第3章控制系统的时域分析[3.4]课件.ppt

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1、常用词汇常用词汇稳定性稳定性 stability必要条件必要条件 necessary condition充分条件充分条件 sufficient condition 线性控制系统稳定性的定义为：线性控制系统稳定性的定义为： 线性控制系统在初始扰动影响下，其动态过程随线性控制系统在初始扰动影响下，其动态过程随时间推移逐渐衰减时间推移逐渐衰减(decay)并趋于零并趋于零(或原平衡工或原平衡工作点作点)，则称系统是渐进稳定，简称稳定；，则称系统是渐进稳定，简称稳定； 若在初始扰动下，其动态过程随时间推移而发散，若在初始扰动下，其动态过程随时间推移而发散，则称系统不稳定；则称系统不稳定； 若在初始扰动

2、下，其动态过程随时间的推移虽不若在初始扰动下，其动态过程随时间的推移虽不能回到原平衡点，但可以保持在原工作点附近的能回到原平衡点，但可以保持在原工作点附近的某一有限区域内运动，则称系统临界稳定。某一有限区域内运动，则称系统临界稳定。临界稳定临界稳定marginally stable/critical stable稳定性是表征系统在稳定性是表征系统在扰动撤消后自身的一扰动撤消后自身的一种恢复能力，因而它种恢复能力，因而它是系统的一种是系统的一种固有的固有的特性。特性。3.4.1 线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的充要条件（sufficient and necessary condition)由

3、于稳定性研究的问题是扰动作用去除后的运动由于稳定性研究的问题是扰动作用去除后的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特性，因而可以系统的脉冲响应函数来描本身的特性，因而可以系统的脉冲响应函数来描述。述。如果脉冲响应函数是收敛的，即有如果脉冲响应函数是收敛的，即有 (3-52)表示系统能回到原来的平衡状态，因而系统是稳表示系统能回到原来的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可见，系统的稳定与其脉冲响应函数定的。由此可见，系统的稳定与其脉冲响应函数收敛是一致的。收敛是一致的。 0)(limtgt 如果如果 (3-53)则系统是不稳定的。则系统是不

4、稳定的。 如果如果 (3-54)则系统是临界稳定的。则系统是临界稳定的。)(limtgtk)(limtgt由于单位理想脉冲函数的拉氏变换等于由于单位理想脉冲函数的拉氏变换等于1 1，所以系统，所以系统的的复域脉冲响应函数复域脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉就是系统闭环传递函数的拉氏变换。氏变换。令系统的闭环传递函数含有令系统的闭环传递函数含有q q个实数极点和个实数极点和r r对复数对复数极点，则其传递函数可写为极点，则其传递函数可写为rknknkkqjjmiisspszsKsC12211)2()()()(3-55) 式中，式中， nrq2式式(3-55)(3-55)用部分分式展开，得用部

5、分分式展开，得对上式取拉氏反变换，求得系统的对上式取拉氏反变换，求得系统的时域脉冲响应时域脉冲响应为为2211( )e(ecos1esin1jknkknkqrp tttjknkkknkkjkg tABtCt t0 (3-56) rknknkkknkknkkkqjjjsssCsBpsAsC1222121)()(由式由式(3-56)(3-56)可见，可见， 若系统的特征根全部为负实部若系统的特征根全部为负实部(negative real (negative real part)part)根，则式根，则式(3-52)(3-52)成立，系统稳定；成立，系统稳定； 若系统有一个或一个以上的正实根或实部为

6、正的若系统有一个或一个以上的正实根或实部为正的共轭复根，式共轭复根，式(3-53)(3-53)成立，系统不稳定；成立，系统不稳定； 若系统有一个或一个以上的零实部根，其余的特若系统有一个或一个以上的零实部根，其余的特征根具有负实部，式征根具有负实部，式(3-54)(3-54)成立，系统临界稳定。成立，系统临界稳定。虚部虚部 imaginary part负实部负实部 negative real part复数根复数根 complex root实根实根 real root 综上所述，线性系统综上所述，线性系统稳定的充分必要条件稳定的充分必要条件是：是： 闭环系统特征方程闭环系统特征方程的所有根均具有

7、负实的所有根均具有负实部。或者说，闭环传部。或者说，闭环传递函数的极点均严格递函数的极点均严格位于位于s s左半平面。左半平面。 右半平面右半平面 right-half plane左半平面左半平面 left-half plane 注意：注意： 对于稳定的线性系统，当输入信号有界时，对于稳定的线性系统，当输入信号有界时，系统输出必为有界函数。系统输出必为有界函数。 对于不稳定的线性系统而言，在有界输入对于不稳定的线性系统而言，在有界输入信号作用下，系统的输出信号将随时间的信号作用下，系统的输出信号将随时间的推移而发散。推移而发散。3.4.2 3.4.2 系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件令系统

8、的特征方程为令系统的特征方程为 (3-57) 如果如果方程式的根都是负实根，或其实部为负的复数方程式的根都是负实根，或其实部为负的复数根，根，则则其特征方程式的各项系数均为正值，且无其特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。零系数。（ 01110nnnnasasasa00a设设P P1 1、P P2 2、为实数为实数根。根。 、 、为复数根。其中，为复数根。其中，P P1 1、P P2 2、和和 、 、都为正值，则式都为正值，则式(3-57)(3-57)改改写为写为即即11221201211112222()()(j)(j)(j)(j)0aspspssss 0)2()2()(222222212

9、112210 sssspspsa(3-58) 因为上式等号左方所有因式的系数都为正值，因为上式等号左方所有因式的系数都为正值，所以它们相乘后项必然仍为正值且不会有所以它们相乘后项必然仍为正值且不会有系数为零项。系数为零项。反之，若方程式中有一个根为正实根，或一反之，若方程式中有一个根为正实根，或一对实部为正的复数根，则由式对实部为正的复数根，则由式(3-58)(3-58)可知，可知，对于方程式对于方程式s s的各次的各次项的系数不会全为正值，项的系数不会全为正值，即一定会有负系数项或缺项出现。即一定会有负系数项或缺项出现。不难证明，对于一阶和二阶线性定常系统，不难证明，对于一阶和二阶线性定常系

10、统，其特征方程式的各项系数全为正值是系统其特征方程式的各项系数全为正值是系统稳定的充分和必要条件。但是对三阶以上稳定的充分和必要条件。但是对三阶以上的系统，特征方程式的各项系数均为正值的系统，特征方程式的各项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件，而非充分条件。仅是系统稳定的必要条件，而非充分条件。3.4.3 劳斯稳定判据劳斯稳定判据 (Rouths stability criterion) 由于控制系统稳定的充要条件是其特征根均需具由于控制系统稳定的充要条件是其特征根均需具有负实部，因而对系统稳定性的判别就变成求解有负实部，因而对系统稳定性的判别就变成求解特征方程式的根，并检验所求的根是否都具有

11、负特征方程式的根，并检验所求的根是否都具有负实部的问题。实部的问题。 由于求解高阶系统根的工作量很大，所以我们希由于求解高阶系统根的工作量很大，所以我们希望有一种不用求解特征方程的根，而是根椐特征望有一种不用求解特征方程的根，而是根椐特征方程式的根与其系数间的关系去判别特征根实部方程式的根与其系数间的关系去判别特征根实部的符号（间接的方法）。的符号（间接的方法）。 设系统的特征方程式为设系统的特征方程式为将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表0122110 nnnnnasasasasa10211321214171313151212131134170

12、6131504121302112753116420fseesdddsbbaabcbbaabcbbaabcsbaaaaabaaaaabaaaaabsaaaasaaaasnnnn 由劳斯表的结构可知，劳斯表有由劳斯表的结构可知，劳斯表有 行，第一、行，第一、二行各元素是特征方程的系数，以后各元素按劳二行各元素是特征方程的系数，以后各元素按劳斯表的规律求取。劳斯稳定判据是根据所列劳斯斯表的规律求取。劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式的表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式的根在根在s s平面上的具体分布，其结论是：平面上的具体分布，其结论是：(1)(1) 如果劳斯表

13、中第一列系数严格为正，则其特征如果劳斯表中第一列系数严格为正，则其特征方程式的根都在方程式的根都在s s的左半平面的左半平面(left-half plane)(left-half plane)，相应的系统是稳定的。相应的系统是稳定的。(2) (2) 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则系如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则系统不稳定，且符号变化的次数等于该特征方程式统不稳定，且符号变化的次数等于该特征方程式的根在的的根在的s s右半平面右半平面(right-half plane)(right-half plane)上的个上的个数。数。) 1( n例例3-2 已知三阶系统特征方程为已知三阶系

14、统特征方程为判断系统稳定的充要条件。判断系统稳定的充要条件。解：解：列劳斯表为列劳斯表为根据劳斯判据，系统稳定要求劳斯表第一列系数均根据劳斯判据，系统稳定要求劳斯表第一列系数均为正值，所以系统稳定的充要条件是各系数大于为正值，所以系统稳定的充要条件是各系数大于零，且零，且bcad。023dcsbsas00000123dsbadbcsdbscas例例3-3 设系统特征方程为设系统特征方程为使用劳斯判据判断系统的稳定性，如果不稳定求出使用劳斯判据判断系统的稳定性，如果不稳定求出该特征方程的正实部根的数目。该特征方程的正实部根的数目。解：解：列劳斯表如下列劳斯表如下因劳斯列表第一列元素符号变化两次，

15、所以该系统因劳斯列表第一列元素符号变化两次，所以该系统不稳定，有两个正实部根。不稳定，有两个正实部根。05432234ssss56514253101234sssss两种特殊情况： 劳斯表中某行第一项元素等于零，而该行的其余劳斯表中某行第一项元素等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现会使各项不等于零或没有余项，这种情况的出现会使计算下一行第一元素时出现无穷现象。计算下一行第一元素时出现无穷现象。解决的办法是解决的办法是以一个很小的正数以一个很小的正数 代替为零的该项，代替为零的该项，继续劳斯表的列写。若劳斯表第一行的系数符号继续劳斯表的列写。若劳斯表第一行的系数符号有变化，其

16、变化的次数就等于该方程在有变化，其变化的次数就等于该方程在s右半平右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列列 上面的系数与其下面的系数符号相同，则上面的系数与其下面的系数符号相同，则表示该方程有一对共轭虚根表示该方程有一对共轭虚根(complex-conjugate root)存在，相应的系统也属不稳定。存在，相应的系统也属不稳定。例例3-4 设系统的特征方程为设系统的特征方程为试用劳斯判据确定该方程的根在平面上的具体分布。试用劳斯判据确定该方程的根在平面上的具体分布。解：解：基于方程中基于方程中s2项的系数为零，项的系数为零，s一次项的系数

17、一次项的系数为负值。由稳定的必要条件可知，该方程至少有为负值。由稳定的必要条件可知，该方程至少有一个根位于一个根位于s的右半平面，相应的系统为不稳定。的右半平面，相应的系统为不稳定。为了确定该方程的根在为了确定该方程的根在s平面上的具体分布需应平面上的具体分布需应用劳斯判据。根据方程排出下列的劳斯表用劳斯判据。根据方程排出下列的劳斯表0233 ss22302)(00310123ssss由上表可见，其第一列由上表可见，其第一列 项上面与下面的符号变化项上面与下面的符号变化了两次。根据劳斯判据，可知该方程有两个根在了两次。根据劳斯判据，可知该方程有两个根在s的右半平面。的右半平面。若用因式分解的方

18、法，把原方程改写为若用因式分解的方法，把原方程改写为由上式解得由上式解得s1,2=1，s3=2，从而验证了上式用劳，从而验证了上式用劳斯判据所得的结论的正确性。斯判据所得的结论的正确性。0)2() 1(2323ssss(2) 如果劳斯表中出现全零行，则表示相应的方程中如果劳斯表中出现全零行，则表示相应的方程中含有一些大小相等、符号相反的实根含有一些大小相等、符号相反的实根(real root)和和(或或)共轭虚根。共轭虚根。对于这种情况，可利用系数全零行的上一行系数构对于这种情况，可利用系数全零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并将这个辅助多项式求导，造一个辅助多项式，并将这个辅助多项式求导，

19、用导数的系数来代替表中系数为全零的行。用导数的系数来代替表中系数为全零的行。如此，继续计算其余的项，完成劳斯表的排列。如此，继续计算其余的项，完成劳斯表的排列。辅助多项式的次数通常为偶数，它表明大小相等、辅助多项式的次数通常为偶数，它表明大小相等、符号相反的根数，而且这些根可利用辅助多项式符号相反的根数，而且这些根可利用辅助多项式求出。求出。 例例3-53-5 系统的特征方程为系统的特征方程为 试判稳。试判稳。解：解：劳斯表如下：劳斯表如下：04473223456ssssss435042364)(06400043)(431431472101233324456ssssssPsssssPsss求导

20、辅助多项式由于由于s3这一行的元素全为这一行的元素全为0，致使劳斯表无法继续，致使劳斯表无法继续往下排列。现用它上一行的系数组成如下的辅助往下排列。现用它上一行的系数组成如下的辅助多项式多项式上式对上式对s求导，得求导，得43)(24sssP3d ( )46dP ssss用系数为用系数为4和和6代替代替s3这行中相应的这行中相应的0元素，并继续元素，并继续往下计算其他行的元素，完成劳斯表的排列。由往下计算其他行的元素，完成劳斯表的排列。由劳斯列表第一列元素符号变化一次，可知系统不劳斯列表第一列元素符号变化一次，可知系统不稳定，有一个正实部根，由稳定，有一个正实部根，由P(s)=0得得求得两对大

21、小相等、符号相反的根为求得两对大小相等、符号相反的根为 ，显然，这个系统是处于临界稳定显然，这个系统是处于临界稳定(marginally stable/critical stable)状态。状态。04324 ss22, 1s3,4js 2j、 劳斯判据还可以用来判别代数方程式中位劳斯判据还可以用来判别代数方程式中位于平面上给定垂线于平面上给定垂线 的右侧根的数目。的右侧根的数目。只要令只要令 并代入原方程中，得到以并代入原方程中，得到以 为变量为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂直线是否有根位于垂直线 的右侧。的右侧。用此法可

22、以估计一个稳定系统的各个根中最靠近右用此法可以估计一个稳定系统的各个根中最靠近右侧的根距虚轴有多远，从而了解系统稳定的侧的根距虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程程度度”。1s1zsz1s例例3-6 用劳斯判据检验下列特征方程用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在是否有根在s的右半平面上，并检验有几个根在垂的右半平面上，并检验有几个根在垂直线直线s=1的右方。的右方。解：解：列劳斯表列劳斯表由于劳斯表的第一列系数全为正值，因而该特征方由于劳斯表的第一列系数全为正值，因而该特征方程式的根全部位于程式的根全部位于s的左半平面，相应的系统是的左半平面，相应的系统是稳定的。稳定的。041310223sss

23、令令s = z1代入特征方程，经化简后得代入特征方程，经化简后得因为上式中的系数有负号，所以方程必然有根位于因为上式中的系数有负号，所以方程必然有根位于直线直线s=1的右方。列出以的右方。列出以z为变量的劳斯表为变量的劳斯表由上表可见，第一列的符号变化了一次，表示原方由上表可见，第一列的符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直线程有一个根在垂直线s=1的右方。的右方。014223zzz10210140120123zzzz3.4.4 3.4.4 赫尔维兹判据赫尔维兹判据 该判据也是根据特征方程的系数来判别系统的稳该判据也是根据特征方程的系数来判别系统的稳定性。设系统的特征方程为定性。设系统的特征

24、方程为以特征方程式的各项系数组成如下行列式以特征方程式的各项系数组成如下行列式0122110 nnnnnasasasasanaaaaaaaaaaaaaaaaaaa234567012345012301000000赫尔维兹判据指出，系统稳定的充分必要条件是在赫尔维兹判据指出，系统稳定的充分必要条件是在 的情况下，上述行列式的各阶主子式的情况下，上述行列式的各阶主子式 均大于均大于零，即零，即00ai0000034512301330212301211naaaaaaaaaaaaaaaaa例例3-7 系统的特征方程为系统的特征方程为 ，判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。解：系统行列式解：系统行列式 由

25、赫尔维兹判据，该系统不稳定。由赫尔维兹判据，该系统不稳定。025103234ssss20005120310510031040101475131020153120105103103例例3-8 系统的特征方程为系统的特征方程为 ，判断，判断系统的稳定性。系统的稳定性。解：系统行列式解：系统行列式由赫尔维兹判据可知系统稳定的充要条件为由赫尔维兹判据可知系统稳定的充要条件为 由上式可知由上式可知二阶系统稳定的充要条件二阶系统稳定的充要条件是特征方程是特征方程的所有系数均大于零。的所有系数均大于零。02120asasa20140aaa00a01a021aa设系统特征方程为：设系统特征方程为：s6+2s5

26、+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳劳 斯斯 表表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1= -8-8 41 2劳斯表介绍劳斯表介绍劳斯表特点劳斯表特点1 右移一位降两阶右移一位降两阶2 次对角线减主对角线次对角线减主对角线3 分母总是上一行第一个元素分母总是上一行第一个元素5 第一列出现零元素时，第一列出现零元素时，用正无穷小量用正无穷小量代替代替.4 一行可同乘以或同除以某正数一行可同乘以或同除以某正数771 2 7 -82+8-8(2 +8) -7劳斯判据劳斯判据系统稳定的系统稳定的必要必要条件条件:有正有

27、负一定不稳定有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定缺项一定不稳定!系统稳定的系统稳定的充分充分条件条件:劳斯表第一列元素劳斯表第一列元素不变号不变号!若变号系统不稳定若变号系统不稳定!变号的变号的次数次数为特征根在为特征根在s右右半平面的半平面的个数个数!特征方程各项系数特征方程各项系数均大于零均大于零!-s2-5s-6=0稳定吗？稳定吗？劳斯表出现零行劳斯表出现零行设系统特征方程为：设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳劳 斯斯 表表s0s1s2s3s451756116601 劳斯表何时会出现零行劳斯表何时会出现零行?2 出现零行怎么办出现零行怎么办?3 如何求对称的根如何求对称

28、的根? 由零行的上一行构成由零行的上一行构成辅助方程辅助方程: 有大小相等符号相反的有大小相等符号相反的特征根时会出现零行特征根时会出现零行s2+1=0对其求导得零行系数对其求导得零行系数: 2s1211继续计算劳斯表继续计算劳斯表1第一列全大于零第一列全大于零,所以系统稳定所以系统稳定错啦错啦!由综合除法可得另两由综合除法可得另两个根为个根为s3,4= -2,-3解辅助方程得对称根解辅助方程得对称根: s1,2=j 例例3-z 3-z 已知系统的特征方程式为已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。试判别相应系统的稳定性。 解解 根据方程列劳斯表根据方程列劳斯表 由于表中第一列上面系数的

29、符号与其下面系数符号相由于表中第一列上面系数的符号与其下面系数符号相同，同，表示该方程中有一对共轭虚根存在表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统，相应的系统为不稳定。为不稳定。 02223sss321011022002ssss 把上述方程分解成为因式相乘的形式，即有把上述方程分解成为因式相乘的形式，即有 0) 1)(2(2ss于是得方程的根为于是得方程的根为 .这与用劳斯判据所得的结论是相吻合的。这与用劳斯判据所得的结论是相吻合的。jss3 , 212，43223450ssss 1 3 5 2 4 0 5 0 5系统不稳定，且有两个正实根。系统不稳定，且有两个正实根。4s3s2s 2 31

30、 412 1s 1 42 561 0s例例3-解解 END6.劳思判据的应用劳思判据的应用sa 1、劳思判据不能表明系统特征根在、劳思判据不能表明系统特征根在S平面上相对于虚平面上相对于虚轴的位置，但实际上，若负实部特征方程式的根紧靠轴的位置，但实际上，若负实部特征方程式的根紧靠虚轴，由于虚轴，由于 很小，系统的动态过程将具有很小，系统的动态过程将具有缓慢的非周期性或强烈的振荡特性。为了改善系统性缓慢的非周期性或强烈的振荡特性。为了改善系统性能，常常希望在能，常常希望在S左半平面上系统特征根的位置与虚左半平面上系统特征根的位置与虚轴之间有一定的距离。为此，我们作一条轴之间有一定的距离。为此，我

31、们作一条 的的垂线。而垂线。而a是系统特征根位置与虚轴之间的最小给定是系统特征根位置与虚轴之间的最小给定距离，通常称为稳定度或稳定裕量距离，通常称为稳定度或稳定裕量 然后用新变量然后用新变量s1=s+a代入原系统特征方程，得到以代入原系统特征方程，得到以S1为变量的新为变量的新特征方程，对新特征方程用劳思判稳。特征方程，对新特征方程用劳思判稳。jkks 或利用劳思表求系统的稳定裕度，还可以确利用劳思表求系统的稳定裕度，还可以确定系统一个或两个参数对系统稳定性的影定系统一个或两个参数对系统稳定性的影响。响。例例 3-y 用劳斯判据检验下列特征方程用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在是否有根在s的

32、右半平面上，并检验有几个根在垂直的右半平面上，并检验有几个根在垂直线线 的右方。的右方。 解解 列劳斯表列劳斯表1s42.121081304101320123ssss041310223sss由于劳斯表的第一列系数全为正值，因而该特征方程由于劳斯表的第一列系数全为正值，因而该特征方程式的根全部位于的左半平面，相应的系统是稳定的。式的根全部位于的左半平面，相应的系统是稳定的。 令令 代入特征方程，经化简后得代入特征方程，经化简后得 因为上式中的系数有负号，所以方程必然有根位于直因为上式中的系数有负号，所以方程必然有根位于直线线 的右方。列出以的右方。列出以z为变量的劳斯表为变量的劳斯表由上表可见，

33、第一列的符号变化了一次，表示原方程由上表可见，第一列的符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直线有一个根在垂直线 的右方。的右方。 1 zs1s014223zzz1s10210140120123zzzz 系统的特征方程式的标准形式： 构造胡尔维茨行列式D 1011000nnnna sa sasaa，135024130212000000000000nnnaaaaaaaaaaaaa 特征方程式的全部根都在左半复平面的充分必特征方程式的全部根都在左半复平面的充分必要条件是上述行列式要条件是上述行列式D D的各阶主子式均大于的各阶主子式均大于0 0，即，即 . 0 , 0, 0 , 0 , 03142

34、053132031211DDaaaaaaaaDaaaaDaDn 与劳斯表中第与劳斯表中第1列的系数比较，存在如下关系：列的系数比较，存在如下关系： 若若 均为正，则均为正，则D1，D2，Dn自然也都为正，自然也都为正，反之亦然。可见劳斯稳定判据和胡尔维茨稳定判据实质是反之亦然。可见劳斯稳定判据和胡尔维茨稳定判据实质是一致的。一致的。 END12113211/,/,/nnbDD cDDgDD111,b cg6n 线性系统由于系统结构、输入作用形式和类型所产线性系统由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差叫生的稳态误差叫原理性稳态误差。原理性稳态误差。由于非线性因素所引起的系统稳态误差叫由

35、于非线性因素所引起的系统稳态误差叫附加稳态附加稳态误差，误差，或结构性稳态误差。或结构性稳态误差。无差系统无差系统:没有原理性稳态误差没有原理性稳态误差有差系统：有原理性稳态误差有差系统：有原理性稳态误差误差与稳态误差误差与稳态误差 （3-70）两种定义（从输入端，从输出端）两种定义（从输入端，从输出端） （3-71） E sR sH s C s E sE sH s误差定义（两种）误差定义（两种）G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)输输入入端定义：端定义：E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)H(s)1R(s)输输出出端定义

36、：端定义：E(s)=C希希-C实实= -C(s)R(s)H(s)G(s)R(s)E(s)C(s)C(s)E(s)=R(s)-C(s)G1(s)H(s)R(s)C(s)G2(s)N(s)En(s)=C希希-C实实= Cn(s)总误差怎么求？总误差怎么求？误差的时域表达式误差的时域表达式 （3-72） 为系统误差传递函数为系统误差传递函数 （3-73）在误差信号中，包含瞬态分量在误差信号中，包含瞬态分量 和稳态分量和稳态分量 两部分。两部分。控制系统的控制系统的稳态误差稳态误差定义为误差信号的稳态分量定义为误差信号的稳态分量 ，常以常以 简单标志。简单标志。)(se sRssEtee11 sHsG

37、sRsEse11)(tets)(tess)(sse)(tess如果有理函数如果有理函数 除在原点处有唯一的极点外，在除在原点处有唯一的极点外，在s右半右半平面及虚轴上平面及虚轴上解析解析，即即 的极点均位于左半平面（包括坐标原点），亦即的极点均位于左半平面（包括坐标原点），亦即系统稳定，系统稳定，则可根据拉氏变换的终值定理，由式（则可根据拉氏变换的终值定理，由式（3-73）方便地求）方便地求出系统的稳态误差：出系统的稳态误差： （3-74）由于上式算出的稳态误差是误差信号稳态分量由于上式算出的稳态误差是误差信号稳态分量 在在t趋趋于无穷时的数值，故有时称为于无穷时的数值，故有时称为终值误差终值

38、误差。它不能反映。它不能反映 随时间的变化规律，具有一定的局限性。随时间的变化规律，具有一定的局限性。)(ssE sHsGssRssEessss1limlim00)(tess)(ssE)(tess例例3-10 单位反馈，开环传递函数单位反馈，开环传递函数求稳态误差。求稳态误差。解解（a） 由式（由式（3-73）显然，显然， 在在s=0处有一极点。求反变换得处有一极点。求反变换得其中，其中， ，随时间增长逐渐减到零；，随时间增长逐渐减到零； 表明稳态误差表明稳态误差 。 TssG1 22ttr 31 ssR TsTsTsTTsssE1112222 TtTeTteTt2)(ssE TttseTte

39、2 TtTtesssse(b)显然，显然， 。由于正弦函数的拉氏变换式在虚轴上不解析，。由于正弦函数的拉氏变换式在虚轴上不解析，所以此时不能应用终值定理法来计算在正弦函数作用下的所以此时不能应用终值定理法来计算在正弦函数作用下的稳态误差，否则得出稳态误差，否则得出 的错误结论。的错误结论。 ttrsin 22ssR 2222322222222211111111sTTsTTTsTTsTsssE tTTtTTtesssin1cos1222222 0sse 01limlim22200sTssssEessss2.系统类型系统类型 由稳态误差通式（由稳态误差通式（3-74）可见，稳态误差数值与开环传）可

40、见，稳态误差数值与开环传递函数的结构和输入信号的形式密切相关。递函数的结构和输入信号的形式密切相关。 对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数描述的系统统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数描述的系统结构。因此，按照系统跟踪输入信号的能力来进行系统结构。因此，按照系统跟踪输入信号的能力来进行系统分类是必要的。分类是必要的。一般情况：一般情况： （3-75） v为开环系统在为开环系统在s平面坐标原点上的极点的重数。平面坐标原点上的极点的重数。 njjmiisTssKsHsG1111以以v的数值来划分：的

41、数值来划分：v=0称为称为0型系统；型系统；v=1称为称为型系统；型系统；v=2称为称为 型系统。型系统。这种分类方法的优点在于：可根据已知的输入信号形式，这种分类方法的优点在于：可根据已知的输入信号形式，迅速判断系统是否存在原理性误差及迅速判断系统是否存在原理性误差及稳态误差的大小。稳态误差的大小。必有必有 时，时，因此，式（因此，式（3-75）可改写为）可改写为 （3-76）系统稳态误差计算通式则表示为系统稳态误差计算通式则表示为 （3-77）上式表明，影响稳态误差的诸因素是：上式表明，影响稳态误差的诸因素是：系统型别，开环增益，输入信号的形式和幅值。系统型别，开环增益，输入信号的形式和幅

42、值。 njjmiisTssHsG1100110s 100sHsG sHsGsKsHsG00 sKsRsimlessss010lim为了便于讨论，令为了便于讨论，令3.阶跃输入作用下的稳态误差阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数与静态位置误差系数由式（由式（3-77）可算得）可算得显然，稳态误差是显然，稳态误差是希望输出希望输出1与实际输出之间的位置误差。与实际输出之间的位置误差。 采用静态位置误差系数采用静态位置误差系数 表示各型系统在阶跃输入作表示各型系统在阶跃输入作用下的位置误差。用下的位置误差。)( 1)(tRtr1, 001/vvKRess常数，）（pksRsR/)(根据式（根据

43、式（3-74），）， 时，有时，有 （3-78）式中，式中， （3-79）称为称为静态位置误差系数静态位置误差系数。各型系统的静态位置误差系数为各型系统的静态位置误差系数为如果要求系统对于阶跃输入不存在稳态误差，则必须选如果要求系统对于阶跃输入不存在稳态误差，则必须选用用I型及型及I型以上的系统。型以上的系统。sRsR/)( psssKRsHsimGlRe110 sHsGimlKsp01,0vvKKp，习惯上常把系统在跃输入作用下的位置误差称为习惯上常把系统在跃输入作用下的位置误差称为静差静差。因而因而0型系统型系统-有静差系统，零阶无差度系统有静差系统，零阶无差度系统1型系统型系统-一阶无差

44、度系统一阶无差度系统2型系统型系统-二阶无差度系统二阶无差度系统4.斜坡输入作用下的稳态误差斜坡输入作用下的稳态误差与静态速度误差系数与静态速度误差系数 根据式（根据式（3-74），得），得 （3-80）式中，式中， （3-81）称为称为静态速度误差系数静态速度误差系数。式（式（3-80）表示的稳态误差常称为速度误差。）表示的稳态误差常称为速度误差。2/)(,)(sRsRRttr2, 01/0,vvKRvess常数， KRsHsGResss 0lim 100limlimvssvsKsHssGK例例3-11 一非单位反馈系统，一非单位反馈系统， 试分别确定当试分别确定当 和和 时，系统输出端的稳

45、态时，系统输出端的稳态位置误差。位置误差。解：解： 0型系统型系统 110ssG hKsH1hK1 . 0hK 110sKsHsGhhpKKK101111011hssssKee51011hhhssssKKKee 10hKtr)( 1)(tRtrhssKe10111hK1 . 0hK5.加速度输入作用下的稳态误差加速度输入作用下的稳态误差与静态加速度误差系数与静态加速度误差系数 （3-83） 称为静态加速度误差系数。称为静态加速度误差系数。由式（由式（3-83）表示的稳态误差）表示的稳态误差称为加速度误差。称为加速度误差。 22Rttr 3sRsR3, 020,/1 , 0vvKRvess常数，

46、 2020limlimsKsHsGsKssa asssKRsHsGRe 0limaK静态误差系数静态误差系数定量描述了系统跟踪不同形式输入信号的能力。定量描述了系统跟踪不同形式输入信号的能力。如果如果系统承受的输入信号是多种典型函数的组合，例如系统承受的输入信号是多种典型函数的组合，例如则根据线性叠加原理，可将每一分量单独作用于系统，再则根据线性叠加原理，可将每一分量单独作用于系统，再将各稳态误差分量叠加起来，得到将各稳态误差分量叠加起来，得到aKpKvK 2210211tRtRtRtravpssKRKRKRe210101例例3-12 位置随动系统计算位置随动系统计算 时，时，系统的稳态误差。

47、系统的稳态误差。解：解： I型型相应的稳态误差分别为相应的稳态误差分别为物理解释物理解释2/),( 1)(2ttttr和分别为 11sssG1K. 0, 1,avpKKK2/),(1)(2ttttr和分别为和， 10取不同的取不同的r(t)=R1(t)ess= 1+ksRlim0sr(t)=Vtess= sVlim0sksr(t)=At2/2ess= s2Alim0sks型型0型型型型R1(t) R1+ kV kVt000A kAt2/2R1(t)VtAt2/2kkk000静态误差系数静态误差系数稳态误差稳态误差小结：小结：123Kp=?Kv=?Ka=?非单位反馈怎么办？非单位反馈怎么办？啥时

48、能用表格？啥时能用表格？表中误差为无穷时系统还稳定吗表中误差为无穷时系统还稳定吗?6.扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差原因：负载转矩的变动；原因：负载转矩的变动；放大器的零位和噪声。放大器的零位和噪声。控制系统在扰动作用控制系统在扰动作用下的稳态误差，反映了下的稳态误差，反映了系统抗干扰的能力。系统抗干扰的能力。由于在扰动信号由于在扰动信号 作用下系统的理想输出应为零，作用下系统的理想输出应为零，故该非单位反馈系统响应扰动故该非单位反馈系统响应扰动 的输出端误差的输出端误差信号为信号为 （3-85）当当 在在S右半平面及虚轴上解析时，可以采用右半平面及虚轴上解析时，可以采用终值定理法计

49、算系统在扰动作用下的稳态误差。终值定理法计算系统在扰动作用下的稳态误差。）（sN)(tn sNsGsGsCsEnn12)(ssEn例例3-13 求系统的稳态误差求系统的稳态误差解：解：I型系统，型系统，令令N（S）=0，则系统对阶跃，则系统对阶跃输入的稳态误差为零。输入的稳态误差为零。如令如令R（S）=0，则系统在阶跃扰动下输出量的，则系统在阶跃扰动下输出量的实际值为实际值为而输出量的希望值为零，因此，误差信号而输出量的希望值为零，因此，误差信号系统在阶跃扰动作用下的稳态误差系统在阶跃扰动作用下的稳态误差 （3-86） sRsR0 snsN0 sNKKsTsKsCn21221 sNKKsTsK

50、sEn21221 100limKnssEensssn物理意义：稳态时，比例控制器产生一个物理意义：稳态时，比例控制器产生一个与扰动转矩与扰动转矩 大小相等而方向相反的转大小相等而方向相反的转矩矩 以进行平衡，该转矩折算到比较以进行平衡，该转矩折算到比较装置输出端的数值为装置输出端的数值为 ，所以系统必，所以系统必定存在常值稳态误差定存在常值稳态误差 。0n0n10/ Kn10/ Kn7.减少或消除稳态误差的措施减少或消除稳态误差的措施减小和消除误差的方法减小和消除误差的方法(1,2)（ 1 ） 按扰动的按扰动的全全补偿补偿N(s)R(s)Gn(s)T1s+1k1s(T2s+1)k2C(s)E(