nnf uf uf ud性质2、若12,1,nfff则称12,nfff互素。性质3、若,1,1,ijffiji jn则称12,nfff两两互素。性质4、互素12,nfff12,nfff两两互素。2022-5-12高等代数例1.4.2 设22212343,68,310.fxxfxxfxx123,fff互素，但 。23,2ffx123121,22,2,1fxfxfffx又互素，但性质5、12,nfff12,nfff两两互素互素。注意：2n n 个多项式的最大公因式（互素）不随数域的扩大而改变。