欧式空间的正交变换和对称变换教学课件.ppt

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1、 定义定义 一个n 阶实矩阵U 叫做一个正交矩阵，如果 IUUUU定理定理 n 维欧氏空间一个标准正交基到另一标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵.例例 设 n,21是欧氏空间V的标准正交基，且 )(,),(2121RMTTnnn证明证明：当T是正交矩阵时, n,21是标准正交基. 定义定义1 欧氏空间V的一个线性变换叫做一个正交变换，如果对于任意 V都有| )(|例例1 在 2V里,把每一向量旋转一个角的的一个正交变换. 线性变换是 2V例例2 令H是空间 3V里过原点的一个平面.对于每一向量 3V，令对于H的镜面反射 与它对应. :是 3V的一个正交变换. 例例3 3 欧氏空间欧氏空间V V

2、的一个线性变换是正交变换的充要的一个线性变换是正交变换的充要条件是使任意两个向量的距离保持不变条件是使任意两个向量的距离保持不变, ,即对一切即对一切, , 都有都有. .V,| )()(| 正交变换的等价条件正交变换的等价条件 定理定理8.3.18.3.1 欧氏空间V 的一个线性变换是正交变换的充分且必要条件是：对于V 中任意向量 ， . ,)(),(证明证明 条件的充分性是明显的. 因为（1）中 取=，就得到 ，从而 .反过来，设是一个正交变换，那么对于, V，我们有 22| )(| )(|22| )(|然而)(),(2)(),()(),()()(),()()(),(| )(|2,2,|2

3、,)(),(,)(),(由于比较上面两个等式就得到：,)(),(定理定理 设设V V 是一个是一个n n维欧氏空间，维欧氏空间，是是V V 的一个线的一个线性变换，如果性变换，如果是正交变换，那么是正交变换，那么把把V V 的任意一的任意一个标准正交基仍旧变成个标准正交基仍旧变成V V 的一个标准正交基；反过的一个标准正交基；反过来，如果来，如果把把V V 的某一标准正交基仍旧变成的某一标准正交基仍旧变成V V的一的一个标准正交基，那么个标准正交基，那么是是V V 的一个正交变换的一个正交变换. .定理定理 n n 维欧氏空间维欧氏空间V V的一个正交变换的一个正交变换关于关于V V的的任意标

4、准正交基的矩阵是一个正交矩阵；反过来，任意标准正交基的矩阵是一个正交矩阵；反过来，如果如果V V的一个线性变换关于某一标准正交基的矩阵的一个线性变换关于某一标准正交基的矩阵是 正 交 矩 阵 ， 那 么是 正 交 矩 阵 ， 那 么 是 一 个 正 交 变 换是 一 个 正 交 变 换 . .例例5 5 在欧氏空间 中,规定线性变换为:3R32132121321333333,366666,2222),(xxxxxxxxxxx证明: 是正交变换.例例6 6 将 的每一向量旋转一个角的正交变换（参看例1）关于 的任意标准正交基的矩阵是2V2Vcossinsincos又令是例2中的正交变换.在平面H

5、 内取两个正交的单位向量 ，再取一个垂直于H 的单位向量 ,那么 是 的一个标准正交基. 关于这个基的矩阵是 21,3321,3V100010001以上两个矩阵都是正交矩阵. 32.VV的正交变换的类型的正交变换的类型dcbaU设是 的一个正交变换，关于 的一个规范正交基 的矩阵是2V21,2V那么U 是一个正交矩阵. 于是（2 2） 0, 1, 12222bdaddbca由第一个等式，存在一个角，使a = cos ，c = sin由于cos cos = = cos(cos()， sin sin = = sinsin（）因此可以令a a = = cos cos ，c = sin c = sin

6、 这里 =或 . 同理，由（4）的第二个等式，存在一个角使b b = = coscos，d d = = sinsin将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得CosCoscoscos + sin+ sinsinsin = 0 = 0或cos(cos(+ +) = 0) = 0最后等式表明， 是/ 2的一个奇数倍. 由此得cossin,sincos 所以cossinsincosU或 cossinsincosU 在前一情形中，是将 的每一向量旋转角的旋转； 2V 这样， 的正交变换或者是一个旋转，或者是关于一条过原点的直线的反射. 2V 如果是后一情形，我们可以取这条直线上一个单位向量 和垂直

7、于这条直线的一个单位向量 作为 的一个规范正交基.122Vxy)2tan(2V坐标的向量. 这时是直线的反射. 在后一情形，将 中以（x, y）为坐标的变量变成以(xcos+ysin, xsinycos) 为而关于基 的矩阵有形状 ,211001现在设是 的一个正交变换. 的特征多项式是一个实系数三次多项式，因而至少有一个实根r . 令 是的属于本征值r 的一个本征向量，并且 是一个单位向量. 再添加单位向量 使 是的一个规范正交基，那么关于这个基的矩阵有形状132,3V1,321dcbatsrU00由于U 是正交矩阵，我们有 0, 1, 0, 12tsrrtrsr从而于是 dcbaU0000

8、1由U的正交性推出，矩阵 dcba是一个二阶正交矩阵. 由上面的讨论，存在一个解使 cossinsincoscossinsincos或dcba在前一情形：cossin0sincos0001U 在后一情形，根据对 的正交变换的讨论，我的正交变换的讨论，我们可以取们可以取 的一个规范正交基 使关于这个基的矩阵是 2V3V,321100010001T 如果在T中左上角的元素是1，那么重新排列基向量，关于 的矩阵是,321100010001 如果左上角的元素是 1 ，那么关于基 的矩阵是,321cossin0sincos0001100010001 这样， 的任意正交变换关于某一正交基 的矩阵是下列的三

9、种类型之一：3V,321,cossin0sincos0001) 1 (,100010001)2(100010001cossin0sincos0001cossin0sincos0001) 3(在第一种情形,是绕通过 的直线 的一个旋转；在第二种情形,是对于平面 的反射；第三种情形,是前两种变换的合成. 1)(1L),(32L思考题思考题 设 是欧氏空间V的一个标准正交基,试求正交变换,使适合 321,32111313232)(32122323132)( 练习练习 设V是一个欧氏空间, 是一个非零向量,对于 , 规定V的一个变换 VV,2)(证明:是V的一个正交变换,且 是单位变换. ,2 定义定

10、义1 设是欧氏空间V的一个线性变换，如果对于V中的任意向量 ，等式成立，那么就称是一个对称变换.,)(,),(例例1 以下 的线性变换中,指出哪些是对称变换? 3R),(),(1332213211xxxxxxxxx);2,2,(),(32132313212xxxxxxxxxx),(),(3123213xxxxxxnjjininkkkiinjjiniiiyaxyx11111, )(),(定理定理 设是n维欧氏空间V的一个对称变换，如果关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那么是一个对称变换. 证证 设关于V的一个规范正交基 的矩阵 是对称的，令 是V的任意向量。那么n,21)(ijaA niiin

11、iiiyx11, njnijijinjjiknkniikiyxayxa11111,同样的计算可得 ninjjiijyxa11)(,因为 ,ijjiaa所以 ninjjiijyxa11)(,),(即是一个对称变换。 对称变换的性质对称变换的性质 定理定理 实对称矩阵的特征根都是实数.证证 设 是一个n 阶实对称矩阵.令是A 在复数域内一个特征根。于是存在不全为零的复数 使得)(ijaA nccc,21（2） nnccccccA2121令iicc 表示的共轭复数。 用矩阵 左乘（2）的两边得nccc,21nnnncccccccccAccc21212121,即: （3） niiininjjiijcc

12、cca111等式（3）两端取轭复数，注意 是实数。得ija（4） iniininjjiijcccca111又因为 且等式（3）与等式（4）左端相等，因此 ijjiaainiiiniicccc11而 不全为零，所以 是一个正实数，所以 ，是实数。 ici iniicc1定理定理 n 维欧氏空间的一个对称变换的属于不同特征根的特征向量彼此正交. 证证 设是n维欧氏空间的一个对称变换，是的本征值，且 。令和分别是属于和的本征向量：（）= ，（）= 我们有 = = = = = 因为 , 所以必须 = 0. 定理定理 设是n维欧氏空间V的一个对称变换，那么存在V的一个标准正交基，使得关于这个基的矩阵是对

13、角形式.定理定理 设A是一个n阶实对称矩阵，那么存在一个n阶正交矩阵U，使得 是对角形.AUU为了求出为了求出U U, ,我们可以用以下方法我们可以用以下方法. .首先由于首先由于U U是正交矩是正交矩阵阵, ,所以因此所以因此 与与A A相似相似. .于是可以利用于是可以利用7.67.6所给的所给的步骤求出一个可逆矩阵步骤求出一个可逆矩阵T,T,使得使得 是对角形式是对角形式, ,这样这样求出的矩阵求出的矩阵T T一般来说还不是正交矩阵一般来说还不是正交矩阵, ,然而注意到然而注意到T T的的列向量都是列向量都是A A的特征向量的特征向量, ,A A的属于不同特征根的特征向的属于不同特征根的

14、特征向量彼此正交量彼此正交, ,因此只要再对因此只要再对T T中属于中属于A A的同一特征根的列的同一特征根的列向量施行正交化手续向量施行正交化手续, ,就得到就得到 的一个规范正交组的一个规范正交组, ,以以这样的规范正交组作列这样的规范正交组作列, ,就得到一个满足要求的正交矩就得到一个满足要求的正交矩阵阵U.U.AUUATT1nR例例2 2 设422242224A找出求一个正交矩阵U 使 是对角形矩阵。AUU第一步，先求A的全部特征根.我们有 822xxAxI所以A的特征根是2，2，8.第二步，先对于特征根2，求出齐次线性方程组000222222222321xxx的一个基础解系 101,01121再 把正交化，得 21,626161,0212121对于特征根8,3131313求出属于它的一个单位特征向量第三步，以 为列，作一个矩阵321,31620316121316121U那么U是正交矩阵，并且 800020002AUU例例3 设是n维欧氏氏空间V的一个线性变换,证明: 为对称变换的充分必要条件是有n个两两正交的特征向量.