第2章 控制系统的数学模型课件.ppt

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1、1 本章主要教学内容本章主要教学内容数学模型的含义、分类及建立方法数学模型的含义、分类及建立方法微分方程的建立、拉普拉斯变换及方程求解微分方程的建立、拉普拉斯变换及方程求解传递函数的表示及其特点传递函数的表示及其特点动态结构图及其等效变换动态结构图及其等效变换状态方程与状态空间描述状态方程与状态空间描述控制系统数学模型之间的相互转换控制系统数学模型之间的相互转换第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 第第2章章2 本章教学目的及要求本章教学目的及要求理解控制系统数学模型的基本概念理解控制系统数学模型的基本概念掌握微分方程、传递函数、动态结构图、状掌握微分方程、传递函数、动态结构图

2、、状态空间描述的特点及应用态空间描述的特点及应用熟悉各类数学模型的建立方法熟悉各类数学模型的建立方法掌握数学模型的等效变换掌握数学模型的等效变换第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 32.1 数学模型概述数学模型概述 2.1.1 数学模型的含义 控制系统的数学模型通常是指表示该系统输入和输出之间动态关系的数学表达式。它具有与实际系统相似的特性，可采用不同形式表示出系统的内外部性能特点，是分析和设计自动控制系统的基础。 第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 4 2.1.2 数学模型的分类（1）按照系统状态的变化可分为动态模型和静态模型。（2）按

3、照系统的输入/输出关系可分为确定性模型和随机性模型。（3）按照时间的变化关系可分为连续系统模型和离散系统模型。 同一个系统可以选用不同的数学模型来表示。如对某个控制系统研究其时域响应时可以采用微分方程或传递函数来处理，研究其频域响应时则要用频率特性来处理。 第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 5 2.1.3 数学模型的建立方法（1）分析计算法：根据系统内在运动规律及结构参数，按各变量间所遵循的物理、化学定律列出数学关系，最终推导出系统输入量和输出量之间的表达式，建立起系统的数学模型。适用于已知系统内外部特性和运动规律的场合。（2）工程实验法：在现场对控制系统加入特定

4、的输入信号，采用某些检测仪器对系统的输出响应进行测量和分析，得到相关实验数据，从而建立系统的数学模型。通常是在对系统结构和特点一无所知的情况下而采用。第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 62.2 微分方程微分方程2.2.1 微分方程的建立1. 建立步骤（1）确定控制系统或元部件的输入、输出变量。（2）按物理、化学定律，列出原始方程式。（3）找出中间变量并进行化简。（4）标准化书写，输出项在等号左端，输入项在等号右端，按方程的阶次降幂排列。第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 72. 实例分析【例2.1】如图2-1中所示的机械位移系统，由弹簧

5、质量阻尼器构成。 该系统的特点是：质量为M的物体受到外力F的作用，克服阻尼器阻力和弹簧力产生位移Y。第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 第第2章章8My(位移)Fv(阻尼器阻力)f(阻尼系数)Fk(弹簧力)KF(外力)(弹性系数)图2-1 机械位移系统第第2章章9解：要建立该系统的微分方程，首先应该明确给定机械位移系统的输入量和输出量，由题目可知，该系统的输入量是外力F，系统的输出量为位移Y。（1）根据牛顿运动定律有： （2-1） 式中，各变量的含义如下： 物体的质量 物体运动的加速度 合力 物体受到的外力 阻尼器的阻力 弹簧力 第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控

6、制系统的数学模型 kvFFFFMaMaFFvFkF10 （2）式（2-1）中的中间变量有物体运动的加速度、阻尼器的阻力、弹簧力，这些中间变量与位移Y的关系如下： ；加速度是位移Y对时间t的二次导数 ；阻尼器阻力与物体运动速度成正比 ；弹簧力与物体的位移成正比第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 22dtyda dtdyffVFvKyFk11（3）将中间变量带入原始方程式（2-1）中，削去中间变量并整理得： 第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 FKydtdyfdtydM2212第第2章章3. 控制系统微分方程的一般表达式 为了方便以后的分析，

7、我们针对一个线性定常系统，给出用于描述系统运动规律和特点的微分方程的一般表达式。 设系统的外部输入量为 ，系统的输出量为 ，采用微分方程的形式来表示的系统数学模型一般式可描述如下：第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 ucdtducdtudcdtudcyadtdyadtydadtydammmmmmnnnnnn1111011110)(tu)(ty13第第2章章2.2.2 拉普拉斯（Laplace）变换 利用拉普拉斯（Laplace）变换可在给定外作用信号和初始条件下，求解控制系统的微分方程，得到其输出响应。1. 拉普拉斯（Laplace）变换与反变换的定义 Laplace变换定义

8、为下面的线性变换： 第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 dtetfsFtfL0st)()()(14拉普拉斯（Laplace）反变换由下式确定： 在实际应用中，通常通过查表来计算Laplace变换和Laplace反变换。第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 dsesFjtfsFLjjst)(21)()(1第第2章章15 2.2.3 微分方程的求解 求解微分方程的步骤如下：（1）将线性系统的微分方程进行Laplace变换，得到以S为变量的变换方程。（2）求解变换方程，得到系统输出变量的象函数表达式。（3）将输出变量的象函数表达式展开成部分分式。（4）对部分分式进行

9、Laplace反变换，即可得到系统微分方程的解。第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 162.2.4 非线性数学模型的线性化处理 实际系统中绝大多数元器件都具备非线性特性，非线性微分方程的求解是很困难的，对此，可以采用非线性数学模型的线性化来处理。 对于一般非线性系统，如果在系统的整个调节过程中，各个元部件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化，由级数理论可知，若变量在给定的工作区间内其各阶导数存在，便可在给定工作点的邻域内将非线性特性展开为泰勒级数，当偏差的范围很小时，可以忽略级数中偏差的高次项，得到只包含偏差的一次项的线性方程，称之为小偏差法或叫增量线性化法。

10、第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 第第2章章17 2.3 传递函数传递函数2.3.1 传递函数的概念1. 传递函数的定义 传递函数的定义：线性定常系统在初始条件为零时，系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比称为该系统的传递函数。 可表示为： 第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 )()()(sRsCsG18 2. 传递函数的求取 已知系统的微分方程，将等号两端的各项进行相应的拉普拉斯变换，根据传递函数的定义，即可得到该系统的传递函数描述。【例2.7】如图2-1中由弹簧质量阻尼器构成机械位移系统，求取该系统的传递函数描述。解：根据【例2.1】

11、的分析，已知该系统的微分方程为：第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 FKydtdyfdtydm2219（1）根据拉普拉斯变换的性质，对上式两端各项分别取拉氏变换如下： ；利用拉氏变换微分性质推论 ；利用拉氏变换微分性质 ；利用拉氏变换线性性质 ；利用拉氏变换线性性质第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 )0()0()0()(222yySSysYSmdtydmL)0()(ysSYfdtdyfL )(skYkyL )(sFFL20（2）令系统的初始条件为零，将微分方程所对应的各项拉氏变换带入原始方程，并合并同类项可得：第第2 2章章 控制系统的

12、数学模型控制系统的数学模型 第第2章章)()()()()()()(22sFsYkfsmSsFskYsfSYsYmS21（3）按传递函数的定义，取系统的输出信号拉氏变换与输入信号拉氏变换之比，即可得到机械位移系统的传递函数：第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 kfSmSsFsYsG21)()()(223. 关于传递函数的几点说明（1）传递函数是经过拉普拉斯变换后得出的，它只适用于线性定常系统。（2）传递函数是由系统结构和参数来确定的，与输入信号的形式无关，只能反映系统在零初始状态下的动态特性。（3）传递函数的分母多项式称为特征多项式，它决定着系统响应的基本特点和动态本

13、质。（4）传递函数是一种数学抽象，无法直接由它看出实际系统的物理构造，物理性质不同的系统，完全可以有相同的传递函数表示。第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 第第2章章23 2.3.2 典型环节及其传递函数 控制系统是由若干元部件有机组合而成的，从动态性能和数学模型来看，可以将控制系统的传递函数分解为几个典型环节的组合，这样便于分析和讨论系统的各种性能。 在工程应用中，典型环节主要有比例、惯性、一阶微分、积分、振荡和延迟环节等形式。第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 24第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 第第2章章1. 比例环节也

14、称为放大环节，传递函数为：ksRsCsG)()()( k为放大系数。 环节的输出量与输入量成正比。例如，无弹性变形的杠杆，不计非线性和惯性的电子放大器，测速发电机的电压与转速的关系等都可以看作是放大环节。252. 惯性环节传递函数为： k为传递系数；T为惯性时间常数。 惯性环节也称为一阶系统，动态响应时其输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上的延迟，时间常数T越大，惯性越大，延迟时间就越长。例如，RC串联电路，直流电机的激磁电路等都是惯性环节。第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 G skTs( ) 126 3. 一阶微分环节 传递函数为： 为微分时间常数 。 在

15、系统的过渡过程中，一阶微分环节的输出量是输入量的微商。可以采用RC串联电路来形成微分网络。 理想的微分环节传递函数为： 第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 1)( ssGssG)(274. 积分环节传递函数为： 称为积分时间常数。 从传递函数中可以看出，积分环节有一个极点在S平面的原点，一般用来改善系统的稳态性能。第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 TssksRsCsG1)()()(kT1285. 振荡环节振荡环节的传递函数为： 式中T为时间常数， 为阻尼系数（也称为阻尼比）； 称为无阻尼自然振荡频率。从传递函数中可以看出，振荡环节具有一

16、对共轭复数极点，这是一个典型的二阶系统。第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 22222212)()()(nnnssTssTksRsCsGTn1296. 延迟环节延迟环节的传递函数为： 为延迟时间。 延迟环节的特点是具有时间上的延迟效应，对系统的稳定性是不利的。 在实际应用中，可控硅整流器可以视为一个延迟环节，整流电压与控制角之间存在失控时间。第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 SesRsCsG)()()(302.3.3 自动控制系统的传递函数 为了研究系统被控量的变化规律，要分别考虑在输入信号和干扰信号的作用下对系统性能的影响。为此，就要

17、明确控制系统的各类传递函数。第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 我们研究如图2-8 所示的典型闭环控制系统结构图。31G1(S)G2(S)H(s)C(s)E(s)R(s)B(s)N(s)+ +- -+ + +图2-8 闭环控制系统典型结构图第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 32第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 第第2章章)()()()()()(21sHsGsGsRsBsG 1. 系统开环传递函数 如果断开系统的主反馈通路，将反馈信号与输入信号之间的传递函数称为系统的开环传递函数，也就是闭环控制系统在开环状态下的传递函

18、数。可表示为： 332. 输入信号作用下的系统闭环传递函数 令干扰信号为0，输出信号与输入信号之间的传递函数即为输入信号作用下的系统闭环传递函数。 可表示为： 第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 )()()(1)()()()()(2121sHsGsGsGsGsRsCs34 3. 干扰信号作用下的系统闭环传递函数 令输入信号为0，输出信号与干扰信号之间的传递函数即为干扰信号作用下的系统闭环传递函数。 可表示为： 第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 )()()(1)()()()(212sHsGsGsGsNsCsn35第第2章章4. 闭环系统的

19、误差传递函数（1）输入信号作用下的误差传递函数 令干扰信号为0 ，输出信号与输入信号之间的传递函数即为输入信号作用下的系统误差传递函数。 可表示为： 第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 )()()(11)()()(21sHsGsGsRsEse36第第2章章（2）干扰信号作用下的误差传递函数 令输入信号为0，输出信号与干扰信号之间的传递函数即为干扰信号作用下的系统误差传递函数。 可表示为： 第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 )()()(1)()()()()(212sHsGsGsHsGsNsEsne37第第2章章5. 系统总输出 根据叠加原理，系统的总输出是在

20、输入信号和干扰信号的共同作用下产生的，即系统的总输出为：第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 )()()()(1)()()()()(1)()()(2122121sNsHsGsGsGsRsHsGsGsGsGsC38第第2章章2.4 系统动态结构图及其等效变换系统动态结构图及其等效变换 将复杂控制系统的内部结构采用一种特定的方框图形式来表达，设定方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这时方框图就变成了系统动态结构图，这是描述控制系统的又一种常见数学模型，其特点是由具有一定函数关系的环节组成，并标明了信号的传递方向，直观，形象，易于系统的性

21、能分析和中间变量的讨论。第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 39第第2章章2.4.1 结构图的组成1. 结构图的基本表示符号 基本符号主要有以下4种，如图2-9所示： 图2-9 系统动态结构图的组成符号第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 xG信号线引出点比较点方框+-40第第2章章（1）信号线：表示信号的流通方向，标明信号对应的变量。（2）引出点：表示信号从该点取出，从同一信号线上取出的信号，其大小、性质完全相同。（3）比较点：代表比较元件，表示两个或两个以上的信号在该点进行叠加，其输出量等于各输入量的代数和。（4）方框：表示输入、输出信号之间的动态传递关系

22、。 方框的输出信号方框输入信号方框中的传递函数第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 412. 结构图的绘制步骤（1）列出系统中各元部件的原始微分方程，确定其输入、输出变量。（2）以典型环节的形式取代系统中的具体元部件，在方框中填入各环节的传递函数，并标出信号及其流向。（3）按系统中信号的流向，把代表各环节的方框连接起来，即构成系统的结构图。第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 第第2章章42第第2章章2.4.2 结构图的等效变换 各种复杂的系统结构图都可以分为串联、并联和反馈连接3种形式。1. 串联结构的等效变换 当前一环节的输出量是后一环节的输入量时，称为环节

23、的串联连接。 串联等效环节的传递函数等于各环节传递函数的乘积。当n个环节串联时，忽略负载效应后，其等效传递函数为：第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 )()(1sGsGjnj43第第2章章2. 并联结构的等效变换 各环节的输入信号相同，输出在相加点进行叠加，就是环节的并联连接。 并联等效环节的传递函数等于各环节传递函数的代数和。当n个环节并联时，其等效传递函数为： 第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 )()(1sGsGjnj44第第2章章3. 反馈结构的等效变换 如果环节的输出信号反馈到输入端与输入信号进行比较即为反馈连接。当进入比较器的信号极性相同时称为正

24、反馈连接；进入比较器的信号极性相反时称为负反馈连接。 负反馈连接的系统闭环传递函数为： 第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs1)(sH452.5 状态空间描述状态空间描述 由于微分方程和传递函数是在初始条件为零时描述系统性能的数学模型，只能反映出系统输出和输入之间的对应关系。而在系统性能分析与仿真时，常常要考虑到系统内部各变量的状态和初始条件，为此，我们引入控制系统的另一种数学模型，即状态空间描述。第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 第第2章章46第第2章章2.5.1 状态变量 给定某个控制系统，设系统的输入量

25、为U，输出量为Y，则描述系统动态过程的微分方程可以表示为：第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 uyadtdyadtydadtydnnnnnn1111我们引入n个状态变量： nnxxxxx,1321式（2-29）47第第2章章这n个状态变量的一阶导数与状态变量和式（2-29）微分方程中的各导数项对应关系为： 第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 udtydadtydadtdyayadtydxxdtydxxdtydxxdtdyxxyxnnnnnnnnnnnnn11122211111223221148第第2章章将上述n个一阶微分方程用矩阵形式表示为： 称为系统的状态

26、方程。 第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 nnaxxx0021101na210na100anxxx21100 u + 49第第2章章第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 nxxxy210, 0 , 1 称为系统的输出方程。50第第2章章2.5.2 系统的状态空间描述 ： 我们可以把上式中的矩阵进行简化，得到如下表达式： 第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 CXYBuAXX即为系统的状态空间描述。51 2.6 数学模型的相互转换数学模型的相互转换 实际工程中，由于要解决的控制问题所需的数学模型与所给定的已知数学模型往往是不一致的，不同的应用场

27、合需要对控制系统的数学模型进行转换，例如，当作为共性的内容进行分析时，常常用传递函数形式，而在计算机仿真中利用系统的状态空间描述最为方便。所以，讨论系统数学模型之间的转换具有实际的指导意义。 第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 第第2章章52第第2章章【例2.12】 已知某控制系统的微分方程为： 将其分别表示为传递函数、一阶微分方程组和状态空间描述。第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 udtduydtdydtyd10265 . 22253第第2章章解：（1）将给定系统微分方程的两端取拉氏变换，并令初始值为零，有以下传递函数表示：第第2 2章章 控制系统的数学

28、模型控制系统的数学模型 )()102()()65 . 2()(10)(2)(6)(5 . 2)(22sUSsYSSsUsSUsYsSYsYS根据传递函数定义有： 65 . 2102)()()(2SSSsUsYsG54第第2章章（2）由于是二阶导数，可以引入两个状态变量，将给定的二阶微分方程写成一阶微分方程组形式：第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 21212212105 .26xxyuxxxxx55第第2章章（3）按照状态空间描述，将各变量和系数用矩阵表达为：第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 6021xx5 . 2021xx+ 10 u 212,10 xx

29、y56第第2章章【例2.13】 已知某控制系统的传递函数为：将系统模型转换为状态空间描述和一阶微分方程组描述。第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 34285)()()(232SSSSSsUsYsG57第第2章章解：（1）这是一个三阶系统，我们将给定的系统传递函数按照状态空间描述中的系数矩阵A、B、C的对应关系，可得各系数矩阵如下：第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 243100010A100B 15, 8，C58第第2章章组合为状态空间描述有： 第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 uxxxxxx100243100010321321321 1

30、 ,5, 8xxxy59第第2章章（2）将上述矩阵展开即可得到系统模型的一阶微分方程组表示： 第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 3213213322158243xxxyuxxxxxxxx60第第2章章 数学模型是描述系统输入、输出变量及内部各变量之间的动态关系的依据，具有与实际系统相似的特性。运用计算机对系统进行仿真时，首先要给出数学模型，然后才能通过模型变换求解系统输出响应。 微分方程是控制系统最基本、最重要的数学模型，它反映了系统或元部件的动态运行规律。建立微分方程时，要根据系统中各个元部件的物理规律，列写出各个元件的微分方程，得到微分方程组，然后消去中间变量，化简整理

31、后得到系统总的输入/输出微分方程。还可以通过拉普拉斯变换和反变换来求解控制系统在给定外作用信号和初始条件下的微分方程，得到其输出响应。 本章小结本章小结61 传递函数采用拉普拉斯变换对线性定常系统进行处理，可表达出不同结构系统所具备的许多共性内容，还可研究结构和参数变化对系统性能影响。控制系统的典型环节常见的有比例、惯性、一阶微分、积分、振荡、延迟环节等。 动态结构图可表示出系统内部各变量之间的信号传递关系，通过等效变换来化简较复杂系统结构，直观、形象，易于系统的性能分析和中间变量的讨论。 采用状态空间描述可反映出系统变量的初始状态，通过矩阵运算处理，为使用计算机带来了方便。 实际应用中，可根据系统的特点和表达方式合理地选择数学模型的类别，也可经过模型转换得到一个最适合的系统模型描述，进行控制系统的分析和讨论。 本章小结本章小结第第2章章62 第第2 2章内容到此结束章内容到此结束